Потенциал.
Градиент потенциала
Градиент потенциала Е-grad
Градиент потенциала показывает как меняется потенциал за единицу времени. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.
11. Дивергенция электрического поля. Отношение потока к объему V, из которого он вытекает, дает среднюю удельную мощность источников, заключенных в объеме V. В пределе при стремлении V к нулю, выражение даст удельную мощность источников в точке, которую называют дивергенцией вектора v (обозначается div v). Закон Гаусса в дифференциальной форме: .Величину являющуюся пределом отношения к ʌV, при ʌVà0 называют дивергенция поля E (div ). .- дивергенция-скалярная функция координат. Итак - теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. В точках где div >0 – (положительные заряды) источники поля, где - (отрицательные заряды) стоки. Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.
12. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях (момент сил, действующих на диполь; энергия диполя; результирующая сил) Если диполь поместить в однородное эликтрическое поле, образующие диполь заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил f1и f2. Эти силы образуют пару, плечо которой равно lsinα т.е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен qE. Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил, действующих на диполь: M=qElsinα=pEsinα, где p- электрический момент диполя. В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, неодинаковы по величине. При малых размерах диполя силы f1 и f2 можно считать коллинеарными таким образом резултирующая f1 и f2 сил, действующих на диполь будет отлична от нуля. В неоднородном поле на диполь кроме вращательного момента действует сила, под которой диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля, либо выталкиваться из нее. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле W=-pEcosα=-pE. Любую систему зарядов можно представить как некий эквивалентный диполь
14. Диполь во внешнем электрическом поле. Электрический диполь с электрическим моментом во внешнем электростатическом поле . В этих условиях он испытывает действие силы , момента и приобретает потенциальную энергию . Рассмотрим диполь во внешнем неоднородном электрическом поле. Обозначим и - напряженность и потенциал в точке, где расположены + и – заряды диполя На диполь действует результирующая сила , - приращение вектора напряженности на отрезке длиной в направлении вектора . - т.к. отрезок мал, где левая часть представлена с точностью до величин второго порядка малости. Тогда . , и в проекции на какое-либо направление : .В однородном поле , так как .
15. Дискретное и непрерывное распределение электрических зарядов. Плотность электрических зарядов. Распределение заряда в пространстве может быть дискретным и непрерывным. При дискретном распределении заряд сконцентрирован в математической точке пространства. При непрерывном распределении различают линейное, поверхностное и объемное распределение заряда. При непрерывном распределении заряда вдоль линии вводится понятие линейной плотности зарядов , где dq – заряд малого участка линии длиной dl. При непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности вводится понятие поверхностной плотности зарядов , где dq – заряд малого участка поверхности площадью dS. при непрерывном распределении заряда в каком-либо объеме вводится понятие объемной плотности зарядов , где dq –заряд малого участка объема dV.
16. Диэлектрики с неполярными молекулами в электрическом поле. Поляризованность диэлектрика. Зависимость поляризованности от напряженности поля, температуры. Неполярными диэлектриками называются диэлектрики молекулы которых построены столь симметрично, что в отсутствие внешнего электрического поля их дипольный момент равен нулю (N2, H2, CO2, ....). При внесении неполярного диэлектрика в электрическое поле, молекулы поляризуются, нарушается симметрия расположения их зарядов, и молекулы приобретают дипольный момент. Если поместить диэлектрик во внешнее электрическое поле, то он поляризуется, т. е. получит неравный нулю дипольный момент p V =∑p i , где p i - дипольный момент одной молекулы. Чтобы произвести количественное описание поляризации диэлектрика вводят векторную величину - поляризованность, которая определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика: . Поляризованность диэлектрика прямо пропорциональна напряженности электрического поля
17. Диэлектрики с полярными молекулами в электрическом поле. Зависимость поляризованности от напряженности поля, температуры. Полярными диэлектриками называются диэлектрики молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают некоторым дипольным моментом (SO2, H2O, NH3, ....). При внесении полярного диэлектрика в электрическое поле дипольные моменты молекул также будут изменяться, однако более важное значение будет иметь поворот осей молекул (дипольных моментов) по направлению электрического поля под действие момента сил . Поляризованность диэлектрика прямо пропорциональна напряженности электрического поля.
18. Диэлектрики. Процесс поляризации диэлектриков. Смещение электрических зарядов вещ-ва под действием электрического поля называется поляризацией. Способность к поляризации – основное св-во диэлектриков. Поляризуемость диэлектрика бывает: электронная, ионная и ориентационная (дипольная). За меру поляризации принимается вектор поляризации (поляризуемость) , отношение дипольного электрического момента диэлектрика к его объему . Вектор поляризации – электрический момент единичного объема. , где n-концентрация молекул в единице объема - электрический момент одной силы взятый по нормали.
19. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Гистерезис. Диэлектри́ческая восприи́мчивость (или поляризу́емость) вещества - физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Диэлектрическая восприимчивость - коэффициент линейной связи между поляризацией диэлектрика P и внешним электрическим полем E в достаточно малых полях: В системе СИ: где - электрическая постоянная; произведение называется в системе СИ абсолютной диэлектрической восприимчивостью. В случае вакуума У диэлектриков, как правило, диэлектрическая восприимчивость положительна. Диэлектрическая восприимчивость является безразмерной величиной. Гистере́зис - свойство систем, мгновенный отклик которых на приложенные к ним воздействия зависит в том числе и от их текущего состояния, а поведение системы на интервале времени во многом определяется её предысторией. Для гистерезиса характерно явление "насыщения", а также неодинаковость траекторий между крайними состояниями (отсюда наличие остроугольной петли на графиках).
20. Диэлектрическая проницаемость. безразмерная физическая величина, характеризующая свойства изолирующей (диэлектрической) среды. Связана с эффектом поляризации диэлектриков под действием электрического поля и, с характеризующей этот эффект, величиной диэлектрической восприимчивости среды. Величина ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха и большинства других газов в нормальных условиях близка к единице, в силу их низкой плотности. Для большинства твёрдых или жидких диэлектриков, для статического поля относительная диэлектрическая проницаемость лежит в диапазоне от 2 до 8. Велики её значения для веществ с молекулами, обладающими большим электрическим диполем. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков является одним из основных параметров при разработке электрических конденсаторов. Использование материалов с высокой диэлектрической проницаемостью позволяют существенно снизить физические размеры конденсаторов. Ёмкость конденсаторов определяется: где ε r - диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками, ε о - электрическая постоянная, S - площадь обкладок конденсатора, d - расстояние между обкладками.
21 . Закон Кулона. Принцип суперпозиции.
З-н Кулона-сила взаимодействия 2 точечных неподвижных зарядов в пустоте пропорциональна величине каждого из зарядов. Обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющий эти заряды
где - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; - величина зарядов; - радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами - ); - коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые - притягиваются).
То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей
22. Записать и сформулировать теорему Гаусса для вакуума. Что означает понятие “поток вектора напряженности”?
З-н Гаусса. Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду
“поток вектора напряженности”-полное число силовых линий проходящих через поверхность S через эту поверхность. поток вектора напряженности E через малую площадку dS есть скалярное произведение векторов E и dS
23. Интегральная зависимость между напряженностью и потенциалом электрического поля. Рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q : dA = q E dl , эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q : dA = - dW п = - q d , где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl . Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат
E x dx + E y dy + E z dz = -d , (1.8)
где E x , E y , E z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.
E = - grad = -Ñ .
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.
1. Из формул (8.1)
следует, что
где означает производную по направлению вектора ds (см. приложение, § 2). По определению понятия градиента эта пространственная производная скаляра совпадает со слагающей его градиента по направлению уравнение (4]:
Таким образом,
Так как это равенство проекций векторов должно иметь место при любом выборе направления то и векторы эти должны быть равны друг другу:
Таким образом, напряженность электростатического поля равна градиенту электростатического потенциала взятому с обратным знаком.
Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания и является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала. Направление напряженности поля совпадает с направлением ортогональных траекторий эквипотенциальных поверхностей (см. приложение, § 2). Поэтому эти ортогональные траектории (линии градиента) совпадают с линиями электрических сил, или силовыми линиями.
2. Электрической силовой линией называется линия, касательные к которой в каждой ее точке совпадают по направлению с вектором напряженности электрического поля в той же точке (т. е. с направлением электрической силы, действующей на единичный положительный заряд). Очевидно, что через каждую точку поля, в которой можно провести одну и только одну силовую линию. В каждой такой точке вектор имеет вполне определенное направление. Отложив из произвольно малый отрезок в направлении мы придем в точку в которой вектор может иметь иное направление, чем в Отложив из произвольно малый отрезок в соответствующем направлении, мы придем в новую точку в которой можем опять повторить ту же операцию, и т. д. Полученная таким образом ломаная линия в пределе, при беспредельном уменьшении составляющих ее отрезков, совпадает с искомой силовой линией.
Чтобы получить аналитическое уравнение силовых линий, достаточно учесть, что элемент длины силовой линии параллелен напряженности поля т. е. что слагающие его по осям координат пропорциональны слагающим вектора Е:
Уравнения (10.3) эквивалентны системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, например интегралы которых имеют вид: где постоянные интегрирования. Совокупность этих последних уравнений и представляет собою уравнение силовой линии. Произвол в выборе постоянных соответствует возможности произвольно выбрать координаты той точки поля, через которую мы желаем провести данную силовую линию.
Физики XIX в. долгое время стремились объяснить электромагнитные явления деформациями и вихревыми движениями особой всепроникающей гипотетической среды - эфира; они полагали, что силовые линии совпадают с осями деформации (или осями кручения), испытываемой эфиром в электрическом поле. Однако к началу XX в. выяснилась полная несостоятельность механистической теории эфира, и в настоящее время, пользуясь понятием «силовых линий», нужно помнить, что понятие это имеет условно-вспомогательное значение и что силовые линии служат лишь для графического изображения направления электрического вектора.
3. Впрочем, подобно тому как при надлежащем способе черчения эквипотенциальных поверхностей густота их расположения может служить мерой градиента потенциала, т. е. мерой напряженности поля, подобно этому и силовыми линиями можно воспользоваться для той же цели.
Нанести на чертеж все силовые линии, проходящие через каждую точку поля и заполняющие собой все занимаемое полем пространство, конечно, невозможно. Обыкновенно силовые линии чертятся с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности, было по возможности пропорционально
напряженности поля на этой площадке. В таком случае густота расположения силовых линий может служить мерой напряженности поля. При этом число линий, пересекающих произвольный элемент поверхности будет, очевидно, пропорционально произведению напряженности и проекции элемента на плоскость, перпендикулярную к Это произведение равно потоку вектора через элемент Поэтому вместо термина «поток вектора через данную поверхность» употребляют иногда выражение «число силовых линий, пересекающих данную поверхность». Это число линий считается положительным или отрицательным в зависимости от того, пересекают ли силовые линии данную поверхность в направлении положительной (внешней) или отрицательной (внутренней) нормали к ней.
Отметим, что при указанном способе черчения силовых линий общее число этих линий, пересекающих любую замкнутую поверхность должно быть пропорциональным алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри ибо, согласно теореме Гаусса (3.6), сумма этих зарядов пропорциональна потоку вектора через При этом, конечно, определяя число линий, пересекающих мы каждую из них должны брать с надлежащим знаком или
В частности, число силовых линий, пересекающих любую, не содержащую зарядов, замкнутую поверхность, равно нулю. Иными словами, число (положительное) линий, выходящих из ограниченного поверхностью объема, равно (отрицательному) числу линий, входящих в него. Отсюда следует, что в свободных от зарядов участках поля силовые линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться. С другой стороны, линии эти не могут
также быть замкнутыми. В противном случае, линейный интеграл по каждой из замкнутых линий сил был бы отличен от нуля (ибо элементы линий сил параллельны стало быть, подынтегральное выражение существенно положительно), что противоречит уравнению (7.3). Стало быть, в электростатическом поле линии сил либо начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо одним своим концом уходят в бесконечность.
Таким образом, для получения правильной картины поля достаточно, очевидно, от каждого элемента заряда провести число линий, пропорциональное величине этого заряда.
Для незамкнутых линий, впрочем, существует, помимо перечисленных, еще третья возможность: они могут при безграничном продолжении, не пересекаясь и не замыкаясь, всюду плотно заполнять некоторый ограниченный участок пространства. С такого рода магнитными силовыми линиями мы познакомимся в гл. IV. Однако для силовых линий электростатического поля эта возможность исключена, ибо линия, заполняющая некоторый участок пространства, должна при достаточном продолжении как угодно близко подходить к ранее пройденным ею точкам. Если суть две такие бесконечно близкие точки на подобной силовой линии то интеграл по этой линии будет существенно положителен и будет обладать конечной величиной. Вместе с тем, если только вектор конечен, этот интеграл должен отличаться лишь на бесконечно малую величину от интеграла по замкнутому контуру, образованному отрезком силовой линии и бесконечно малым отрезком прямой, соединяющей Но последний интеграл, согласно (7.3), равен нулю, т. е. отличается на конечную величину от Этим противоречием и доказывается невозможность существования силовых линий указанного типа.
Г.М. Казаков
Тепломассообмен
Утверждено редакционно-издательским
советом университета в качестве
учебного пособия
Нижний Новгород - 2016
Казаков Г.М. Тепломассообмен: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т, 2016. – 93 с.
ISBN 5-87941-412-4
В пособии дан теоретический подход к решению широкого круга задач тепломассообмена: перенос теплоты через однослойные и многослойные стенки различной геометрической формы, теория подобия процессов и явлений, определение коэффициентов теплоотдачи при конвективном теплообмене. Подробно рассмотрены вопросы тепломассообмена при фазовых превращениях. В пособии показаны особенности лучистого теплообмена между твердыми телами, излучение и поглощение чистых газов и пламени, а также рассмотрены инженерные методы расчета теплообменных аппаратов.
Пособие может быть полезно для преподавателей и студентов теплоэнергетических специальностей.
ISBN 5-87941-412-4
© Казаков Г.М., 2016
© ННГАСУ, 2016
Введение
Теория переноса теплоты и массы вещества является одним из важнейших разделов современной науки. Она имеет большое практическое значение в самых разнообразных областях техники: в станционной и промышленной энергетике, технологических процессах химической и металлургической промышленности, строительной индустрии и коммунальном хозяйстве. Особенно большое значение проблема тепломассообмена имеет для новых областей техники, в частности, для ядерной энергетики и космической техники. Научной основой многих теплоэнергетических, энерготехнологических и химико-технологических процессов является теория тепломассообмена. Она включает в себя комплекс научных знаний из гидродинамики сплошных сред, молекулярной физики, термодинамики, уравнений математической физики, физико-химических поверхностных явлений дисперсных сред. Молекулярно-кинетическая теория явлений тепломассообмена очень сложна и недостаточно разработана. Поэтому современная теория тепломассообмена в основном феноменологическая, базирующаяся на гидродинамике и термодинамике сплошных сред.
Пособие построено на базе теории переноса любых субстанций. Это позволяет студентам четко понять отличие задач не связанного тепломассообмена от более сложных задач связанного тепломассообмена. Так как математическая формулировка не связанных друг с другом процессов переноса теплоты и массы идентична, то это позволяет ограничиться более подробным изложением задач переноса теплоты.
Пособие «Тепломассообмен» предназначено для заочников дистанционной формы обучения, но может быть рекомендовано и для студентов очной формы обучения по теплоэнергетическим специальностям.
Основные положения учения о процессах переноса тепловой энергии и массы в пространстве
Основные понятия и определения
Перенос любой субстанции (энергии, массы, количества движения, электрического заряда) может происходить как микроскопическим (не види-мым хаотическим тепловым движением микрочастиц), так и макроскопическим (видимым, связанным с движением массы вещества) способами. В первом случае, когда среда неподвижна, перенос массы какого-либо компонента смеси называют диффузией, а перенос тепловой энергии – теплопроводностью. Во втором случае при видимом движении самой среды, которое происходит за счет внешних сил, перенос массы и тепловой энергии называют соответственно конвекцией массы и конвекцией тепла. Различают два вида конвекции: свободную (естественную) и вынужденную. В конвекции первого вида движущая сила обусловлена неоднородностью плотности среды, связанная с неоднородностью температуры, в поле массовой силы (гравитационной, центробежной, электромагнитной). Подогретые объемы среды, имея малую плотность, «всплывают» в охлажденных объемах. При вынужденной конвекции перемещение среды в пространстве осуществляют насосами, вентиляторами и т.д. Совместный перенос массы или тепловой энергии микроскопическим и макроскопическими способами называют соответственно конвективным массо-переносом и конвективным теплопереносом. Движущую среду независимо от агрегатного состояния принято называть жидкостью, которая может быть одно- и многокомпонентной. Конвективный перенос тепла на границе движущейся жидкости и твердой неподвижной стенки называют теплоотдачей. Конвек-тивный перенос массы какого-либо компонента текущей жидкости на границе с твердой неподвижной стенкой называют массоотдачей. Перенос тепла от одной движущейся жидкости к другой движущейся жидкости через разделяющую их твердую неподвижную стенку называют теплопередачей. Таким образом, теплопередача включает в себя теплоотдачу на обеих поверхностях стенки и теплопроводность в самой стенке. Аналогично перенос массы какого-либо компонента движущейся смеси к другой движущейся смеси через разделяющую их твердую неподвижную стенку называют массопередачей. Массопередача включает в себя массоотдачу на обеих поверхностях стенки и диффузию какого-либо компонента в самой стенке.
Перенос тепла может происходить в области глубокого вакуума при исчезающе малом молекулярном содержании вещества. Перенос тепла в этом случае производится фотонами, испускаемыми одними телами и поглощаемыми другими, и называется лучистым теплообменом. При этом по закону эквивалентности массы и энергии переносится и масса. Однако в обычных технических случаях этот перенос массы ничтожно мал по сравнению с лучистым переносом массы, например, при солнечном и звездном излучении.
В общем случае тепло- и массообмен может происходить одновременно. В других случаях их можно рассматривать раздельно либо пренебречь одним из них. Теплообмен может происходить одновременно: и теплопроводностью, и путем переноса тепла движущимся веществом, и излучением. Аналогично массообмен может происходить одновременно: и диффузией какого-либо компонента смеси, и путем переноса этого компонента движущимся веществом. Весьма часто удается выделить и изучить какой-либо частный случай переноса тепла или массы.
Если известны, например, скорость w и температура T в любой точке потока жидкости, а плотность r и удельная массовая теплоемкость с р ее постоянны, то элементарное количество массы, протекающее в единицу времени через элемент dF произвольной поверхности, равно
,
где – единичный вектор, нормальный к элементарной поверхности dF.
Интегрируя это выражение по всей поверхности, получим поток массы, переносимый конвекцией
, (кг/с). (1.1)
Плотность потока массы равна
, (кг/м 2 с). (1.2)
Элементарное количество тепла, переносимое в единицу времени через элемент произвольной поверхности dF, составляет
Интегрируя по всей поверхности, получим поток тепла, переносимый конвекцией
, (вт). (1.3)
Плотность потока тепла в этом случае равна
, (вт/м 2). (1.4)
Поле потенциала. Градиент потенциала
Под потенциалом понимают любую величину, неоднородность которой в пространстве приводит к микроскопическому переносу соответствующей субстанции. Весьма часто его выбирают, исходя из соображений удобства. Например, в случае теплопроводности неоднородными в пространстве будут температура, удельная внутренняя энергия и удельная энтальпия. Однако в качестве потенциала выбирают температуру, поскольку она как функция координат не претерпевает разрыва непрерывности на границе, например, разнородных материалов. Тогда как удельные внутренняя энергия и энтальпия на этой границе как функции координат имеют разрыв непрерывности.
Под полем потенциала понимают совокупность значений потенциала во всех точках изучаемой области для любого момента времени. Если в качестве потенциала выбирают температуру, концентрацию компонента смеси, скорость течения жидкости и т.д., то соответственно речь идет о поле температур, поле концентраций, поле скоростей и т.д. Геометрическое место точек одинаковых потенциалов в потенциальном поле образует изопотенциальные поверхности. Например, в температурном поле ими являются изотермические поверхности. Изопотенциальные поверхности не могут пересекаться. В противном случае в точках пересечения имело бы место несколько потенциалов, что физически абсурдно. Различают нестационарные и стационарные поля потенциалов. Если поле зависит от времени, оно нестационарное. Например, нестационарные поля температур и скоростей течения жидкости в декартовой системе координат имеют вид
T = T(x,y,z,t), 
как видно, одно из полей скалярное, а другое векторное.
Соответственно стационарные поля можно записать в виде
; 
Различают трехмерные, двухмерные и одномерные соответственно нестационарные или стационарные поля потенциалов. Выше представлены соответственно нестационарные и стационарные трехмерные поля температур и скоростей, так как под знаком функции присутствуют три координаты. Например, нестационарные одномерные поля температур и скоростей течения жидкости в декартовой системе координат имеют вид
Соответственно стационарные одномерные поля можно записать в виде
Понятие градиента потенциала позволяет рассчитать составляющие E x , E y , E z вектора электрического поля в каждой точке пространства по значениям поля потенциала.
Как функция координат потенциал U(x,y,z) является полем скалярной величины U . В этом поле имеются поверхности, на которых значения потенциала U не меняются, т.е. являются постоянными величинами. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Так как между отдельными точками эквипотенциальной поверхности нет разности потенциалов, то очевидно работа сил поля при перемещении зарядов вдоль такой поверхности будет равна нулю. Это означает, что проекции сил поля на эту поверхность будут равны нулю. Следовательно, в каждой точке эквипотенциальной поверхности силовые линии электростатического поля расположены по отношению к ней перпендикулярно, рис. 3.3.
а) 
б)
Рис. 3.3. Эквипотенциальные поверхности (a), к определению градиента и
производной по направлению (б)
Градиентом потенциала в точке А(x,y,z) назовем производную функции U по линии, направленной в точке А вдоль вектора нормали :
Градиент потенциала – это вектор, направленный в каждой точке перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, т.е. в направлении вектора напряженности поля .
По абсолютной величине градиент потенциала равен скорости изменения потенциала в направлении . Из рис. 3.3 видно, что
.
. (3.9)
Функцию называют производной по направлению.
Из этого выражения видно, что производная по любому направлению, отличному от направления нормали, меньше по абсолютному значению производной по направлению нормали. Таким образом, градиент – это векторная величина, которая соответствует направлению наиболее быстрого изменению потенциала. Производная в направлении нормали имеет наибольшее значение. Это хорошо видно на рис. 3.3 б, где показана бесконечно малая окрестность точки А.
В этой окрестности эквипотенциальные поверхности и практически параллельны и изменения потенциала на интервалах и 
одинаковы. Следовательно,
Найдем теперь производные потенциала в точке А по направлению каждой из координатных осей x, y и z :
, 
,
.
Видно, что эти производные являются проекциями градиента (как векторной величины) по оси x, y, z , т.е.
, 
, 
.
По абсолютной величине
. (3.11)
На основании формул (3.2 -3.4)
. (3.12)
Таким образом, установлен очень важный факт, заключающийся в том, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком. Расписывая это выражение по координатам, находим, что
. (3.14)
На основании (3.2), учитывая, что , получим:
С учетом (3.12) также получим:
, (3.16)
. (3.17)
Последнее уравнение называют уравнением Пуассона. В развернутом виде
. (3.18)
Если в исследуемом объеме отсутствуют заряды, то
, (3.19)
. (3.20)
Это уравнение называют уравнением Лапласа.
Полученные уравнения позволяют решить следующую очень важную задачу. Как, зная распределение зарядов в некоторой области определить напряженности полей E x , E y , E z в каждой точке пространства с координатами x, y, z . Из анализа выражения (3.15) следует, что решить непосредственно уравнение
относительно трех неизвестных E x , E y , E z нельзя.
Однако можно решить дифференциальные уравнения в частных производных Пуассона относительно одной неизвестной – потенциала U , а затем найти составляющие поля из уравнения (3.12). Что касается уравнения Лапласа, то, казалось бы, что при отсутствии зарядов его нет смысла рассматривать. Однако его решения очень важны тогда, когда можно задать граничные условия. В этом случае оно дает единственное решение для свободного пространства, если заданы значения полей на некоторой границе.
Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности
Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.
Работа по перемещению положительного единичного точечного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 2 -х 1 =dх, равна Exdх . Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:
где i, j, к - единичные векторы координатных осей х, у, z.
Из определения градиента (12.4) и (12.6), следует, что
т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определится тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.
Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение.
Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),
. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы ^разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.