Точечные множества.
Ограниченные и неограниченные множества. Конечные и бесконечные множества
Множества по количеству элементов могут быть конечными и бесконечными
Рассмотрим произвольное бесконечное множество вещественных чисел, оно може быть задано любым образом. Такими
Множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество правильных дробей, множество вещественных чисел между 0 и 1, множество корней уравнения sin x = ½ и т.п.
Любое из чисел множества мы обозначим через х, Само множество обозначим через Х.
Определения 7.3.
Если для множества Х существует такое число М, что для всех х≤М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М), а само М называется верхней границей Х. Например, множество натуральных дробей ограничено сверху числом 1 (и вообще любым числом, больше или равным 1), натуральный ряд сверху неограничен
Аналогично определяется ограниченное снизу множество и нижняя граница
Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом как ограничено, так и неограниченно снизу (сверху). Так, множество правильных дробей ограничено и сверху и снизу, а натуральный ряд ограничен снизу, но не сверху.
Если множество сверху (снизу) неограниченно, то за его верхнюю (нижнюю) границу принимают «несобственное» число Относительно этих «несобственных» или «бесконечных» чисел мы считаем, что каково бы ни было вещественное число α.
Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется (просто) ограниченным .
Если множество ограничено сверху, т.е. имеет конечную верхнюю границу М, то одновременно оно имеет бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое число >М, очевидно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ наибольший интерес представляет наименьшая (она же точная верхняя граница, верхняя грань, супремум множества Х , supX (от латинского supremum - наибольший))
Аналогично определяется точня нижняя граница (нижняя грань, инфинум множества Х, inf X (от infinum – наименьший))
Определение ‘
Число β называется верхней гранью числового множества X, если:
2’) для любого ε>0 существует такой , что x > β - ε
Для α=inf X определение ‘ сформулируйте сами рис. 7.3(2).
Пусть ; тогда
sup = sup (а, b) = b, inf [а, b] = inf (а, b) = а.
Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.
В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой , существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственен, так как из двух разных элементов множества больший из них не может быть наименьшим элементом, а меньший - наибольшим.
Всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Действительно, так как верхних (нижних) границ бесконечно много, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наибольшее (наименьшее, то существование супремума (инфинума) требует специального доказательства.
Теорема 7.3(1)
Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое – нижнюю.
Доказательство
Пусть непустое числовое множество А ограничено сверху, В - множество всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Если то из определения числа, ограничивающего сверху
множество, следует, что a≤b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел существует такое число β, что для всех будет выполняться неравенство a≤β≤b. Неравенство , означает, что число β ограничивает сверху множество А, а неравенство - что число β является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Следовательно, β= sup A.
Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.
Ограниченное числовое множество
Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху , если существует число , такое что все элементы не превосходят :
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Ограниченное множество" в других словарях:
1) О. м. в метрическом пространстве X(с метрикой) множество А, диаметр к рого конечен. 2) О. м. в топологич. векторном пространстве Е(над полем k) множество В, к рое поглощается каждой окрестностью нуля U(т. е. существует такое). М. И.… … Математическая энциклопедия
В метрическом пространстве то же, что вполне ограниченное подпространство данного метрич. пространства. См. Вполне ограниченное пространство. А. В. Архангельский … Математическая энциклопедия
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… … Википедия
множество - набор комплект — множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… … Справочник технического переводчика
Множество - одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… … Экономико-математический словарь
См. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО … Философская энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… … Википедия
1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z1,...,zn), п 1, такое множество Рточек нек рой области Dкомплексного пространства С n, что: а) f(z) голоморфна всюду в; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для… … Математическая энциклопедия
генеральное множество (гм) текстов - объектом самого исследования выступает не сам подъязык, а некоторое множество текстов, являющееся в принципе бесконечным или, во всяком случае, открытым. Задается оно описательно, путем характеристики источников данных текстов. Именно они… … Толковый переводоведческий словарь
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
по курсу «Математический анализ» (А-5,13,14-13)
1. Ограниченные и неограниченные множества. Примеры.
2. Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании
точной верхней (точной нижней) грани множества.
3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности.
4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.
5. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми
последовательностями.
6. Арифметические свойства пределов последовательностей.
7. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела,
ограниченность сходящейся последовательности.
8. Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в
неравенствах.
9. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной
последовательности.
10. Число е.
11. Лемма о вложенных отрезках.
12. Подпоследовательности, частичные пределы. Связь предела
последовательности с частичными пределами.
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
14. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
15. Предел функции: два определения и их эквивалентность.
16. Арифметические свойства пределов функций.
17. Свойства пределов функций: единственность предела; ограниченность
функции, имеющей предел.
18. Свойства пределов функций: предельный переход в неравенствах.
19. Односторонние пределы и их связь с пределом функции.
20. Первый замечательный предел.
21. Второй замечательный предел.
22. Бесконечно малые функции и их свойства.
23. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
функциями.
24. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
25. Эквивалентные бесконечно малые функции (таблица). Теорема об
эквивалентных бесконечно малых функциях.
26. Сравнение бесконечно больших функций. Примеры.
27. Непрерывность функции в точке (3 определения). Свойства функций,
непрерывных в точке.
28. Непрерывность сложной функции.
29. Классификация точек разрыва функции.
30. Точки разрыва монотонной функции.
31. Первая теорема Вейерштрасса.
32. Вторая теорема Вейерштрасса.
33. Теорема о нуле непрерывной функции.
34. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной
функции. Следствие теоремы Больцано-Коши.
35. Критерий непрерывности монотонной функции.
36. Непрерывность обратной функции.
37. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.
38. Производная функции в точке. Производные элементарных функций
(примеры и таблица). Геометрический смысл производной.
39. Дифференцируемость функции в точке (два определения и их
эквивалентность). Непрерывность дифференцируемой функции.
40. Арифметические свойства дифференцируемых функций.
41. Производная сложной функции.
42. Производная обратной функции.
43. Производная функции, заданной параметрически.
44. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
45. Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Инвариантность
формы записи первого дифференциала.
46. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи
второго дифференциала.
47. Теорема Ферма.
48. Теорема Ролля.
49. Теорема Лагранжа.
50. Теорема Коши для дифференцируемых функций.
51. Правило Лопиталя.
52. 53. 54. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формулы Тейлора для элементарных функций.
55. Признак монотонности функции.
56. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального
экстремума.
57. Первое достаточное условие локального экстремума.
58. Второе достаточное условие локального экстремума.
59. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости функции.
60. Связь выпуклости функции и касательной к графику функции
(формулировка).
64. Точка перегиба функции. Необходимое условие для точки перегиба.
65. Достаточные условия для точки перегиба (2 теоремы).
66. Асимптоты графика функции.
1. Ограниченные и неограниченные множества. Примеры.
Доказательство.
Следствие.
Пример.
2. Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани множества.
Утверждение.
Доказательство.
Теорема о существование точной верхней(нижней) грани . Доказательство.
3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности.
Теорема о связи б.м. и сходящейся последовательности. Доказательство.
4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.
Теорема 1. Доказательство.
Следствие .
5. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми последовательностями.
Теорема.
Доказательство.
6. Арифметические свойства пределов последовательностей.
Теорема.
Докозательство.
Теорема.
Доказательство.
7. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.
Теорема:
(о единственности предела): Если
-сходящаяся,
то предел единственный.
Доказательство:
Пусть
,
,
.
Для определенности
имеем:
.
<
<
<
.
<
.
Противоречие.
Теорема:
(об ограниченности сходящейся
последовательности): Если
-сходится,
то она ограничена.
-
сходящаяся
:
.
Возьмем
=1
.
Обозначим
,
тогда
Тогда
Отсюда для обоих
случаев
Замечание: обратное не верно.
8. Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенствах.
Теорема: (о предельном переходе в неравенство):
Пусть
,
.
.
Тогда
.
Замечание:
.
Доказательство (от противного):
Пусть
.
Возьмем
.
Обозначим
.
-
противоречие.
Замечание:
Если для элементов последовательности
выполняется
,
то отсюда не следует, что
.
.
=
,
=,
.
9. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Определение:
-монотонно
возрастающая (монотонно убывающая),
если
(
).
Если неравенства строгие, то
последовательности строго возрастающие (убывающие).
Теорема (о пределе монотонной
последовательности).
Пусть
Монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем
.
Доказательство:
ограничена
сверху =>по теореме существования
точной верхней
грани
.
Докажем, что
.
:
1)
2)
.
Возьмем произвольный
,
обозначим
из
2).
1)=>
2)=>
(монот.
возр).
Из этого следует, что
,
=>
.
Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)
10. Число е.
Сложно доказать, что
функция
при
имеет предел. Этот
предел обозначается буквой
в
честь открывшего
его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что
это- иррациональное
число и что
=2,718281828459….
Формула,
определяющая число
по
традиции называется второй замечательный
предел.
.
Также число
-основание
натуральных логарифмов.
Рассмотрим
.
Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.
Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел - множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.
Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.
Введем обозначения для простейших множеств на прямой.
Отрезок - это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам .
Интервал - это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям .
Полуинтервалы и определяются соответственно условиями: и .
Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными . Именно, обозначает всю прямую, а, например, - множество всех точек, для которых .
Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.
Ограниченные и неограниченные множества
Множество точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество называется ограниченным , а во втором - неограниченным . Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка , а примером неограниченного множества-множество всех точек с целыми координатами.
Нетрудно видеть, что если - фиксированная точка на прямой, то множество будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.
Множества, ограниченные сверху и снизу
Пусть - множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка , что любая точка расположена левее точки , то говорят, что множество ограничено сверху . Аналогично, если на прямой существует такая точка , что любая точка расположена правее точки , то множество называется ограниченным снизу . Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.
Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.
Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке .
Верхняя и нижняя грань множества
Пусть множество ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки , правее которых нет ни одной точки множества . Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек , обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества . Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.
Если во множестве есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества . Однако может случиться, что во множестве нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами
ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань не принадлежит множеству , но сколь угодно близко к имеются точки множества . В приведенном выше примере .
Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой
Пусть - точечное множество и - какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества вблизи точки . Возможны следующие случаи:
1. Ни точка , ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству .
2. Точка не принадлежит , но сколь угодно близко к ней имеются точки множества .
3. Точка принадлежит , но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат .
4. Точка принадлежит , и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества .
В случае 1 точка называется внешней к множеству , в случае 3 - изолированной точкой множества , а в случаях 2 и 4 -предельной точкой множества .
Таким образом, если , то точка может быть либо внешней к , либо предельной для него, а если , то она может быть либо изолированной точкой множества , либо его предельной точкой.
Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества . Иными словами, точка является предельной точкой множества , если любой интервал , содержащий точку , содержит бесконечно много точек множества . Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.
Если точка и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству , то такая точка называется внутренней точкой множества . Всякая точка , которая не является для ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества .
Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.
Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами
Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой - внешние к .
Пример 2. Пусть множество состоит из всех рациональных точек отрезка . Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка является предельной точкой , а все остальные точки на прямой - внешние к . Ясно, что среди предельных точек множества имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.
Пример 3. Пусть множество состоит из всех точек отрезка . Как и в предыдущем примере, множество не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки принадлежат этому множеству.
Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.
Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала является внутренней точкой , а в примере 2 всякая точка отрезка - граничная точка .
Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки , а может их не иметь ; точно так же оно может иметь внутренние точки и может их не иметь . Что же касается предельных точек, то лишь множество примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество неограничено.
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.
Докажем эту теорему. Пусть - ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке . Разделим этот отрезок пополам. Так как множество бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества . Обозначим этот отрезок через (если в обеих половинах отрезка лежит бесконечно много точек множества , то через можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок на два равных отрезка. Так как часть множества , расположенная на отрезке бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много точек множества . Обозначим этот отрезок через . Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит бесконечно много точек множества . Мы получим последовательность отрезков . Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок содержится в предыдущем ; каждый отрезок содержит бесконечно много точек множества ; длины отрезков стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из её построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить, что если длина отрезка равна , то длина отрезка равна . В силу принципа Кантора существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам . Покажем, что эта точка является предельной точкой множества . Для этого достаточно установить, что если есть некоторый интервал, содержащий точку , то он содержит бесконечно много точек множества . Так как каждый отрезок содержит точку и длины отрезков стремятся к нулю, то при достаточно большом отрезок будет целиком содержаться в интервале . Но по условию содержит бесконечно много точек множества . Поэтому и содержит бесконечно много точек множества . Итак, точка действительно является предельной точкой множества , и теорема Больцано-Вейерштрасса доказана.
Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.
Лемма 1.1. Еслиa, b R , то точкиM 1 (a, b), M 2 (b, a) плоскости симметричны относительно прямойy = x .
Если a = b, то точки M1 , M2 совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M1 , M2 , имеет уравнение y = −x+a+b, а потому перпендикулярна прямой y = x.
Поскольку середина отрезка M1 M2 имеет координатыa + 2 b ,a + 2 b ! , то
она лежит на прямой y = x. Следовательно, точки M1 , M2
Cледствие. Если функцииf: X −→ Y иϕ : Y −→ X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямойy = x , если они построены в одной системе координат.
Пусть f = {(x, f(x)) | x X},ϕ = {(y, ϕ(y)) | y Y } - графики функций f и ϕ соответственно. Так как
(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,
то в силу доказанной леммы графики f иϕ симметричны относительно прямой y = x.
1.6 Свойства числовых множеств
1.6.1 Ограниченные числовые множества
Определение 1.26. ПустьX - непустое числовое множество. МножествоX называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое числоa , чтоx 6 a (x > a ) для любого элементаx X . При этом числоa называется верхней (нижней) границей множестваX . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.
С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:
a R: x 6 a, x X.
Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение ограниченного множества.
Определение 1.27. Непустое числовое множествоX называют ограниченным, если существует такое положительное числоM , что
Определение 1.28. Элементa из числового множестваX называют максимальным (минимальным) элементом вX , еслиx 6 a (соответственно,x > a ) для любогоx изX , и пишут:a = max X (соответственно,a = min X ).
В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в R имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.
Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.
Пример 1.5. Покажем, что множество X = }