Переломы 

Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении задач

Алгебраический метод

Алгебраический метод решения задач на построении - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

Но, к сожалению, в школьном курсе геометрии алгебраическому методу практически не уделяется внимания, хотя с методической точки зрения изучение этого метода не представляет особых сложностей.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;

в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;

г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);

д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.

В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами :

1) х = а + b (рис. 8).

2) х = а -- b(а > b) (рис. 9).

Рис. 8

3) х = nа , где n -- натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построен отрезок х , такой, что х = 6а .


Рис. 10

4) х = .

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b , так что OB = nb (см. рис. 11). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а . Через точку В 1 , определяемую условием 0В 1 = b , проводим прямую, параллельную АВ , и отмечаем точку A 1 , в которой она пересечет отрезок а .

5) х = а (n и m -- данные натуральные числа).

Разделим отрезок а на m равных частей и увеличим полученный отрезок в п раз.

6) х = (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции с: а = b: х . Пусть (рис. 12) ОА = а , ОС = с , так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О . На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОB = b . Через точку А проводим прямую, параллельную ВС , и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ . Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х .


Рис. 12

Можно воспользоваться построением 6), полагая b = а.

8) х = (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Строим отрезки АС = а , ВС = b , так что АВ = а + b . На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD .

9) х = Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 14).

10) х = (a > b). Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b .

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

Желательно постепенное изучение этих формул, когда каждая из них разбирается при рассмотрении теории, необходимой для осуществления соответствующего построения.

На этом месте целесообразно также введение простейших задач на алгебраический метод (например, задача о восстановлении отрезков по их сумме и разности) с тем, чтобы формулы рассматривались во взаимосвязи. В дальнейшем, перед серьезным изучением метода, формулы следует повторить.

В Приложении 4 приведена задача на алгебраический метод: “Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом”.

Вывод. Описанные методы рекомендуется использовать для решения геометрических задач на построение. При этом необходимо обращать внимание в том числе и на развитие инициативы учащихся, привитие им вкуса и навыков к решению конструктивных задач.

Было бы неправильно думать, что методы решения задач на построение могут служить основой для классификации самих задач. Существенным, а не случайным следует признавать то обстоятельство, что целый ряд задач на построение может одинаково успешно решаться различными методами. С другой стороны, существуют задачи, которые решаются просто комбинацией основных построений без явного применения какого-либо метода.

С методической точки зрения наиболее приемлемым является применение при обучении решению задач на построение следующего принципа. Необходимо осуществлять последовательный подбор задач в соответствии с целями курса геометрии и постепенное ознакомление учащихся с методами решения задач на построение.

В свою очередь, необходимо ознакомить учащихся с самими методами и научить определять, каким из них можно решить предложенную задачу. Для этого, прежде всего, учащихся необходимо научить выделять наиболее характерные признаки задач, решаемых тем или иным методом. Эти признаки определяются самим содержанием метода.

При решении задач на построение алгебраическим методом:

1) составляют уравнение или систему уравнений по условию задачи;

2) решают полученное уравнение или систему и находят нужное неизвестное;

3) осуществляют геометрическое построение по полученной формуле.

Прежде чем переходить к примерам, разберем основные задачи, применяемые при алгебраическом методе (нумерация является продолжением нумерации основных задач). Укажем только решение этих задач, а обоснование предоставляется читателю.

Задача 13. Даны отрезки а и b. Построить отрезок

Решение . Строим прямой угол с вершиной О (рис.25). На его сторонах откладываем отрезки ОА=a и ОВ=b . Тогда отрезок АВ является искомым.

Задача 14. Даны отрезки а и b. Построить отрезок

Решение . Строим прямой угол с вершиной в точке О (рис.26). На одной из его сторон откладываем отрезок ОВ=b . Проводим окружность с центром в точке В и радиуса a . Она пересечет вторую сторону угла в точке А. Отрезок ОА является искомым.

Задача 15. Даны отрезки а и b. Построить отрезок

Решение . На отрезке АВ=a+b , как на диаметре строим окружность. Пусть C такая точка на АВ, что АС=a . В точке С восстанавливаем перпендикуляр к АВ. Он пересечет окружность в точке Д. Отрезок СД искомый (рис.27). Он называется средним геометрическим отрезков a и b .

Задача 16. Даны отрезки а , b и с. Построить отрезок

Решение . Строим произвольный угол с вершиной в точке О (рис.28). На одной из его сторон откладываем последовательно отрезки ОА=a и АС=c , а на второй ОВ=b . Через точку С проводим прямую, параллельную АВ. Она пересечет вторую сторону угла в точке Д. Отрезок ВД искомый. Его называют четвертым пропорциональным отрезком.

ПРИМЕР 20. Даны отрезки a,b и с. Построить отрезок

Построение .

1) строим отрезок ;

a,a,1;

3) строим отрезок

ПРИМЕР 14. Даны отрезки a и b. Построить отрезок

Построение .

1) строим отрезок , как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 2b и вторым катетом b ;

2) строим отрезок , как четвертый пропорциональный отрезков a,a,1;

3) строим отрезок

ПРИМЕР 24. Даны окружность и точка А вне ее. Из этой точки провести секущую так, чтобы она делилась окружностью пополам.

Анализ . Зная положение точки относительно круга, можно построить касательную, длина которой известна и пусть она равна a . Пусть АС – секущая и В – ее середина, АВ=ВС=x . По формуле зависимости секущей и касательной, проведенной из одной точки, имеем . Отсюда Полученный отрезок представляет собой половину гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом a (рис.29).


Построение . Найдем длину касательной, проведенной из точки А к данной окружности. Затем построим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a и его гипотенузу разделим пополам. Получим отрезок x . Построим окружность с центром в точке А и радиусом, равным x . Она пересечет данную окружность в точке В. Построим луч АВ, он и даст нам искомую секущую.

Доказательство следует из построения.

Анализ . Количество решений задачи зависит от длины отрезка АО, где О – центр данной окружности. Пусть АО пересечет данную окружность в точке С и R – радиус данной окружности.

1) Если x+Rто задача имеет два решения;

2) Если x+R=AO, то задача имеет одно решение;

3) Если x+R>AO, то задача не имеет решения.

Одна из основных целей при обучении математике – научить школьников правильно и хорошо решать задачи.

Учитель математики должен в совершенстве владеть рассмотренными нами основными общими методами решения математических задач и постепенно вооружать ими своих учеников. Без этого невозможен успех в обучении математике.

Известный американский математик Дж. Пойа, посвятил проблеме поиска решения задачи специальное исследование (Дж. Пойа Как решать задачу. Учпедгиз, 1961). Особое внимание в этом труде он уделяет анализу и синтезу при поиске решения.

В конце книги он приводит таблицу, которой следует придерживаться при отыскании решения задачи. Приведем ее краткий вариант.

1. Понять предложенную задачу.

Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи? Или они недостаточны, или же чрезмерны?

2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотреть промежуточные задачи («анализ»). Составить план решения.

Сформулировать отношения между неизвестным и данными. Преобразовать (или ввести новое) неизвестное, сближая его с данными. Преобразовать данные, получив новые элементы, более близкие к искомому. Вспомнить решение аналогичной задачи. Все ли данные использованы? Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Обобщить. Рассмотреть частные случаи.

3. Реализовать найденную идею решения («синтез»).

Обосновать правильность каждого шага.

4. Решение проверить и оценить критически.

Правдоподобен ли результат? Почему? При возможности сделать проверку. Нельзя ли решить иначе, более прямым путем?

При изучении и восприятии задачи, каждый ученик должен знать и постоянно соблюдать разумное и обязательное правило : не приступать к решению задачи или поиску пути ее решения до тех пор, пока не убедился, что текст задачи полностью изучен и ясно понят, что осмыслены все данные и требования задачи, осознан характер функциональных зависимостей между входящими в задачу величинами, искомой и известными. Подобные методические правила постигаются учащимися в процессе практического их применения. Задачу со сложным текстом рекомендуется внимательно читать несколько раз. При фронтальной работе с классом учитель с помощью вопросов проверяет детальность и точность, полноту и сознательность восприятия задачи каждым учеником.

Главным этапом процесса решения задачи является поиск пути решения. Здесь наиболее эффективны различные аналитические методы и приемы, которыми школьники должны постепенно овладевать. Для этой цели потребуется постоянное внимание и усилия со стороны учителя, поскольку учащиеся обычно склонны сразу применять синтетический метод, мало пригодный для отыскания неизвестного пути решения задачи. Если же трудности встретятся и при аналитическом поиске, то ученик может попытаться вести свой поиск и по встречному, синтетическому направлению с целью сближения тех и других результатов.

Облегчению поиска пути служит наглядное , предметно реальное представление условия задачи, описанных в ней процессов, различное использование графических средств, схем с умело расставленными данными, применение вспомогательных и частных эвристических приемов.

Одной из важнейших целей, стоящих перед решением задач в курсе математики, является обучение школьников решать задачи самостоятельно. Для достижения этой цели необходимо учить поискам пути решения задачи. Опытный учитель не спешит сообщить ученикам решение задачи, а попытается вместе с учениками отыскать путь ее решения. При этом школьники приобретут определенный опыт как в решении, так и в его поиске.

Чертеж геометрической фигуры к решаемой задаче должен быть правильным, полностью соответствовать как условию задачи, так и следствиям из него. Можно рекомендовать следующее правило: чертеж делать после того, как имеется уже четкое представление о заданной фигуре, о связях между ее элементами, вытекающими из условия задачи. Конечно, сразу нарисовать правильный и точный чертеж не всегда удается, поэтому нужно учить учеников делать хорошие чертежи, постепенно используя условия задачи, отражая их на чертеже и переделывать чертеж, если данные задачи не точно на нем отражены. Также следует приучать школьников переделывать чертеж, если в процессе решения открылись новые данные, которые отсутствуют на чертеже

Учащиеся должны знать, что во избежание ошибок чертеж должен быть правильным, однако все, что используется в решении, кроме того, что известно по условию задачи, должно быть доказано логически с использованием теории предмета.

Еще одним из требований к учителю, является то, что нужно обучать учащихся поиску нескольких различных способов решения задачи (если они существуют). Это позволит развить в большем объеме логику мышления, позволят школьнику увидеть связь различных разделов математики, ее единство, научит поиску рациональных способов решения.

Учителю также необходимо постоянно совершенствоваться в плане решения задач. Не стоит останавливаться на задачах из учебника. Необходимо постоянно читать методическую литературу, статьи в методических журналах, посвященные методам решения задач. Учителю также нужно стремиться к созданию своего «банка задач», где будут собраны интересные с его точки зрения задачи, которые позволят разнообразить процесс обучения, развить интерес к предмету, а также помогут занять тех учащихся на уроке, которые уже научились решать типовые задачи.

Оценки по курсу находятся

Система выставления оценок по курсу

Экзамен

Программа курса

Повторение некоторых разделов дискретной математики

  1. Булевы функции, их запись, изображения на булевом кубе
  2. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ): сокращённые, тупиковые, кратчайшие
  3. Алгоритмы построения ДНФ: метод Нельсона, метод Блейка, критерий поглощения

Алгоритмы, основанные на вычислении оценок (АВО)

  1. Тестовые алгоритмы
  2. Алгоритмы с представительными наборами
  3. Алгоритмы вычисления оценок (АВО), обобщения АВО, эффективные формулы для оценок

Алгебраический подход к решению задач классификации

Дискретные (логические) процедуры распознавания

  1. Постановка задачи распознавания по прецедентам. Сущность дискретного (логического) подхода к задачам распознавания. Общие принципы построения дискретных (логических) процедур распознавания в случае целочисленных данных. Понятие корректного элементарного классификатора. Модели дискретных (логических) алгоритмов распознавания, основанные на построении корректных элементарных классификаторов.
  2. Построение элементарных классификаторов в тестовых алгоритмах распознавания и алгоритмах голосования по представительным наборам на основе поиска покрытий булевых матриц. Построение элементарных классификаторов в алгоритмах голосования по представительным наборам на основе преобразования нормальных форм логических функций (на примере бинарных признаков). Задача дуализации. Основные подходы к оценке эффективности алгоритмов дуализации.
  3. Алгебро-логический подход к построению корректных процедур распознавания на базе произвольных (не обязательно корректных) элементарных классификаторов. Понятие (монотонного) корректного набора элементарных классификаторов. Общая схема работы логического корректора. Подходы к снижению вычислительной сложности на этапе обучения логического корректора. Практические модели логических корректоров.
  4. Методы повышения эффективности дискретных (логических) процедур распознавания. Оценка информативности признаков, значений признаков, выделение шумящих признаков и обучающих объектов, не являющихся типичными для своего класса.

Модели данных и метрические методы обработки данных

Логико-статистические модели в распознавании

  1. Трёхкомпонентное разложение ошибки. Bias-Variance дилемма. Разложение ошибки для выпуклых комбинаций предикторов. Несократимые комбинации. Разложение ошибки для компоненты сдвига и вариационной компоненты обобщённой ошибки.
  2. Методы верификации закономерностей, основанные на перестановочных тестах. Метод оптимальных достоверных разбиений.
  3. Метод континуального голосования в модели АВО.
  4. Метод статистически взвешенных синдромов.

Литература

  1. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики / Под ред. С.В. Яблонского и О.Б. Лупанова. – М.: Наука, 1974. – 312с (глава про ДНФ)
  2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. 4-е издание, стереотипное - М.: Высшая школа, 2003. - 484 с (в конце книги - в приложение про ДНФ).
  3. Дьяконов A.Г. . - МАКСПресс, 2010. (9 глава).
  4. Дьяконов А.Г. Алгебраические замыкания модели АВО, операторы разметки и теория систем эквивалентностей . Москва, 2009. (параграфы 1.1-1.2)
  5. Дюкова Е.В. Дискретные (логические) процедуры распознавания: принципы конструирования, сложность реализации и основные модели // Учебное пособие для студентов Математических факультетов педвузов. М: МПГУ 2003 г. 30 с.
  6. Сенько О.В., Докукин А.А. Оптимальные выпуклые корректирующие процедуры в задачах высокой размерности. ЖВМиМФ, Т. 51, №9 с.1751-1760, 2011
  7. Senko O.V., Dokukin A.A. Optimal forecasting based on convex correcting procedures. in New trends in classification and data mining, (2010), Sofia,Bulgaria:ITHEA
  8. Senko O.V., Kuznetsova A.V. The Optimal Valid Partitioning Procedures // “InterStat”, Statistics in Inter- net. 2006.
  9. Сенько О.В. Алгоритм голосования по множеству операторов вычисления оценок континуальной мощности. В сб. Вопросы кибернетики. Москва, 1989.
  10. Senko O., Kuznetsova A. A recognition method based on collective decision making using systems of regularities of various types // Pattern Recognition and Image Analysis, MAIK Nauka/Interperiodica. Vol. 20, No. 2, 2010, pp. 152-162.

В последнее время широкое распространение получили алгебраические методы построения алгоритмов распознавания и прогнозирования . Суть алгебраического подхода коротко может быть описана так. Представим, что некоторая задача распознавания решается с помощью конечного набора решающих функций: , например, линейная решающая функция, - квадратичная, - правило ближайших соседей. Если качество полученных этими функциями решений окажется неудовлетворительным, то можно расширить круг используемых функций и среди этого расширенного множества попытаться найти функцию, которая давала бы более высокий результат.

Рассматривается два типа расширений. Вначале некоторые параметры исходных функций из констант превращаются в переменные. Варьирование значениями этих переменных порождает широкий класс решающих функций того или иного типа: конечный или бесконечный набор различных гиперплоскостей, набор правил ближайшего соседа с разными значениями и разной метрикой для вычисления расстояний между точками. Доказано, что почти всегда в этом параметрическом расширении можно найти решающую функцию, которая дает оптимальное решение данной задачи.

Если же встретился такой сложный случай, что оптимального решения получить не удается, тогда применяется другой (алгебраический) способ расширения разнообразия решающих правил. Рассмотрим множество операторов над множеством простейших решающих правил . С помощью алгебраических операторов можно из набора простых правил сконструировать любое более сложное правило для решения задачи . Доказано, что множество алгебраически порожденных правил содержит оптимальное правило для решения любой задачи распознавания. Разработан также способ локализации подмножества правил, среди которых находится оптимальное правило. Однако и после этого количество оставшихся вариантов может оказаться большим. Для сокращения вычислительных трудностей применяются естественные эвристические приемы как на этапе отбора наиболее перспективных правил для включения в исходное множество , так и на этапе конструирования классов их параметрического и алгебраического расширения.

Алгебраический подход успешно применяется при решении задач распознавания образов, в частности в распознавании и анализе изображений и в задачах прогнозирования многомерных динамических процессов. В русле этого подхода находятся, например, метод коллективов решающих правил (КРП) и метод комитетов .

Идея метода КРП состоит в следующем. Пусть в нашем распоряжении имеется обучающая выборка в пространстве и несколько решающих правил. Предполагается, что разные правила могут оказаться «хорошими» в одной части пространства и «плохими» в другой. Каждый признак системы имеет конечное число градаций, так что пространство можно представить состоящим из конечного количества «клеточек» (гиперпараллелепипедов). Распознаваемый объект поместим в произвольную клеточку пространства и применим для его распознавания все решающие правила по очереди. Отметим те правила, которые приняли правильное решение. Затем переместим объект в другую клеточку пространства и повторим распознавание. Снова отметим правила, успешно работавшие в этой части пространства. Таким способом просмотрим все части пространства и для каждого решающего правила укажем границы области или перечень клеточек, в которых оно оказалось наиболее компетентным. На этом этап обучения заканчивается.

На этапе распознавания контрольного объекта сначала определяется правило, которое было наиболее компетентным для той части пространства, в которую попал данный объект. Затем по этому правилу определяется принадлежность объекта к одному из распознаваемых образов.

В методе комитетов в начале рассматривается широкий набор решающих правил, например параметрическое семейство из конечного числа гиперплоскостей. Каждая плоскость делит пространство на две части, и при распознавании двух образов ( и ) можно указать вероятность присутствия представителей этих образов в одной и другой части пространства: , и , . Если в каждой из частей вероятности разных образов окажутся одинаковыми (и ), то такая плоскость интереса не представляет. Более полезными будут плоскости, которые отделяют друг от друга области с преобладающим присутствием одного из двух образов, например и . По этой информации можно выбрать подмножество (коллектив) из наиболее «информативных» плоскостей.

Решение о принадлежности распознаваемого объекта к тому или иному образу принимается коллективом правил путем голосования. Если объект относительно плоскости находится в области , то эта плоскость голосует в пользу образа с весом , а в пользу образа - с весом . Можно просуммировать голоса, поданные всеми плоскостями за -й образ, и получить оценку . Аналогично получается сумма голосов за -й образ. Решение в пользу -го образа принимается, если . Можно пользоваться не суммами, а произведениями голосов.

Процедура построения коллективного решающего правила хорошо иллюстрирует важную роль методов распознавания в процессе познания. Исходная ситуация характеризовалась высокой степенью неопределенности, отсутствием какой бы то ни было модели изучаемого явления. Каждая отдельная гиперплоскость не позволяла надежно отличать один образ от другого, т. е. была «некорректной» распознающей моделью. Параметрический класс линейных решающих правил позволил сформировать из своего состава «корректную» распознающую модель. Как подчеркивает Ю. И. Журавлев , именно таким путем с помощью методов распознавания ситуации в неформализованных или слабо формализованных естественнонаучных областях оснащаются формализованными средствами познания. Создаваемые при этом модели позволяют ответить хотя бы на вопрос «Что происходит?». Если в обучающей выборке имеется соответствующая информация, то ее дальнейший анализ может привести к обнаружению закономерностей причинно-следственного характера и сформировать модель для ответа на вопрос «Как это происходит?» или даже на вопрос «Почему именно так, а не иначе?».

Основные методы решения геометрических задач: геометрический – требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других алгебраическим.

Треугольники Признаки равенства треугольников, прямоугольных треугольников. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Задача 1. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Доказать, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов. Задача 2. Отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине О. На АC и ВD отмечены точки К 1 такие, что АК=ВК 1. Доказать, что а) ОК=ОК 1, б) точка О лежит на прямой КК 1. Задача 3 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Задача 4 (признак прямоугольного треугольника по медиане). Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Задача 5 (свойство медианы прямоугольного треугольника). Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Задача 6. Доказать, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам. Задача 7. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины, делят этот угол на три равные части. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Свойства площадей. Площади многоугольников Следствие из теоремы о площади треугольника. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теоремы о точках пересечения чевиан Теорема. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке (центроид, центр тяжести) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины. Свойства медианы: 1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то есть имеющих одинаковую площадь. 2. Три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих. 3. Отрезки, соединяющие центроид с вершинами треугольника, разбивают треугольник на три равновеликие части.

Одним из основных методов решения задач, в которых участвуют медианы треугольника, является метод «удвоения медианы» . Достроить треугольник до параллелограмма и воспользоваться теоремой о сумме квадратов его диагоналей. Задача 8. Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов всех его сторон.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам. Теорема. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке (ицентр), которая является центром вписанной в него окружности. Замечание: Очевидно, что центроид и ицентр треугольника всегда лежат внутри него.

. Решение. B A 1 1) В треугольнике ABC AA 1 – биссектриса угла A, поэтому AB: AC = BA 1: CA 1 = BA 1: (BC – BA 1) I или C А B 1 2) В треугольнике ABA 1 BI – биссектриса угла B, поэтому AI: IA 1 = BA: BA 1 или

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около него окружности. Теорема. В любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника). Вопрос. Где находится ортоцентр остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников?

Решение. B 1) Tреугольник BC 1 Н – прямоугольный, и C 1 H 2) Треугольник BC 1 C – прямоугольный, и A B 1 C

Используя формулы приведения. Откуда Замечание. Если один из углов тупой, то в (*) соответствующий косинус нужно взять по модулю.

Интересными являются задачи на нахождение расстояния от произвольной вершины треугольника до одной из его замечательных точек. Сначала решим задачу на нахождения расстояния от вершины до ортоцентра. Задача 11. В треугольнике АВС опущены высоты ВВ 1 и СС 1. Найти длину отрезка НВ, где Н – точка пересечения высот. B 1) треугольник BC 1 Н – прямоугольный, и Решение. C 1 H 2) треугольник BC 1 C – прямоугольный, и A B 1 C

Задача 12. Найти расстояние от вершины B треугольника ABC до ортоцентра, если Решение. По теореме косинусов Тогда

Задача 13. По углам A и B треугольника ABC (A

Задача 14. К какой из вершин треугольника ближе расположен ицентр? Решение. C D I A Пусть I – ицентр, точка пересечения биссектрис треугольника ABC Воспользуемся тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол. Если AB > BC, то A

Задача 15. Какая из высот треугольника наименьшая? Решение. C B 1 А 1 H A C 1 Пусть Н – точка пересечения высот треугольника ABC. Если AC B. Окружность с диаметром BC пройдет через точки С 1 и В 1. B Учитывая, что из двух хорд меньше та, на которую опирается меньший вписанный угол, получаем, что СС 1

Задача 16. Отрезок АН – высота треугольника АВС. Из вершин В и С проведены перпендикуляры ВВ 1 и СС 1 к прямой, проходящей через точку А. Доказать, что треугольники АВС и НВ 1 С 1 подобны. Найти площадь треугольника НВ 1 С 1, если площадь треугольника АВС равна S, а АС: НС 1 =5: 3. Доказательство. Так как треугольники АНС и АСС 1 прямоугольные, то точки Н и С 1 А лежат на окружности с диаметром АС. С 1 В В 1 Н Аналогично, точки В 1 и Н лежат на окружности с диаметром АВ. С треугольнике АСС 1

Значит, Так как имеют место (1) и (2), А то треугольники АВС и НВ 1 С 1 подобны. С 1 Коэффициент подобия В В 1 Н С значит,

Задача 17. Пусть в остроугольном треугольнике ABC точки A 1, B 1, C 1 есть основания высот. Доказать, что точка H - пересечения высот треугольника ABC является точкой пересечения биссектрис треугольника A 1 B 1 C 1. Решение. На сторонах AC и BC B треугольника ABC, как на C 1 А диаметрах, построим окружности. H Точки A 1, B 1, C 1 принадлежат этим окружностям. 1 A B 1 C Поэтому B 1 C 1 C = B 1 BC, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. B 1 BC = CAA 1, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

CAA 1 = CC 1 A 1, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Следовательно, B 1 C 1 C = CC 1 A 1, т. е. C 1 C является биссектрисой угла B 1 C 1 A 1. Аналогичным образом показывается, что AA 1 и BB 1 являются биссектрисами углов B 1 A 1 C 1 и A 1 B 1 C 1. B C 1 А 1 H A B 1 C Самостоятельно исследовать случаи прямоугольного и тупоугольного треугольника.