Исследовать сходимость знакопеременного ряда примеры решения. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды и их сходимость

Определение 1

Числовой ряд

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n-1} \, \cdot a_{n} =a_{1} -a_{2} +a_{3} -a_{4} +...,\]

где $a_{n} > 0$, называется знакочередующимся рядом.

Для установления сходимости таких рядов существует достаточный признак сходимости, называемый признаком Лейбница.

Теорема 1 (признак Лейбница)

Пусть числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ удовлетворяет условиям:

1. $u_{n} =(-1)^{n-1} \cdot a_{n} ,\, \, \, a_{n} > 0$, т.е. этот ряд знакочередующийся;
2. члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: $\left|u_{1} \right|>\left|u_{2} \right|>\left|u_{3} \right|>...\, \, \, $ т.е. $a_{n} >a_{n+1} ,\, \, \, \, n=1,\, 2,\, ...$;
3. общий член ряда $a_{n} $ стремится к 0, т.е. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$.

Тогда ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма $S\le a_{1} $.

Доказательство

1. Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка $S_{n} =S_{2m} =a_{1} -a_{2} +a_{3} -a_{4} +...+a_{2m-1} -a_{2m} $ и запишем её в виде: $S_{2m} =(a_{1} -a_{2})+(a_{3} -a_{4})+...+(a_{2m-1} -a_{2m})$. В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма $S_{2m} >0$ и последовательность $\left\{S_{2m} \right\}$ монотонно возрастает:
\

\[\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } S_{2m+1} =\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } (S_{2m} +a_{2m+1})=\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } S_{2m} +\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } a_{2m+1} =S.\]

Итак, при всех n (чётных или нечётных), $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =S\le a_{1} $, следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.

Замечание 1

Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера $N\in $N.

Замечание 2

Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.

Следствие

$|R_{n} |\le |a_{n+1} |$. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство

Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть $|R_{n} |=\left|\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }a_{n} \right|\le \left|a_{n+1} \right|$. А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} =\, 1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +\ldots . \]

Решение. Обозначим $\frac{(-1)^{n-1} }{n} =u_{n} $. К данному ряду применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1: условие 1) ряд знакочередующийся $a_{n} =\frac{1}{n} ,\, \, \, u_{n} =(-1)^{n-1} \cdot a_{n} ,\, \, \, a_{n} >0$; условие 2) выполнено: $1>\frac{1}{2} >\frac{1}{3} >\frac{1}{4} >\ldots $; условие 3) также выполнено: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n} =0$. Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится, причем его сумма $S\le a_{1} =1$.

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} \, $сходится.

Пример 2

Сколько членов ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+2} }{n^{2} } \, $ необходимо взять, что бы получить сумму ряда с точностью 0,01?

Решение. Данный ряд знакопеременный и является сходящимся по теореме Лейбница. Его $n$ - ый остаток оценим по формуле

\[|R_{n} |=\left|\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }a_{n} \right|\le \left|a_{n+1} \right|\]

Для того что бы определ ить количество членов ряда, которые нужно взять для обеспечения неоходимой точности, необходимо решить неравенство

\[\left|R_{n} \right|\le 0,01.\]

Откуда ${(n+1)}^2>100$ или $n\ge 10$.

Из этого видно, что нужно взять не меньше десяти первых членов ряда, что бы при замене суммы ряда суммой его первых $n$ членов погрешность была меньшей 0,01.

Пример 3

Исследовать ряд

\[\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(-1)}^nn}\]

на сходимость

В общий член ряда входит множитель ${(-1)}^n$, а значит, нужно использовать признак Лейбница

1. Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно $\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(-1)}^nn}=-1+2-3+4\dots $ и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2. Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } a_n\ }\]

который чаще всего является очень простым.

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } a_n\ }={\mathop{lim}_{n\to \infty } n\ }=+\infty \ne 0\]

члены ряда не убывают по модулю. К слову, отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

Вывод: ряд расходится.

Пример 4

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \frac{1}{n^{2} } =1-\frac{1}{2^{2} } +\frac{1}{3^{2} } -\frac{1}{4^{2} } +... \]

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

\ \[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n^{2} } =0\]

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2} } $ сходится по интегральному признаку. Это случай ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p} } $, где $ р = 2 > 1$.

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 - u 2)+(u 3 - u 4)+…+(u 2 n -1 - u 2 n ).

По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .

С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 - u 3)+(u 4 - u 5)+…+(u 2 n -2 - u 2 n -1)+ u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n →∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 = S + 0= S . Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u n = >u n+1 =

u n =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n > u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .

2. Условие u n > u n +1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n > u n +1 не выполняется.

Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример .

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Теорема 10 . (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

u 1 + u 2 +…+ u n +…= (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

│u 1 │+│ u 2 │+…+│ u n │+…= │ u n │.(21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство . Рассмотрим вспомогательный ряд

(u 1 +│u 1 │)+(u 2 +│u 2 │)+…+(u n +│u n │)+…= (u n +│u n │).(22)

Очевидно, 0≤ u n +│u n │≤2│u n │ при всех n =1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│u n │, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈S n . Точность этого равенства возрастает с увеличением n .

Определение 7 . Если числовой ряд сходится, то разность R n =S -S n называется n -м остатком ряда.

Таким образом, R n представляет собой сходящийся числовой ряд:

R n = u n+1 +u n+2 +… .

Заметим, что R n = (S-S n)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S n равна |R n |=| S - S n |. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |R n |< E . Однако в общем случае находить точно R n не удаётся.

Теорема 11. (о б оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.

Доказательство . Пусть ряд u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+(-1) n -1. u n +… сходится по признаку Лейбница. Тогда n S ≈1-0,166≈0,84.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и модуль общего члена ряда стремится к нулю при , т.е.
, то ряд сходится.

Пример 1.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

.

Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:

Ряд сходится.

1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Пример 1.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

Знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
. Члены ряда монотонно убывают и
. Теперь исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера:
. Ряд сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

По теореме Лейбница
. Ряд сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, имеет вид
. По признаку Даламбера получим
. Ряд сходится, значит, заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда

Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :

f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….

Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:

f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)

который называется функциональным рядом .

Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

В частном случае функциональным рядом является ряд:

который называется степенным рядом , где
постоянные числа, называемыекоэффициентами членов степенного ряда .

Степенной ряд может быть записан и в такой форме:

где
некоторое постоянное число.

При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.

Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение (1 способ) .

Применим признак Даламбера.

Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.

По признаку Даламбера ряд сходится, если
и
.

Т.е. ряд сходится, если < 1, откуда
или-3< x <3.

Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).

В крайних точках интервала x =
, будем иметь
.

В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:

x = -3 ,

Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
Следовательно, ряд в точкеx = -3 сходится.

x = 3,

Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.

члены ряда монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.

Ответ:

Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:

, где и
коэффициентыи
членов ряда.

Для данного ряда имеем:

. R =3.

ряд сходится

Интервал сходимости ряда: -3< x <3.

Далее, как и в предыдущем случае, надо исследовать в граничных точках: x =
.

Ответ: область сходимости ряда [-3;3).

Отметим, что второй способ определения области сходимости степенного ряда с использованием формулы радиуса сходимости ряда
более рационален.

Пример 2.

Найти область сходимости степенного ряда:
.

Найдем R – радиус сходимости ряда.

,
,
.

.
.

Интервал сходимости ряда (-;).

Исследуем ряд на сходимость в точках x = -иx = .

x = - ,

Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
, следовательно, ряд в точкеx = -сходится.

x = ,
.

Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.

Здесь
:

, члены ряда
монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.

Ответ: [-;) – область сходимости ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакочередующимся рядом называют числовой ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки.

Если первый член ряда положительный, то знакочередующийся ряд можно записать в виде:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и общий член ряда стремится к нулю , то

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит абсолютной величины первого члена ряда;

Модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:

Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:

Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем , т.е. для любого .

Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его через S , т.е. , причем .

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечетными индексами:

Согласно условию , поэтому

Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами.

Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равна S .

Рассмотрим остаток ряда: Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его сумма меньше абсолютной величины первого члена т.е.

ПРИМЕР. Пользуясь признаком Лейбница исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ. Выпишем члены ряда: и применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий этого признака:

Легко убедится, что с возрастанием n , члены ряда убывают по абсолютной величине и . Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называют знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные числа.

Достаточный признак сходимости

Если ряд , составленный из абсолютных величин знакопеременного ряда, сходится, то ряд (1) тоже сходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим через - частичную сумму ряда (1). Выберем из этих слагаемых положительные члены и их сумму обозначим . Сумму оставшихся отрицательных членов, взятых по абсолютной величине, обозначим . Тогда .

Частичную сумму ряда (2) обозначим . По условию ряд (2) сходится, значит, имеет конечный предел , () причем .

Так как можно записать то и . Таким образом - возрастающие и ограниченные последовательности и, следовательно, они имеют предел, если . Тогда последовательность тоже имеет предел, а это значит, что ряд (1) сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда, сходится.

Сходящийся знакопеременный ряд называют условно сходящимся , если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Между свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов имеется глубокое различие.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, причем сумма ряда не зависит от порядка следования его членов.

Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что сумма ряда изменится. Более того, можно так переставить члены ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

ПРИМЕР . Исследовать на сходимость ряд .

Этот ряд знакопеременный, т.к. при различных значениях n может быть как положительным, так и отрицательным.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда:

и применим к нему первый признак сравнения.

Так как при любом n то для каждого слагаемого можно записать оценку: .

Таким образом, члены ряда из абсолютных величин не превосходят соответствующие члены сходящегося ряда . Согласно первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин, сходится. Из этого следует сходимость ряда с произвольными членами, т. е. ряд сходится абсолютно.

ПРИМЕР . Исследовать на сходимость ряд .

Запишем ряд в виде

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (1):

Это числовой ряд с положительными членами, общий член которого имеет вид . Обобщенный гармонический ряд расходится.

Таким образом, исследуемый ряд (1) не может быть абсолютно сходящимся. Проверим его на условную сходимость.

Так как ряд (1) знакочередующийся, то к нему применим признак Лейбница. Проверим два условия:

- члены ряда по модулю убывают, .

Следовательно, ряд (1) сходится условно.

Степенные ряды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Функциональным рядом называют выражение

члены которого являются функциями от x, определенными на некотором множестве X.

Если задать переменной числовое значение , то получится числовой ряд ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Множество значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной и определяется как

Например, ряд

сходится, если (члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ), и расходится, если .

Областью сходимости ряда служат два промежутка и .

Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды , которые записывают:

где - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда; - центр области сходимости ряда.

Если степенной ряд принимает вид:

Рассмотрим свойства степенных рядов на примере ряда (*), т.к. любой степенной ряд общего вида легко преобразовать к виду (*) подстановкой .

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале , т.е. при всех x, удовлетворяющих условию .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию теоремы в точке степенной ряд сходится. Общий членсходящегосячислового ряда , в силу необходимого признака, стремится к нулю: , поэтому все члены ряда ограничены некоторым числом : . То есть

Представим степенной ряд в виде

и составим ряд из абсолютных величин его членов:

Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии: . Этот ряд сходится, если и знаменатель прогрессии

В силу неравенств , члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда , по первому признаку сравнения, ряд также сходится.

Мы показали, что при любом из интервала степенной ряд сходится, значит, ряд внутри этого интервала сходится абсолютно.

Следствие . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится при любом x , по модулю, большем, чем b , т.е. если

Таким образом, можно сказать, что для любого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R , что для всех x, по модулю меньших R () , ряд сходится абсолютно, а для всех x , по модулю больших R(), ряд расходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Радиусом сходимости степенного ряда называют такое число R, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание. Для степенного ряда областью сходимости служит интервал симметричный относительно точки . и запишем полученное неравенство в виде двойного неравенства:

1). Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.

2). Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны , где - сумма ряда.

3). Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями.

Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующего ряда

образуют монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если

то ряд (4.32) сходится.

Доказательство. Мы имеем для любого

или, объединяя члены в группы (сумма содержит только конечное число слагаемых, и потому основные законы действий справедливы здесь без каких-либо ограничений),

На основании невозрастания последовательности абсолютных величин членов ряда во всех скобках стоят неотрицательные числа. Следовательно,

Поэтому частичные суммы ряда (4.32) с четными номерами составляют ограниченную последовательность.

С другой стороны, в силу той же монотонности

и поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей. Следовательно, эта последовательность имеет предел

Оба предела справа существуют, причем второй из них по условию равен нулю. Следовательно, существует и предел слева, и для него

Вместе с (4.35) это дает нам

что и требовалось.

Следствие. Для знакочередующегося ряда удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, остаток можно сверху оценить по абсолютной величине:

В самом деле, остаток можно рассматривать как сумму ряда

которая, как следует из доказанной теоремы, не превосходит по абсолютной величине своего первого члена, которым в данном случае является

Пример. В применении к ряду

признак Лейбница дает

что означает сходимость ряда. (Непосредственными выкладками эта сходимость была установлена в § 2.)

Мы видим, что признак сходимости Лейбница является довольно широким по применимости, весьма практичным и идеально чувствительным. Это не противоречит сказанному в конце § 5 главы 3: условная сходимость знакочередующегося ряда является «в среднем», если можно так выразиться, более широким фактом, чем сходимость ряда с положительными членами; поэтому и распознать ее оказывается в каком-то смысле легче.

Заметим, наконец, что признак Лейбница является не только достаточным, но и необходимым признаком сходимости для знакочередующихся рядов с монотонно убывающими членами: если то на основании необходимого признака сходимости из § 6 главы 2 ряд

сходиться не может.