Ушибы 

Определение упругих постоянных материала.

ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 2 (8), стр. 2GG 270

УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ

О. М. Красильников* Ю. X. Векилов, И. Ю. Мосягин

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» 119049, Москва, Россия

Дано определение изотермических и адиабатических упругих постоянных /?-го порядка (/? > 2) нагруженного кристалла. Эти постоянные полностью характеризуют упругое поведение твердого тела при произвольной нагрузке и определяются не только межатомным взаимодействием, но и внешней нагрузкой. Для кристаллов кубической симметрии, находящихся под гидростатическим давлением, найдены соотношения, связывающие эти постоянные (второго, третьего и четвертого порядков) с упругими постоянными типа Браггера соответствующего порядка, которые определяются только межатомным взаимодействием. С использованием полученных соотношений уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков ОЦК-тантала при Т = 0 рассчитаны методом функционала электронной плотности в широком интервале давлений (0-600 ГПа). Полученные в работе результаты по уравнению состояния и упругим постоянным второго порядка согласуются с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для анализа структурных превращений в твердых телах под давлением необходима информация об упругих постоянных (УП) различного порядка (2, 3 и 4) . Эти постоянные определяют (с учетом ангармонических поправок) скорость звука и, соответственно, частоты длинноволновых акустических колебаний, соотношение «напряжение деформация», характер фазовых переходов, обусловленных потерей устойчивости кристаллической решетки к однородным деформациям. Экспериментальное определение УП под давлением (особенно постоянных выше второго порядка) задача трудная, поэтому значение приобретают вычисления УП различного порядка с помогцыо компьютерного моделирования. В последние несколько лет опубликован целый ряд работ по расчету в рамках теории функционала плотности УП второго порядка металлов с кубической решеткой в мегабарном диапазоне давлений . В работах УП Та, V, Мо, N1) и \¥ находились как вторые производные свободной энергии по компонентам тензора бесконечно малых деформаций. Упругие постоянные Р1 и Си опреде-

E-mail: omkrasö"mail.ru

лялнсь в работах из соотношений «напряжение деформация» (закон Гука), деформированное состояние задавалось с помощью тензора бесконечно малых деформаций. В работах для нахождения УП второго порядка алюминия и ванадия использовалось разложение свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций.

Результаты расчета УП третьего и четвертого порядков ряда веществ с кубической решеткой (Си, А1, Аи и Ag) при атмосферном давлении приведены в работе . УП находились из разложения свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций Лагранжа. Свободная энергия вычислялась методом функционала плотности. Аналогичный расчет УП третьего порядка ванадия в интервале 0 800 ГПа проведен в работе .

Разнообразие в способах вычисления упругих постоянных связано с различными определениями этих величин (см., например, ). В ненагружен-ном состоянии все эти определения дают для УП второго порядка одни и те же значения. Однако в случае нагруженного кристалла вычисления приводят к различным величинам этих постоянных.

В настоящей работе дано определение упругих постоянных /¿-го порядка (п > 2), пригодное для описания упругих свойств как нагруженного кри-

паI.т. так и кристалла в отсутствие нагрузки. В качество примера рассчитаны УП второго и третьего порядков ОЦК-тантала в широком интервале давлений.

2. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ НАГРУЖЕННОГО КРИСТАЛЛА

Стандартное определение упругих постоянных /¿-го порядка дано в работе

(дпР То \дцидг1к1 1 (;)"("

То Кдщдг/и

Здесь Суд,; и Суд/ соответственно изотермические и адиабатические УП /7-го порядка (п > 2), ^и и соответственно свободная и внутренняя энергии кристалла, 1"о объем в не деформированном состоянии; //у компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа . Производные в (1) вычисляются при постоянной температуре Т и энтропии 5". Если а/., = ()г/. / <)!■,",. где гд, и Д, декартовы координаты точки тела, соответственно, в деформированном и не деформированном состояниях, то

Чи = т^"/.,",..;

где ¿>у символ Кронокора (по повторяющимся индексам здесь и в дальнейшем идет суммирование от 1 до 3). Компоненты тензора //у можно выразить через градиенты смещений иу = д-и^/дЩ [и, = = г, - в результате //у = и у + и^и^;/2 (вращение кристалла отсутствует). Если квадратичным слагаемым можно пренебречь, получаем тензор бесконечно малых деформаций ¡./у.

Упругие постоянные (1) полностью определяют упругое поведение нонагружонного кристалла. В нагруженном состоянии эти постоянные не учитывают работу, которая должна быть совершена против внешней нагрузки силами, вызванными дополнительной малой деформацией у. В работах рассмотрены так называемые эффективные УП для случая гидростатического давления. Эти постоянные учитывают как изменение свободной или внутренней энергии кристалла при деформации вблизи исходного состояния при заданном давлении Р, так и работу против гидростатического давления силами, обусловленными этой деформацией. Обобщая результаты этих работ, изотермические и адиабатические упругие постоянные различного поряд-

ка можно определить как соответствующие производные потенциала Гиббса С или энтальпии Н по компонентам тензора конечных деформаций //у при заданной нагрузке:

¡.¡и... - т-

1-0 \дццдщ./...

и о дщд1,к1

где п > 2. Суд,/ и Суд,/ полностью описывают упругое поведение кристалла при произвольном нагружонии. В случае гидростатического давления С = Р + Р\~, Н = и + РV. В отсутствие нагрузки определения (3) совпадают с (1). Аналогичное соотношение для изотермических УП второго порядка приведено в .

Величины Суд/... определяются не только межатомным взаимодействием, но и непосредственно приложенной нагрузкой и, в отличие от постоянных (1), обладают полной фойгтовской симметрией к перестановке индексов только при гидростатическом давлении (при других видах нагрузки такой симметрии пет) . Кроме того, для них соотношения Копти выполняться но могут, поскольку эти постоянные включают в себя внешнюю нагрузку. Как следует из работы , при использовании УП второго порядка Суд/ уравнение Кристоффеля, определяющее скорость звуковых воли в кристалле, имеет одинаковый вид как для нонагружонного, так и нагруженного кристаллов. То же относится и к условиям устойчивости кристалла , а также к соотношению «напряжение деформация» : в обоих случаях они имеют одинаковый вид.

Пользуясь соотношением (3), найдем выражение для изотермических УП второго четвертого порядков при гидростатическом давлении. Изменение потенциала Гиббса при деформации //у при давлении Р и температуре Т на единицу объема в недеформи-рованном состоянии равно

АС _ АР АУ У0 То К) Здесь ДС = С(Р,Т,"Г1)-С(Р,Т, 0), АР = Р(П. Т. //) - - Р(Р,Т,0), ДГ = V - Ко изменение объема в результате деформации, заданной компонентами тензора конечных деформаций Лагранжа »/у. Разложим ДС и в ряд по "//у до четвертого порядка включительно:

77 (<.Д1"/<./""М" + "7 (/./"/ //к»"//./""// /"/»<"" + 0 ^ О

I 2| С"ГД/ п) г, (.■11 Ьп г, ■ (5)

Таблица 1. Соотношения между и

н СЦ 1 = СЦ 1 + 2>Р Clin = Сии - 15Р Cl255 = С12.5.5 + Р

Cll2 = Си 2 - Р С1112 = С1112 + 3 Р С1266 = С1266 - Р

с12 = Ci2 + Р Cl23 = Ci23 + Р Сц22 = Сц22 + Р С1456 = Ci4.56 - Р

С144 = С144 - Р Сц 23 = Сц23 - Р С4444 = С4444 - 3 Р

D1 нСа. tfb II С155 = Ci.5.5 + Р С1144 = С1144 + Р С44.5.5 - С44.5.5 р

С4.56 = С4.56 + Р Сц.5.5 = Сц.5.5 - 2>Р

Таблица 2. Уравнение состояния и упругие постоянные тантала

\ о, А3 Р ГПа Сц, ГПа С12, ГПа С44, ГПа -Chi , ГПа Сц2, ГПа С123, ГПа С144, ГПа Ci.5.5, ГПа С4.56, ГПа

18.80 ^4.82 238.5 144.5 63.48 2258 664.9 32.9 407.8 308.9 152.1

17.97 3.87 285.4 172.0 72.58 2632 741.0 27.6 467.9 332.2 206.1

1G.38 2G.82 393.5 239.4 91.44 3374 938.8 47.9 618.7 395.6 362.6

14.90 59.43 530.6 330.8 111.4 3904 1307 - 838.7 588.5 601.3

13.50 105.3 699.1 458.57 127.4 - 2043 - 1274 1110 962.6

12.19 1G9.G 900.5 648.3 160.7 6491 2571 - 1780 1759 1437

10.98 262.1 1333 909.7 272.0 12774 2977 601.2 2362 2259 2130

9.84 398.3 1885 1256 422.5 16981 3424 1839 3049 3163 3034

8.79 597.1 2606 1803 620.3 21365 5125 2512 4244 4346 4192

В (5) линейный член разложения отсутствует, поскольку система находится в равновесии:

Vii + 77 ■ ijU>lij>IU + 77 ^ ijkimnVijVklVmn + О ^ О

I ^ijklmnpq4ij4klЧтп"Чрд

Так как AV/Vo = <7 - 1, где J = dot |a:y| , выразим a.jj через j/y, используя соотношение (2). В результате, удерживая слагаемые до четвертого порядка по //,;. получим 1

"и = ¿у + Щ - -rikir)kj +

1...... 5........

I пVrkVriVkj 0 VkjVmkVmnVni (") I О

Подстановка выражений для AG/I"o и AF/Vq в (4) позволяет выразить УП Суд./... через постоянные

Браггера Суд./... и давление Р. Кристаллы кубической симметрии (группы 43т, 432, ^З^) имеют три независимые УП второго порядка Сар, шесть постоянных третьего порядка и одиннадцать четвертого порядка Упругие постоянные даны в обозначениях Фойгта: а,3,... принимают значения от 1 до 6 в соответствии с правилом: 11 -1, 22 2, 33 3, 23 4, 13 5 и 12 6. Соотношения между Сац... и постоянными Браггера приведены в табл. 1.

В работах показано, что УП второго порядка Сац можно также получить как вторые производные свободной (или внутренней) энергии при заданном давлении Р по компонентам тензора бесконечно малых деформаций и у. Но ситуация с УП второго порядка исключение, связанное с тем, что в выражении для //у помимо линейного по ¡./у слагаемого имеется и квадратичное. Для УП при

  • О ТЕПЛОВОМ РАСШИРЕНИИ КРИСТАЛЛОВ ИЗОТОПОВ ЛИТИЯ

    МАГОМЕДОВ М.Н. - 2009 г.

  • УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДАВЛЕНИЯХ

    КРАСИЛЬНИКОВ О.М. - 2007 г.

    • Последний вопрос в теории упругости, который я разберу, - это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

    Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными .

    В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости , которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях и .

    Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

    Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10,б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем . Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

    Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором . В общем случае у него будут компоненты, содержащие , и , но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: , и . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

    (39.42)

    Назовем атом с координатами «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11. Обозначая постоянную решетки через , мы получаем - и -компоненты перемещения , , выписанные в табл. 39.1.

    Таблица 39.1 КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ,

    Положение ,

    Фиг. 39.11. Перемещение ближайших и следующих поблизости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

    Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

    Заметьте, что с точностью до первого порядка -перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент и в диагональном направлении:

    Воспользовавшись величинами и можно получить выражение для энергии

    . (39.44)

    Для полной энергии всех пружинок в плоскости нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через , получаем

    (39.45)

    Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только - и -компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости . Эта добавочная энергия равна

    . (39.46)

    Упругие постоянные связаны с плотностью энергии уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится атомов, то и связаны соотношением

    Чтобы найти упругие постоянные , нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при с соответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с и , мы находим, что множитель при нем равен

    .

    В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения от , то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при в уравнении (39.45) равен , так что получаем

    .

    Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что , поэтому

    .

    Таким же способом можно получить

    .

    Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок или , равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

    (39.47)

    Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных и . В нашем частном случае . Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

    Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что , вообще говоря, не равно . Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе - это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные и у них почти равны. Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию .

    Таблица 39.2 УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ. В (В )

    Кристалл

    формулу, связывающую упругие постоянные.

    Модуль упругости при сдвиге G(Па), Коэффициент Пуассона μ (мю) – безразм.величина, Модуль Юнга Е(Па) G= Е/2(1+ μ)

    80. Напишите формулу, вводящую понятие "полное напряжение". Поясните смысл входящих в нее

    величин.

    Где 𝛥F– равнодействующая сила [Н], 𝛥А – площадь [м 2 ], σ п – полное напряжение [Па]

    81. Поясните смысл индекса полного напряжения. Почему указание индекса является обязательным?

    Первый индекс у напряжения говорит о том, что он действует на площадки с нормалью, // оси x,а второй –

    что вектор напряжения // оси y. У нормального оба совпадают, поэтому ставится 1 индекс. 1 индекс - адрес

    82. Какие напряжения называют нормальными, какие касательными? Как связаны между собой полное, нормальное и касательное напряжения?

    Нормальное - составляющая полн напряжения, кот напр по нормали к рассматр площадке.

    Касательное - составляющая полн напряжения, лежащую в плоскости площадки, и касат к ней

    83. Что означает понятие "напряженное состояние в точке тела" и как оно количественно оценивается?

    Напряженным состоянием в точке называют совокупность норм. и касат напряжений, возникающ на трех

    взаимно ортогон площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела. Количественно оценивается тензором напряжения.

    84. Что такое тензор напряжений?

    Тензор напряжений - это 9 скалярных величин объединенных в трехмерный тензор напряженности второго

    Это независящ от системы коорд математич объект, компоненты кот при переходе от одной коорд

    системы к другой подвергаются определ линейному преобразованию

    85. Запишите тензор напряжений и дайте полное название одной из его компонент, расположенной на

    главной диагонали.

    σ х- нормальное напряжение действует на площадке, ортогональной Ох.

    86. Запишите выражение тензора напряжений и дайте полное название одной из его компонент,

    расположенной вне главной диагонали.

    Касательное напряжение, действующее на площадке, ортогональной Ох, направлена || Оу

    87. Сформулируйте правило знаков для компонент тензора напряжений.

    Для площадки с положит нормалью: положит направл совпадает с направл соотв оси

    Для площадки с отриц нормалью: положит напряж направл в сторону, противоположн соотв оси

    88. Сколько существенно различных компонент у тензора напряжений и почему?

    Формально существует 9, на самом деле всего 6(по свойству парности)

    σX, σY, σZ и τXY= τYX, τXZ = τXY, τYZ = τZY

    89.Сформулируйте свойство парности касательных напряжений и запишите соответствующую формулу

    Касат напряж, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой по величине и противоположны по знаку. τXY= τYX, τXZ = τZX, τYZ = τZY

    90. На гранях элементарного параллелепипеда, параллельных плоскости xOy покажите положительные направления действующих на них напряжений.

    91. Какие площадки называются главными?

    Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения

    92. Как записывается условие существования главных площадок в случае объемного напряженного

    состояния? К какому уравнению оно приводит?

    Приводит к уравнению σ 3 -I 1 σ 2 +I 2 σ-I 3 =0

    93. Чем являются коэффициенты и свободный член уравнения для определения главных напряжений?

    σ 3 - I 1 σ2 + I 2 σ – I 3 =0 Коэффициенты и свободный член - инварианты тензора напряжений.

    94. Какие величины называются инвариантными?

    Те величины, которые не зависят от выбора системы координат.

    95. Чему равен первый инвариант тензора напряжений?

    I 1 =σX +σY+σ Z

    96. Какие напряжения называются главными?

    Это напряжения, действующие на главных площадках, в которых касательные напряжения равны 0

    97. Как обозначаются главные напряжения и в каком порядке они нумеруются?

    Индекс показывает, по какой площадке действует нормальное напряжение.

    98. Запишите формулу, по которой вычисляются главные напряжения при плоском напряженном

    состоянии?

    99. Сколько главных площадок можно провести через точку деформируемого тела, как они

    ориентированы по отношению друг к другу?

    3 взаимно ортогональных

    100.На каких площадках нормальные напряжения достигают экстремальных значений?

    На главных.

    101.В чем состоит свойство экстремальности главных напряжений?

    Нормальное напряжение, возникающее на главных площадках, достигает экстремального значения.

    102.Запишите тензор напряжений для случая, когда оси координат совпадают по направлению с

    главными напряжениями?

    103.Чему равно наибольшее касательное напряжение в точке тела и на какой площадке оно действует? На площадке, наклоненной пол углом 45 градусов к главной площадке.

    104.Какие типы напряженных состояний в точке тела Вы знаете? По какому признаку они различаются

    По кол-ву отличных от нуля главных напряжений.

    А) линейные σ1 ≠0 ; σ2= σ3=0

    Б) плоское σ1, σ 2≠0 ; σ3=0

    В) объемное σ1, σ2, σ3, ≠0

    105.Дайте определение понятиям "относительное удлинение", "относительный сдвиг".

    Относительное удлинение – отношение абсолютного удлинения к начальной длине.

    Относительный сдвиг – величина искажения первоначально прямого угла (γ)

    106.Что означает понятие "деформированное состояние в точке тела" и как количественно оно

    оценивается?

    Совокупность линейных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений оси, проведенных через

    данную точку.

    Оценивается тензором деформаций

    107.Запишите выражение тензора деформаций и дайте полное название одной из его компонент, расположенной на/вне главной диагонали.

    ,- Относительные линейные деформации вдоль осей x , y, z.

    γ xy –угловая деформация в плоскости xy ,(относительный сдвиг)

    109.Какие оси называются главными осями деформаций?

    Три взаимно ортогональные направления, относительные сдвиги между которыми равны 0.

    110.Запишите тензор деформаций для случая, когда оси координат совпадают по направлению с

    главными осями деформаций?

    111.Запишите закон Гука для случая линейного напряженного состояния.

    σ =Eε, E-модуль Юнга(Па), ε-относительное удлинение, σ-нормальное напряжение (Па)

    112.Запишите закон Гука при чистом сдвиге.

    τ=γ*G , τ-касательное напряжение (Па), γ - относительный сдвиг, G-модуль упругости при сдвиге (Па)

    113.Запишите обобщенный закон Гука.

    , -Относительные линейные деформации вдоль осей x , y, z.

    Коэффициент Пуассона

    E-модуль Юнга (Па)

    G-модуль упругости при сдвиге (Па)

    114.Запишите закон Гука для случая, когда оси координат совпадают по направлению с главными

    осями деформаций.

    115.Зачем нужны гипотезы (теории) прочности?

    Чтобы оценить прочность в условиях плоского и объемного напряженного состояния, сравнивая с допускаемым, полученным из опыта при линейном напр. состоянии

    116.Что такое эквивалентное (расчетное) напряжение?

    Напряжение, которое следует создать в расчетном образце чтобы его объемное напряженное состояние стало

    равноопасным заданному.

    117.Какое состояние считается опасным в соответствие I гипотезы прочности?

    Когда максимальное нормальное напряжение достигает некоторых критических значений.

    118.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по I гипотезе прочности в случае

    объемного напряженного состояния.

    119.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по I теории прочности при плоском

    поперечном изгибе.

    120.Какое состояние считается опасным в соответствие II гипотезы прочности?

    Когда максимальное относительное положительное удлинение достигает некоторого критического значения

    121.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по II гипотезе прочности в случае объемного напряженного состояния.

    122.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по II теории прочности при плоском поперечном изгибе.

    123.Какое состояние считается опасным в соответствие III гипотезы прочности?

    Опасное состояние наступает, когда касательное напряжение достигает некоторого критического значения.

    124.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по III теории прочности при плоском поперечном изгибе.

    125.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по III гипотезе прочности в случае объемного напряженного состояния?

    126.Какое состояние считается опасным в соответствие IV гипотезы прочности?

    Опасное состояние возникает, когда удельная потенциальная энергия, изменения формы, достигает критического значения.

    127.Запишите формулу для эквивалентного (расчетного) напряжения по IV гипотезе прочности в случае объемного напряженного состояния?

    128.Запишите формулу для эквивалентного напряжения по VI теории прочности при плоском поперечном изгибе.

    129.Какой вид деформации стержня называется кручением?

    Кручение - один из видов простой деформации тела, возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости.

    130.Запишите предположения, которые лежат в основе теории кручения круглых валов.

    1. Сечения, плоские и перпендикулярные к оси вала до деформации, остаются такими и после деформации

    2.Радиусы в сечении остаются прямыми, углы между ними не изменяются, то есть сечения поворачиваются как круглое целое

    3.Продольные деформации отсутствуют 4.Материал вала подчиняется закону Гука

    131.Сформулируйте правило знаков для крутящего момента.

    Крутящий момент в сечении положительный, если он создается против часовой стрелки, и отрицательный, если создается по часовой, если смотреть со стороны отсеченной части

    132.Как связаны крутящий момент и интенсивность распределенного крутящего момента.

    133.По каким признакам проверяется правильность построения эпюры крутящего момента?

    1)Эпюра Мкр всегда прямолинейная

    2) На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Мкр - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

    3) Под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

    134.Что такое депланация поперечного сечения вала?

    Депланация – явление выхода сечения из плоскости.

    135.Какие напряжения возникают в поперечном сечении вала при кручении? По какой формуле они вычисляются?

    Касательные. Wp – полярный момент сопротивления [м 3 ]

    Mz – крутящий момент [Н м]

    Ip – полярный момент инерции[м^4]

    Ρ max

    136.Как направлено полное касательное напряжение при кручении круглых валов и откуда это следует?

    Если бы была составляющая вдоль радиуса, то по свойству парности τ на боковой части появился бы τ, вызванная деформацией сечения, что противоречит предположению о том, что сечение – абсолютно твердый круг.

    137.Запишите условие статической эквивалентности для крутящего момента.

    138.В каких точках поперечного сечения круглого вала возникают наибольшие касательные напряжения и как их вычисляют?

    На границе Wp 3 ]

    M кр –крутящий момент [Н м]

    Τ – допустимое касательное напряжение[Па]

    139.Как вводят понятие момент сопротивления при кручении (полярный момент сопротивления)?

    Ip – полярный момент инерции [м 4 ]

    Ρmax – расстояние от центра тяжести до рассматриваемого волокна [м]

    140.Запишите условие прочности при кручении для круглого вала. Какие задачи оно позволяет решать?

    Wp – полярный момент сопротивления [м 3 ]

    M кр –максимальный крутящий момент [Н м]

    Τмах –максимальное касательное напряжение [Па]

    Τ – допустимое касательное напряжение

    1.подбор поперечного сечения

    2. проверка прочности

    141.Запишите формулу, по которой вычисляют угол закручивания круглого вала при постоянном по длине крутящем моменте.

    ϕ =(Mx*l)/(G*Jp) ,где: Jr - геометрический полярный момент инерции [м 4 ] ; l - длина стержня [м] ; G - модуль сдвига. [Па]

    142.Что называют жесткостью поперечного сечения при кручении и какова ее размерность?

    За меру жесткости при кручении принимается произведение GIp (Н м 2 ), где G - модуль сдвига. [Па], : Jр-полярный момент инерции [м 4 ]

    143.Сформулируйте условие жесткости при кручении круглого вала.Какие задачи оно позволяет решать?

    Для обеспечения требуемой жесткости необходимо чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемогo.

    Φ-относительный угол закручивания[рад/м]

    Мкр – максимальный крутящий момент [Н]

    G Ip - жесткость при кручении [Нм 2 ]

    Ф max – максимальный угол закручивания[рад/м]

    1.подбор поперечного сечения

    2. проверка на жесткость

    ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

    ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

    Величины, характеризующие упругие св-ва изотропного материала (см. МОДУЛИ УПРУГОСТИ , ГУКА ЗАКОН). Названы по имени франц. математика Г. Ламе (G. Lame).

    Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

    ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ

    Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Для однородного изотропного тела напряжения , , . . ., , . . . в нек-рой точке его выражаются через компоненты деформации , , . . ., , . . . в той же точке шестью соотношениями вида

    где коэф. и наз. Л. п. (по имени Г. Ламе, G. Lame). Они зависят как от материала, так и от его темп-ры и удобны для общих исследований в теории упругости, когда напряжения выражены через деформации. Л. п. связаны с модулями упругости ф-лами

    Здесь Е - модуль продольной упругости, К - модуль объёмного сжатия, G - модуль сдвига, - коэф. Пуассона. По полученным эксперим. путём значениям модулей упругости с помощью приведённых зависимостей вычисляются величины Л. п.

    Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .


    Смотреть что такое "ЛАМЕ ПОСТОЯННЫЕ" в других словарях:

      Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Ламе постоянные λ и µ связаны с модулями упругости соотношениями: µ = G = E/, λ = Eν/[(1 + ν)·(1 – 2ν)] = K – 2G/3, где Е модуль продольной упругости, K модуль… … Энциклопедический словарь

      Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Постоянные Ламе? и? связаны с модулями упругости соотношениями:??=?=EЛАМЕННЕ (Lamennais) Фелисите Робер де (1782 1854) французский публицист и религиозный философ, аббат, один из …

      Величины, связывающие компоненты упругого напряжения в какой либо точке твердого изотропного деформируемого тела с компонентами деформации в этой же точке: где s и t нормальная и касательная составляющие напряжения, e компоненты деформации, а… … Математическая энциклопедия

      Величины, связывающие компоненты упругого напряжения в какой либо точке твёрдого изотропного деформируемого тела с компонентами деформации в этой же точке: σx = 2μεxx + λ(εxx + εyy + εzz), τxy = μεxy, где σ и τ… …

      Величины, характеризующие упругие свойства изотропного материала. Л. п. А. и ц. связаны с модулями упругости соотношениями: м = G = Е/, Л = = Еv/[(1+v) х (l 2v)]=.K 2G/3, где Е модуль продольной упругости, К модуль объёмного сжатия, G… …

      Ламе (Lamé) Габриель (22.7.1795, Тур, ≈ 1.5.1870, Париж), французский математик и инженер, член Парижской АН (1843). Профессор Политехнической школы (1832≈1863) и Парижского университета (1848≈63). В 1820≈32 работал в России (в институте… … Большая советская энциклопедия

      - (Lamé) Габриель (22.7.1795, Тур, 1.5.1870, Париж), французский математик и инженер, член Парижской АН (1843). Профессор Политехнической школы (1832 1863) и Парижского университета (1848 63). В 1820 32 работал в России (в институте… … Большая советская энциклопедия

      - (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства твёрдых тел (см. Упругость). Модули упругости коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта… … Энциклопедический словарь

      - (упругие постоянные) величины, характеризующие упругие свойства твердых тел (см. Упругость). Модули упругости коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта… … Большой Энциклопедический словарь

      - (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства тв. тел (см. Упругость). М. у. коэф. в зависимости деформации от приложенных механич. напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта зависимость линейная, а М. у … Естествознание. Энциклопедический словарь

    Константы упругости

    Количественно упругость характеризуется константами, свойственными каждому материалу. При этом необходимо учитывать, что большинство свойств, кроме плотности и теплоемкости, связано с анизотропией структуры. Упругость является ярко выраженным анизотропным свойством. Поэтому следует различать упругость кристаллов и анизотпропных материалов и упругость изотропных тел.

    Поликристаллические тела и материалы в целом изотропны, анизотропия их свойств проявляется только в результате формования или обработки, например прессования, штампования, прокатки, уплотнения и т.п. Таким образом, формируется анизотропия свойств керамической плитки, черепицы, стального листа и т.д. В дальнейшем рассматривается упругость только изотропных свойств, для которых не применимы представления об ориентированных кристаллографических осях и пр.

    С учетом вышеизложенного для большинства природных и искусственных материалов (горные породы, керамика, бетон, металлы и т.д.) при малых деформациях зависимости между напряжениями «σ» и деформациями «ε» можно считать линейными (рис. 5.2) и описывать обобщенным законом Гука :

    где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

    Подобным образом напряжение сдвига «τ» прямо пропорционально относительной деформации сдвига или углу сдвига у(рис. 5.3):

    где G - модуль сдвига.

    Рис. 5.2. Классическая зависимость напряжение - деформация:

    А - керамики; В - металлов; С - полимеров

    Рис. 5.3. Упругая деформация твердого тела при сдвиге

    Удлинение образца при растяжении сопровождается уменьшением его толщины (рис. 5.4). Относительное изменение толщины Δl/l к относительному изменению длины Δd/d называется коэффициентом Пуассона «μ» или коэффициентом поперечного сжатия:

    μ = (Δl/l) / (Δd/d).

    Рис. 5.4. Упругая деформация твердого тела при растяжении

    Если при деформации тела его объем не изменяется, а это может иметь место только при пластическом или вязком течении, то μ = 0,5. Однако, практически, эта величина значительно ниже теоретического показателя и для разных материалов она различна. Упругие материалы (бетон, керамика и др.) имеют невысокие значения коэффициента Пуассона (0,15-0,25), пластичные (полимерные материалы) - более высокие (0,3-0,4). Это объясняется зависимостью между силами притяжения и отталкивания и изменением межатомного расстояния при деформации.

    Модуль Юнга

    Модуль Юнга, или модуль продольной деформации Е показывает критическое напряжение, которое может иметь структура материала при максимальной ее деформации до разрушения; имеет размерность напряжений (МПа).

    Где: σ р – критическое напряжение.

    У поликристаллических материалов обычно наблюдаются отклонение от линейной σ = ƒ(ε,), несвязанное с энергией кристаллической решетки, а зависящей от структуры материала. Для оценки упругих свойств таких материалов применяют два модуля упругости: касательный Е = tgα и секущий V= tgβ, который называют модулем деформаций (рис. 5.5).

    Рис. 5.5. Схематическое изображение деформации огнеупоров:

    а - кривая деформации; б - точка разрушения;

    σ; - предельное напряжение при разрушении; ε - деформация

    Величина модуля упругости двухфазной системы является средней между величинами модулей упругости каждой из фаз, и аналитическое выражения для ее нахождения аналогичны тем, что используются при различных значениях линейного КТР.