Вычислить значение функции комплексного переменного. Тфкп

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг :

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Ввести нижний предел для интеграла
Ввести верхний предел для интеграла

Решение двойных интегралов

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Решение несобственных интегралов

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)

Решение тройных интегралов

Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости, заданную параметрическими уравнениями

(определение гладкой кривой дано в начале §8). Как уже отмечалось в § 8, эти уравнения можно записать в компактной форме:

При изменении параметра t от а до /3 соответствующая точка z(t) будет двигаться по кривой Г. Поэтому уравнения (15.1) и (15.2) не только определяют точки кривой Г, но и задают направление обхода этой кривой. Кривая Г с заданным направлением ее обхода называется ориентированной кривой.

Пусть в области D С С задана непрерывная функция /(г) = = и(х, у) + iv(x. у), и пусть кривая Г лежит в D. Чтобы ввести понятие интеграла [ f(z)dz от функции f(z) по кривой Г, определим г

дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выражение преобразуется к виду

Таким образом, интеграл от комплексной функции f(z) по кривой Г естественно определить равенством

в правую часть которого входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций и и и. Для вычисления этих интегралов следует вместо х и у подставить функции x(t) и t/(/), а вместо dx и dy - дифференциалы этих функций dx = x"(t) dt и dy = y"(t) dt. Тогда интегралы в правой части (15.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t

Теперь мы готовы дать следующее определение.

Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного f(z) называется число, обозначаемое J" f(z)dz и вычисляемое по

где z(t) = x(t) + iy(t), а ^ t ^ ft, - уравнение кривой Г, a z"(t) = = x"(t ) + iy"{t).

Пример 15.1. Вычислить интеграл от функции f(z) = (г - а) п по окружности радиуса г с центром а, направление обхода которой против часовой стрелки.

Р е ш е н и е. Уравнение окружности z - а = г будет z - а = ге а, или

При изменении t. от 0 до 2тг точка z(t.) движется по окружности Г против часовой стрелки. Тогда

Применяя равенство (15.5) и формулу Муавра (2.10), получаем

Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:

Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса г окружности.

П р и мер 15.2. Вычислить интеграл от функции f(z ) = 1 но гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке Ь.

Р е ш е н и е. Пусть кривая Г задается уравнением z(t.) = x(t ) + + iy{t), а ^ t ^ /3, причем а = -г(а), Ь = z({3). Используя формулу (15.5), а также формулу Ньютона Лейбница для вычисления интегралов от действительных функций, получим

Мы видим, что интеграл f 1 dz не зависит от вида пути Г, соединяю-

щего точки а и 6, а зависит только от концевых точек.

Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплексной функции f(z) по кривой, аналогичный определению интеграла от действительной функции по отрезку.

Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков точками zq = a, z 1, ..., z n -ь z n = Ь, занумерованными в направлении движения от начальной точки к конечной (рис. 31). Обозначим z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n - Z n - 1 = = Az n . (Число Azk изображается вектором, идущим из точки zi L_i в Zk-) На каждом участке (zk-i,Zk) кривой выберем произвольную точку (д- и составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой. Обозначим через Л длину наибольшего из участков, на которые разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для которой Л -? 0 (при этом п -* оо).

П1>едел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интегралом от функции /(г) по кривой Г и обозначается Г f(z)dz:

Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле (15.3) и, следовательно, эквивалентно определению (15.5), данному выше.

Установим основные свойства интеграла / f(z)dz.

1°. Линейность. Для любых комплексных постоянных а и b

Это свойство следует из равенства (15.5) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.

2°. Аддитивность. Если кривая Г разбита на участки Ti м Г2, то

Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, Ь разбита точкой с на две части: кривую Гi с концами а, с и кривую Гг с концами с, Ь. Пусть Г задается уравнением z = z(t ), а ^ t ^ в. причем а = 2(a), b = z(ft), с = 2(7). Тогда уравнения кривых Г1 и Гг будут z = z(t), где а ^ t ^ 7 для Ti и 7 ^ t ^ /? для Гг. Применяя определение (15.5) и соответствующие свойства интеграла по отрезку, получим

что и требовалось доказать.

Свойство 2° позволяет вычислять интегралы не только по гладким кривым, но также и но кусочно гладким , т.е. кривым, которые можно разбить на конечное число гладких участков.

3°. При изменении направления обхода кривой интеграл меняет знак.

Доказаге л ь с т в о. Пусть кривая Г с концами а и Ь задается уравнением г = г(?), о ^ t ^ $. Кривую, состоящую из тех же точек, что и Г, но отличающуюся от Г направлением обхода (ориентацией), обозначим через Г“. Тогда Г - задается уравнением z = 2i(J)> где z(t) = 2(0 -I- fi - t), Действительно, введем новое переменное г = а + - t. При изменении t от а до (д переменное г изменяется от (5 до а. Следовательно, точка г(т) пробежит кривую Г".

Свойство 3° доказано. (Заметим, что из определения интеграла (15.8) это свойство следует непосредственно: при изменении ориентации кривой все приращения AZk меняют знак.)

4°. Модуль интеграла f f(z)dz не превосходит значения криволи- г

нейного интеграла от модуля функции по длине кривой s (криволинейного интеграла от f(z) первого рода):

Легко видеть, что z[(t) = г" г (т)(а + - t )J = -z" t (t), dt = -dr. Используя определение (15.5) и переходя к переменному г, получим

Доказательство. Воспользуемся тем, что для интеграла по отрезку

(это неравенство сразу следует из определения интеграла по отрезку как предела интегральных сумм). Отсюда и из (15.5) имеем

1. Основные понятия и утверждения

Теорема 5.1 (достаточное условие существования интеграла от функции комплексного переменного). Пусть L – простая гладкая кривая на , f (z )=u (x ;y )+i×v (x ;y ) непрерывна на L . Тогда существует , причем справедливо равенство:

Теорема 5.2. Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически: L : z (t )=x (t )+i×y (t ), a £t £b , функция f (z ) непрерывна на L . Тогда справедливо равенство:

(где ). (5.2)

Теорема 5.3. Если f (z ) аналитическая в области D функция, то - аналитическая функция и F" (z )=f (z ), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z 0 и z .

- формула Ньютона-Лейбница .

2. Способы вычисления интеграла

Первый способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к криволинейным интегралам от функций действительных переменных (применение формулы (5.1)).

1. Найти Ref =u , Imf =v .

2. Записать подынтегральное выражение f (z )dz в виде произведения (u +iv )(dx +idy )=udx-vdy +i (udy +vdx ).

3. Вычислить криволинейные интегралы вида по правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода.

Пример 5.1. Вычислить по параболе y=x 2 от точки z 1 =0 до точки z 2 =1+i.

■ Найдем действительную и мнимую части подынтегральной функции. Для этого подставим в выражение для f (z ) z=x+iy :

Так как y=x 2 , то dy= 2x , . Поэтому

Второй способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к определенному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования (применение формулы (5.2)).

1. Записать параметрическое уравнение кривой z =z (t ) и определить пределы интегрирования: t=a соответствует начальной точке пути интегрирования, t=b - конечной.

2. Найти дифференциал комплекснозначной функции z (t ): dz =z ¢(t )dt .

3. Подставить z (t ) в подынтегральное выражение, преобразовать интеграл к виду: .

4. Вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 5.2. Вычислить , где С - дуга окружности , .

■ Параметрическое уравнение данной кривой: , 0£j £p . Тогда . Получаем

Пример 5.3. Вычислить , где С – верхняя дуга окружности при условии: а) ,б) .

■ Задание значений функции в контуре интегрирования позволяет выделить однозначные ветви выражения , k= 0,1. Так как при имеем , k= 0,1,то в первом случае выделяем ветвь с k= 0, а во втором – с k= 1.

Подынтегральная функция на контуре интегрирования непрерывна. Параметрическое уравнение данной кривой: , 0£j £p . Тогда .

а) Ветвь определяется при k= 0, то есть из получаем .

б) Ветвь определяется при k =1, то есть из получаем .

Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях (применение формулы (5.3)).

Найти первообразную F (z ), используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа. Применить формулу Ньютона-Лейбница: .

Пример 5.4. Вычислить , где С – прямая АВ , z А =1-i , z В =2+i.

■ Так как подынтегральная функция - аналитическая на всей комплексной плоскости, то применим формулу Ньютона-Лейбница

3. Основные теоремы интегрального исчисления

функций комплексного переменного

Теорема 5.4 (Коши). Если f (z G функция, то , где L - любой замкнутый контур, лежащий в G .

Теорема Коши имеет место и для многосвязной области.

Теорема 5.5. Пусть функция f (z ) аналитическая в односвязной области D , L -произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D . Тогда для любой точки z 0 , лежащей внутри контура L , справедлива формула:

, (5.4)

где L обходится в положительном направлении.

Формула (5.4) называется интегральной формулой Коши . Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре.

Теорема 5.6. Всякая функция f (z ), аналитическая в области D , имеет производные всех порядков на этой области, и для "z 0 ÎD справедлива формула:

, (5.5)

где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z 0 .

4.Вычисление интегралов по замкнутому контуру

от функций комплексного переменного

Рассмотрим интегралы вида , где функция j (z) аналитическая в , а y (z) – многочлен, не имеющий нулей на замкнутом контуре С .

Правило. При вычислении интегралов вида в зависимости от кратности нулей многочлена y (z) и их расположения относительно контура С можно выделить 4 случая.

1. В области D нет нулей многочлена y (z). Тогда функция аналитическая и по теореме Коши .

2. В области D расположен один простой нуль z=z 0 многочлена y (z). Тогда записываем дробь в виде , где f (z ) – функция аналитическая в Применяя интегральную формулу Коши (5.4), получаем

. (5.6)

3. В области D расположен один кратный нуль z=z 0 многочлена y (z) (кратности n ). Тогда записываем дробь в виде , где f (z ) – функция аналитическая в Применяя формулу (5.5), получаем

4. В области D расположены два нуля многочлена y (z) z=z 1 и z=z 2 . Тогда подынтегральную функцию представляем в виде суммы двух дробей, а интеграл в виде суммы двух интегралов, каждый из которых вычисляем в соответствии с п.2 или п.3.

Пример 5.5. Вычислить , где С – окружность .

■ Находим нули знаменателя – особые точки подынтегральной функции . Это точки . Далее определяем расположение точек относительно контура интегрирования: ни одна из точек не входит в область, ограниченную окружностью с центром в точке и радиусом 2 (то есть имеем первый случай). В этом можно убедиться, выполнив чертёж или определив расстояние от каждой из точек до центра круга и сравнив с величиной радиуса. Например, для , поэтому не принадлежит кругу.

Тогда функция аналитическая в круге , и по теореме Коши .

Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входит ни один из нулей знаменателя. ■

Пример 5.6. Вычислить , где С – окружность .

■ Рассуждая, как в примере 5.5, находим, что в круге расположен только один из нулей знаменателя (второй случай). Поэтому записываем подынтегральную функцию в виде , функция аналитическая в круге . Тогда по формуле (5.6)

.■

Пример 5.7. Вычислить , где С – окружность .

Теоретический минимум
Часто встречаются случаи, когда вычисление определённых интегралов методами комплексного анализа предпочтительнее, чем методами
вещественного анализа. Причины могут быть самыми разными. Методы ТФКП могут позволять в отдельных случаях сильно сократить вычисления.
Иногда формулу Ньютона-Лейбница нельзя использовать, так как неопределённый интеграл не выражается в элементарных функциях.
Методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости, да и параметр иногда
приходится вводить искусственно.
Обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы - по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке
интегрирования функций. Общая идея заключается в следующем. Составляется контурный интеграл. Интеграл по некоторым участкам контура должен
совпадать с искомым определённым интегралом - по крайней мере, с точностью до постоянного множителя. Интегралы по остальным участкам контура
должны вычисляться. Затем применяется основная теорема о вычетах, согласно которой
,
где - это особые точки функции , находящиеся внутри контура интегрирования . Таким образом, контурный интеграл с одной
стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл, а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов (что обычно
серьёзных сложностей не представляет).
Основная сложность - выбор контура интегрирования. Его подсказывает, в принципе говоря, подынтегральная функция. Однако без достаточной
практики овладеть данным методом сложно, а потому примеров будет приведено довольно много. Наиболее часто используются контуры, составленные из
элементов, по которым удобно проводить интегрирование (прямые, дуги окружностей).

интегрирования в комплексной плоскости
Пример 1. Интегралы Френеля .
Вычислим интегралы , .
Несложно догадаться, что первым шагом является переход к экспоненциальной форме, предполагающий рассмотрение интеграла .
Нужно только подобрать контур интегрирования. Понятно, что в контур должна войти полуось . Вещественная и
мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы Френеля. Далее, вычисляемый контурный интеграл по структуре
подынтегрального выражения напоминает интеграл Эйлера-Пуассона, значение которого известно. Но чтобы получить этот интеграл, нужно положить
, тогда . А такое представление переменной - это интегрирование по прямой, проходящей через точку
под углом к вещественной оси.
Итак, два элемента контура есть. Чтобы контур замкнулся, будем считать, что выбранные два участка контура имеют конечную длину , и замкнём
контур дугой окружности радиуса . Позже мы устремим этот радиус к бесконечности. В результате получается изображённый на рис. 1 контур.

(1)
Внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет, поэтому интеграл по всему контуру равен нулю.

.
В пределе этот интеграл равен нулю.
На участке можно записать , тогда
.
Подставляем полученные результаты в (1) и переходим к пределу :

Отделяя вещественную и мнимую части, находим, учитывая значение интеграла Эйлера-Пуассона
,
.
Пример 2. Выбор контура интегрирования, содержащего внутри особую точку подынтегральной функции .
Вычислим интеграл, похожий на рассмотренный в первом примере: , где .
Вычислять будем интеграл . Контур выберем аналогичный тому, который использовался в первом примере. Только теперь нет цели
свести вычисление к интегралу Эйлера-Пуассона. Здесь заметим, что при замене подынтегральная функция не изменится.
Это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так, чтобы она составляла с вещественной осью угол .

При записи контурного интеграла
(2)
интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю. На участке можно записать :
.
Таким образом, из (2) при переходе к пределу находим
.
Здесь учтено, что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс .

Отсюда находим искомый интеграл:
.
Пример 3. Через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования ?
На следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования. Вычислим
интеграл .
Фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси, на которой подынтегральная функция не имеет
особенностей. Остаётся только замкнуть контур интегрирования. Так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки, то
замкнуть контур можно полуокружностью, радиус которой следует устремить к бесконечности. И здесь возникает вопрос о том, как должна
быть выбрана полуокружность: в верхней или нижней полуплоскости (см. рис. 3 а, б). Чтобы понять это, запишем интеграл по полуокружности
в обоих случаях:

а)
б)
Как видно, поведение интеграла в пределе определяется множителем .
В случае "а" , а потому предел будет конечен при условии .
В случае "б" - напротив - , а потому предел будет конечен при условии .
Это наводит на мысль, что способ замыкания контура определяется знаком параметра . Если он положителен, то
контур замыкается через верхнюю полуплоскость, в противном случае - через нижнюю. Рассмотрим эти случаи отдельно.
а)
Интеграл по полуокружности в пределе , как мы видели, обратится в нуль. Внутри контура (см. рис. 3а) находится
особая точка , поэтому

б)
Аналогично находим с помощью интегрирования по контуру, изображённому на рис. 3б,

Замечание . Может показаться странным, что интеграл от комплексной функции получился вещественным. Однако это легко понять, если в исходном
интеграле выделить вещественную и мнимую часть. В мнимой части под интегралом окажется нечётная функция, а интеграл вычисляется в симметричных
пределах. Т.е. мнимая часть обратится в нуль, что и получилось в нашем расчёте.
Пример 4. Обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования .
В рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек, либо они были внутри контура интегрирования. Однако
бывает удобно выбрать контур так, что на него попадают особые точки функции. Такие точки приходится обходить. Обход осуществляется
по окружности малого радиуса, который в дальнейшем просто устремляется к нулю. В качестве примера вычислим интеграл .
Может показаться, что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек, так как точка является устранимой особенностью.
Но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции (чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на
замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса): . Здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность
в точке .

Таким образом, требуется другой контур интегрирования (см. рис. 4). Он отличается от рис. 3а только тем, что особая точка обходится по полуокружности,
радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю.
. (3)
Сразу заметим, что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю, а внутри контура
особых точек нет, так что весь интеграл по контуру равен нулю. Далее рассмотрим первое и третье слагаемые в (3):

.
Теперь запишем интеграл по малой полуокружности, учитывая, что на ней . Также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности:

Не выписаны слагаемые, стремящиеся к нулю в пределе .
Собираем слагаемые в (3) - кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого.

Как видно, обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились. Устремляя и , имеем
.
Замечание . Совершенно аналогично вычисляется, например, интеграл Дирихле (напомним, он отличается от только что рассмотренного отсутствием
квадратов в числителе и знаменателе).
Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
интегрирования в комплексной плоскости (продолжение)
Пример 5. Подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек .
Во многих случаях выбор контура осложнён тем, что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек. В этом случае может
оказаться так, что сумма вычетов в действительности будет рядом, сходимость которого ещё придётся доказывать, если суммировать его
не получается (а суммирование рядов - вообще отдельная довольно сложная задача). В качестве примера вычислим интеграл .
Понятно, что часть контура - вещественная ось. На ней у функции особенностей нет. Обсудим, как замкнуть контур. Выбирать полуокружность не следует.
Дело в том, что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей . Поэтому внутрь контура, замкнутого полуокружностью
в пределе бесконечно большого радиуса, попадёт бесконечно много особых точек. Как ещё можно замкнуть контур? Заметим, что .
Отсюда следует, что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок, параллельный вещественной оси. Контур замкнётся двумя
вертикальными отрезками, в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси (см. рис. 5).

На вертикальных участках контура . Гиперболический косинус с ростом аргумента (по модулю) растёт экспоненциально, поэтому
в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю.

Итак, в пределе
.
С другой стороны, внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции. Вычеты в них
,
.
Следовательно,
.
Пример 6. Подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны .
Существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования. До сих пор подынтегральная
функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла, либо переходила в неё отделением
вещественной или мнимой части. Но не всегда всё оказывается так просто. Вычислим интеграл .
В смысле выбора контура особой проблемы нет. Хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов , мы уже знаем
по опыту предыдущего примера, что нужен прямоугольный контур, так как . Единственное отличие от примера 5 заключается в том,
что на прямую попадает полюс подынтегральной функции , который нужно обойти. Поэтому выбираем изображённый
на рис. 6 контур.

Рассмотрим контурный интеграл . Мы не станем расписывать его на каждом участке контура, ограничившись горизонтальными
участками. Интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому. Запишем интегралы по остальным участкам:
.
В пределе и первые два интеграла дадут , потом они войдут в контурный интеграл в сумме
с искомым, который отличается знаком. В результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет. Это означает, что
подынтегральная функция была выбрана неверно. Рассмотрим другой интеграл: . Контур оставляем прежним.

Для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам. Интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в .
Этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах.

В пределе и первые две скобки обратятся в нуль, снова образовав интегралы от нечётных функций
в симметричных пределах. А вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл. Имеет смысл продолжать вычисление.
Аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при . Остаётся найти интеграл
по полуокружности, где . Как в примере 4, вычисляем интеграл, учитывая малость :
.
Итак, у нас есть всё, чтобы записать в пределе и контурный интеграл:

А с другой стороны, внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции