Логические связки. Логические связки в нечеткой логике

Сложные суждения – это суждения, образованные из простых с помощью логических связок.

Связь между элементами сложного суждения осуществляется с помощью логических союзов (логических связок).

Логические связки:

Главная их особенность в том, что логические союзы однозначны, тогда как грамматические союзы имеют множество смыслов и оттенков.

1. КОНЪЮНКЦИЯ (от лат. сonjunctio– союз, связь).

Знак: ˄ или &

и », «а », «но », «да », «хотя », «который », «зато », «однако », «при этом » и т.п.

Суждение «Она любит яблочный сок и зелёный чай » является конъюнкцией (связью) двух простых суждений: «она любит яблочный сок » и «она любит зелёный чай ».

а ˄ b или а & b

2. ДИЗЪЮНКЦИЯ (от лат.disjunctio– разобщение).

Знак: ˅

В русском языке конъюнкции соответствуют союзы: «или », «либо », «то ли… то ли ».

Суждение «Мы пойдём в кино или в парк » является дизъюнкцией двух простых суждений: «мы пойдём в кино» или «мы пойдём в парк» . Данная связка не является строгой, то есть не предполагает только один выбор, так как мы можем пойти и в кино, и погулять в парке.

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть: а ˅ b

3.Строгаядизъюнкция

Знак: .

Союз «или» может употребляться в строгом смысле – когда члены дизъюнкции исключают друг друга.

Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть:

4. ИМПЛИКАЦИЯ (от лат.implico– тесно связываю)

Знак: → .

В языке аналоги этой связки союзы: «если…, то »; «когда…, тогда »; «коль скоро…, то » и т.п.

Обычно с помощью импликации выражаются причинно-следственные отношения типа: «Если выглянет Солнце, то станет тепло ».a → b . Первый элемент импликации называетсяоснованием (антецедентом), второй –следствием (консеквентом).

5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (от позднелат.aequivalens– равнозначный; равноценный)

Знак: ↔ или ≡ .

В языке аналоги этой связки союзы: «если и только если »; «тогда и только тогда, когда… »; «лишь при условии, что…, то ».

Суждение: «Только тогда ребёнок получит конфету, когда доест весь суп » является эквиваленцией.

Запись этого суждения с помощью логической связки будет выглядеть: a ↔ b илиa ≡ b

6 .ОТРИЦАНИЕ

Знак: ~ или ¬ . ставятся перед суждением ~а или ¬а ; или черта, которая ставится над суждением

В языке отрицание выражается союзами и словами: «не », «неверно » и т.п.

Суждение: «Не заводится машина » записывается как~а

Суждение: «Любит или не любит » содержит строгую дизъюнкцию и отрицание.

Упражнения: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок.

1. Он в кафе закажет чай или мороженое.
2. Преступление может быть умышленным или совершённым по неосторожности.
3. Если число делится на два без остатка, то оно чётное.	a → b
4. Простое число больше единицы и имеет только два натуральных делителя.	а ˄ b
5. «Пять» больше единицы, но не простое число.	а ˄ ~ b

Самопроверка: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок

Для самопроверки выделите столбец «формула» и измените цвет шрифта

Суждение
1. Когда придёт весна, то станет тепло и растает весь снег.	a → (b ˄ с)
2. Если число больше единицы и имеет только два натуральных делителя, то оно является простым.	(а ˄ b) → c
3. студент получит зачёт-автомат по логике, только если он будет посещать занятия и правильно выполнит все задания.	a ↔ (b ˄ с)
4. Если болезнь запущена, то её трудно излечить. Однако, если болезнь не запущена, то её трудно распознать, но её не трудно излечить.	(а → b ) ˄ ~ a → (c ˄ ~b)

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложны­ми суждениями, образуемыми из простых посредством логичес­ких связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанали­зируем, каким образом перечисленные логические связки выра­жаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “Ù”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и дру­гие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять суще­ствительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и кра­сиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказы­вание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

“Интересная книга лежит на столе” и “Красиво оформленная книга лежит на столе”, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъ­юнкции (а ^ b) = (b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитыва­ется последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, та­кие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с за­пятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, по­шел дождь”.

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены

символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

“Не только А, но и В Как А, так и В.

В, хотя и А.А вместе с В.

В, несмотря на А А, в то время как В”".

Придумать примеры на все эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначен­ная а b и а ύ b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библио­теку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.

В логике высказываний различается нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а b) и строгая дизъ­юнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а ύ b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих ви­дов дизъюнкции действует закон коммутативности.

Определение. Под высказыванием принято понимать языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно в данный момент времени.

Высказывания чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, х 1 , х 2 , …

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения – истина и ложь – будем обозначать И и Л соответственно. Множество {И, Л} называется множеством истинностных значений.

Определение. Высказывание называют простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или», «не»; слова «если …, то», «либо … либо», «тогда и только тогда, когда» и др. В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определены точно. Рассмотрим логические связки (операции) над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.

В дальнейшем значению «истина» будем ставить в соответствие 1 , а «ложь» — 0 . Каждой логической операции ставится в соответствие таблица истинности . Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. В дальнейшем буден использовать таблицу истинности для установления истинностных значений сложных высказываний при данных значениях входящих в него элементарных высказываний.

Определение. Отрицанием высказывания является новое высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно (табл. 2.13).

Таблица 2.1 Таблица истинности для отрицания

номер набора

Отрицание обозначается через и читается как «не а », «неверно, что а ».

Пример 15.

А – «Степан любит танцевать».

Тогда — «Не верно, что Степан любит танцевать».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны (табл. 2.2).

Конъюнкция обозначается или a& b и читается как «a и b », «a , но b », «a , а b ».

Таблица 2.2 Таблица истинности для конъюнкции

номер набора			a Ù b

Пример 16.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Степан любит танцевать и петь».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда оба исходных высказывания ложны (табл. 2.3).

Дизъюнкция обозначается через и читается как «a или b ».

Таблица 2.3 Таблица истинности для дизъюнкции

номер набора			a Ú b

Пример 17.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Степан любит танцевать или петь».

Определение. Импликацией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда первое истинно, а второе – ложно (табл. 2.4).

Импликация обозначается a ® b и читается как «если a, то b»; « из а следует b ». При этом a называется посылкой или условием, b – следствием или заключением.

Таблица 2.4 Таблица истинности для импликации

номер набора			a ® b

Пример 18.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Если Степан любит танцевать, то он любит петь».

Определение.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний является новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях (табл. 2.5).

Таблица 2.5 Таблица истинности для эквивалентности

номер набора			a » b

Эквивалентность обозначается a » b и читается как «a эквивалентно b» .

Пример 19.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Для того, чтобы Степан любил танцевать, необходимо и достаточно, чтобы он любил петь».

Сведем все сказанное выше в единую таблицу и введем в рассмотрение еще три операции: сумма по модулю два, штрих Шеффера, стрелка Пирса (табл. 2.6).

Таблица 2.6 Краткие сведения о логических операциях

Обозначения логической операции	Другие обозначения логической операции	Набор истинностных значений, отвечающих данной логической операции	Названия логической операции и связки	Как читается выражение, приведенное в первом столбце
a			отрицание	неверно, что а; не а
	a & b a × b min(a; b)		конъюнкция, логическое умножение, логическое «и»

Отрицание (знак ­). Если А - высказывание, то (читается: не А) также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно или истинно высказывание А. Видим, что опера­ция в теории высказываний вполне соответствует понятию от­рицания в обыденном смысле слова. Операция отрицания может быть описана таблицей

Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции употребляет­ся знак л, а также & (иными словами, союз and - и).

Если А и В - высказывания, то А ˄ В (читается: А и В ) - но­вое высказывание. Оно истинно тогда и только тогда, когда А ис­тинно и В истинно.

В отличие от операции отрицания, зависящей от одного эле­ментарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных выска­зываний, поэтому они называются двуместными связками, отри­цание же - связка одноместная.

Для задания двухместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания, столб­цы - значениям другого элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.

Значение истинности сложного высказывания А ˄ В задается матрицей:

Как видно, определение операции конъюнкции вполне соот­ветствует обыденному значению союза «u». Например, проблема защищенности автоматизированных линий от возникновения ава­рии существенно зависит от надежности работы ЭА. Влияние виб­раций, возникающих при замыкании контактов, на коммутаци­онную износостойкость ЭА регулируется соотношением механи­ческой и тяговой характеристик электромагнитного привода.

Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции употребим знак ˅. Если Аи В - высказывания, то A v В (читается: А или В) - новое высказывание. Оно ложное, если А и В ложны; во всех ос­тальных случаях A v В истинно. Таким образом, матрица истин­ности для операции дизъюнкции выглядит так:

Операция дизъюнкции соответствует обычному значению сою­за «или». Например, контроль износа контактов осуществляется выбором провала или взвешиванием до и после работы контактов на весах.

Импликация. В качестве знака для импликации будем упот­реблять знак . Если А и В - два высказывания, то А В (чита­ется: А имплицирует В) - новое высказывание. Оно всегда истин­но, кроме того случая, когда А истинно, а В ложно.

Матрица истинности операции импликации следующая:

В импликации А В первый член А называется антецедентом, второй член В -консеквентном.

Импликация описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «если А , то В », «из А следует В », «А - достаточное условие для В».

Если нарастание сопротивления в межконтактном промежут­ке после прохождения тока через нуль проходит интенсивнее, чем нарастание напряжения, то повторного зажигания дуги не про­изойдет. Если ток короткого замыкания значительно превы­шает ток плавления плавкой вставки, то плавкая вставка пе­регорает и предохранитель отключает электрическую цепь.

Эквиваленция. Для этой операции употребляется знак ⇔. Опе­рация определяется так: если А и В - высказывания, то А ⇔ В (чи­тается: А эквивалентно В ) - новое высказывание, которое истин­но, если либо оба высказывания истинны, либо оба ложны.

С помощью введенных связок можно строить сложные выска­зывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа эле­ментарных высказываний.

В режимах номинальных токов 25...600 А пара контактов мо­жет выполнять двойную роль: длительное пропускание тока во включенном положении и отключение, сопровождающееся воз­никновением дуги. В первом случае контакты должны иметь ма­лое переходное сопротивление; во втором - накладываются тре­бования высокого переходного сопротивления. В обоих случаях применяют одну и ту же одноступенчатую контактную систему. Оба процесса влияют на износ контактов.

Примечание. Нестрогое неравенство представляет собой дизъюнкцию А<В ˅ (А = В).Оно истинно, если истинно по мень­шей мере одно из входящих в него простых высказываний. При­мерами сложных высказываний, встречающихся в практике, яв­ляются так называемые двойные неравенства А< В < С(А < В) ˄ (В < С), а, например, означает сложное высказывание (А< В) ˄ ((В

Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение ис­тинности сложного высказывания. Пусть дано сложное высказы­вание ((В ˅ С) ⇔ (В ˄ А)) и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие значения истинности: А = Л, В = И, С = И. Тогда В ˅ С= И, В ˄ А = Л, так что рассматриваемое высказывание ((В ˅ С) ⇔ (В ˄ А)) ложно.

Чтобы заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение истинности высказывания и , зная лингвистические значения истинности высказываний и . При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если - нечеткое подмножество универсального множества и , то два следующих утверждения эквивалентны:

Таким образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания и , если заданы лингвистические значения истинности и ?» аналогичен вопросу, который мы поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента множеству, если заданы степени принадлежности элемента множествам и ?»

Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не , а также связок и , или и влечет применительно к лингвистическим значениям истинности.

В частности, если - точка в , представляющая значение истинности высказывания «» (или просто ), где - элемент универсального множества , то значение истинности высказывания не (или) определяется выражением

. (6.7)

Предположим теперь, что - не точка в , а нечеткое подмножество интервала , представленное в виде

где - точки в , а - их степени принадлежности множеству . Тогда, применяя принцип обобщения (3.80) к (6.7), получим выражения для как нечеткого подмножества интервала , т. е.

В частности, если значение истинности есть истинно , т. е.

, (6.10)

то значение истинности ложно можно записать в виде

. (6.11)

Например, если

то значение истинности высказывания не имеет вид

Замечание 6.1. Следует отметить, что если

то согласно (3.33), имеем

Однако если

То же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно определению неопределенности очень (см. (5.38)),

С другой стороны, значение истинности высказывания очень равно

Перейдем к бинарным связкам. Пусть и - лингвистические значения истинности высказываний и соответственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда и – точки в:

имея при этом в виду, что в случае, когда и - точки в , операции , и сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и вычитания из единицы соответственно.

где и - точки в , а и - соответствующие им степени принадлежности множествам и , то, применяя принцип обобщения к , получим

Таким образом, значение истинности высказывания и есть нечеткое подмножество интервала , носитель которого состоит из точек вида

с соответствующими степенями принадлежности . Отметим, что выражение (6.25) эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности.

Пример 6.2. Предположим, что

Тогда, используя (6.25), получаем

(6.28)

Аналогично, для значения истинности высказывания или получим

(6.29)

Значение истинности высказывания зависит от того, как определена связка для числовых значений истинности. Так, если для случая, когда и - точки в , мы положим (см. (8.24))

то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20)

(6.31)

для случая, когда и - нечеткие подмножества интервала .

Замечание 6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и в терме, скажем, истинный и не очень истинный и символом в высказывании истинный не истинный . В первом случае нас интересует смысл терма истинный и не истинный , и связка и определяется отношением

(6.32)

где - смысл терма (см. определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный не истинный нас в основном интересует значение истинности высказывания истинный не истинный , которое получается из равенства (см. (6.19))

Таким образом, в (6.32)символ обозначает операцию пересечения нечетких множеств, а в (6.33) символ обозначает операцию конъюнкции. Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть , а и - нечеткие подмножества множества , определяемые следующим образом:

в то время как

Отметим, что такое же различие имеет место и в случае отрицания не и операции , как указывалось в замечании 6.1.

Замечание 6.4. Следует отметить, что, применяя принцип обобщения (3.96) к вычислению значений , и , мы молчаливо предполагали, что и - невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если и - взаимодействующие переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между и возникает даже в том случае, когда и - точки в , а не нечеткие переменные.

Замечание 6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций , , и применительно к лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматриваем нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать классическую трёхзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64))., от 0 до 1.истинный и ложный , можно заключить, что

что согласуется с (6.25).