Вывихи 

Может произойти случайным образом через. Вероятность

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая. Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении. Основное понятие теории вероятностей - вероятность события (относительная частота события) - объективная мера возможности осуществления данного события.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D. Перечислим основные виды случайных событий :

  • события называются несовместными , если никакие два из них не могут произойти в данном испытании (опыте) вместе. Например, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба;
  • два события называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого события в том же испытании (опыте);
  • событие называется достоверным , если оно происходит в данном испытании обязательно. Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное;
  • событие называется невозможным , если оно в данном испытании не может произойти. Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков;
  • два события называются противоположными (А и А̄), если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1;
  • событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В: Р А (В)= Р(В). В противном случае событие В называется зависимым от события А;

Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , …, Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании (опыте).

Каждому событию A ставится в соответствие некоторая мера P(A), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам:

  • для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1;
  • вероятность невозможного события равна нулю, P(А)=0;
  • вероятность достоверного события равна единице, Р(А)=1.

Существует классический и геометрический способы подсчета вероятности события.

При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле: Р(А)=m/n , где:

  • все элементарные исходы равновозможны, т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой;
  • m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
  • n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Для подсчета n и m часто применяются понятия и формулы комбинаторики :

  • n-факториал – это произведение всех натуральных чисел от единицы до n включительно: n! = 1*2*3*…*(n-1)*n . Например: 4!=1*2*3*4=24, 1!=1, 0!=1
  • перестановка из n элементов – комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Число всех возможных перестановок вычисляют по формуле: P n = n!
  • перестановка с повторениями – пусть даны n 1 элементов первого типа, n 2 - второго типа, ..., n k - k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Число всех перестановок с повторениями вычисляют по формуле: Pn(n 1 ,n 2 ,…,n k) = n! / n 1 !n 2 !...n k !
  • размещения – комбинации из n элементов по m (mА n m = n!/(n-m)! , где
    n – число всех имеющихся элементов, m- число элементов в каждой комбинации.
    При n=m размещение становится перестановкой. Если не принимать во внимание порядок элементов в размещении, а учитывать только его состав, то получается сочетание.
  • сочетания – все возможные комбинации из n элементов по m (mС n m = n! / m!(n-m)! = А n m / P m

Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: Р = Длина l / Длина L .

Вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G: Р = Площадь g/Площадь G .

Вероятность попадания точки в пространственную фигуру υ, которая составляет часть фигуры V: Р = Объем υ /Объем V .

Примеры решения задач по теме «Элементы комбинаторики. События и их вероятности»

Задача 1

В 11-м классе 30 человек. 18 человек изучают английский язык, 16 – немецкий, 9 – оба языка. Сколько человек изучают а) только английский язык, б) только немецкий язык, в) не изучают ни одного языка?

Решение.
а) поскольку 18 человек изучают английский, из них 9 изучают и английский и немецкий, то 18–9=9 человек изучают только английский язык;
б) поскольку 16 человек изучают немецкий, из них 9 изучают и немецкий и английский, то 16–9=7 человек изучают только немецкий язык;
в) поскольку в классе 30 человек, из них 9 изучают только английский, 7 – только немецкий, 9 – оба языка, то 30 – (9+7+9) = 5 человек не изучают ни одного языка.

Задача 2

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?

Решение. В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фикус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P 5 =5!=1*2*3*4*5=120.

Задача 3

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ответ»?

Решение. Необходимо найти число перестановок из 5 букв, но в отличие от задачи 2, здесь имеются повторяющиеся буквы – буква «т» повторяется дважды. Поэтому число способов определим по формуле перестановок с повторениями: P 5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.

Задача 4

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.

Решение. В данном случае число благоприятных исходов равно (25-10)=15, общее число событий – 25.
Вероятность события А = {учащемуся не достанется вопрос по производной} находим как отношение: Р(А)=15/25=0,6.

Задача 5

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение. Событие А = {извлечены три окрашенных детали}.

Общее число всех возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15:
n = С 15 3 =15! / 3!(15-3)!=15! / (3!*12!) = 13*7*5=455.
Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 8 окрашенных:
m = С 8 3 =8! / 3!(8-3)!= 8! / (3!*5!)=7*8=56.

Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 56/455≈0,12

Задача 6

Среди 17 студентов группы, из которых 8 – девушки, разыгрывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки и 3 юношей?

Решение. Событие А = {среди обладателей билетов ровно 4 девушки} .

Общее число возможных элементарных исходов розыгрыша равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех студентов группы, т. е. из 17: n = С 17 7 =17! / 7!(17-7)!= 17! / (7!*10!)=19448.

Число благоприятных исходов (среди 7 обладателей билетов 4 девушки и 3 юношей) найдем, учитывая, что 4-х девушек их 8 можно выбрать С 8 4 способами, а 3-х юношей из 9 можно выбрать С 9 3 способами. Следовательно, m = С 8 4 *С 9 3 = 8!9! / 4!(8-4)!3!(9-3)! = 5880.

Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 5880/19448≈0,3

Краткая теория

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности , статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие распадается на равновозможных случаев , сумма которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления события A.

Число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

На соседней странице рассматривается .

Пример решения задачи

Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий: – извлечен по крайней мере 1 красный шар, – есть по крайней мере 2 шара одного цвета, – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Решение задачи

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

Найдем вероятность события – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Пусть событие – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

Общее число возможных исходов испытания

Число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупнности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию будут следующие сочетания выпавших очков:

№ 1-я кость 2-я кость 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

Формула полной вероятности. Формула Байеса
На примере решения задачи рассмотрены формула полной вероятности и формула Байеса, а также рассказывается, что такое гипотезы и условные вероятности.

Событие

Определение 1

Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.

В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события.

Понятие вероятности события

Определение 2

Вероятностью события будем называть число, которое обозначает степень возможности, что такое событие произойдет.

Вероятность события обозначается как $P(A)$

Чтобы определить границы значения этого числа введем понятие достоверного и невозможного событий.

Определение 3

Достоверным событием будем называть такое, которое произойдет при любых обстоятельствах.

Примером такого события может быть следующее: Сумма «точек» на классической кости всегда равняется $21$.

Вероятность такого события мы будем принимать за единицу.

Определение 4

Невозможным событием будем называть такое, которое не может произойти ни при каком обстоятельстве.

Примером такого события может быть следующее: При игре в «очко» игрок набрал $1$ очко.

Вероятность такого события мы будем принимать за $0$.

То есть значение вероятности любого события содержится в отрезке $$.

В современной теории вероятности принято выделять четыре определения для вероятности: классической, геометрическое, статистическое и аксиоматическое определения. Рассмотрим их отдельно.

Классическое определение

Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:

Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.

Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.

Определение 5

Вероятностью события будем называть отношения числа n равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.

Математически это выглядит следующим образом:

$P(B)=\frac{n}{N}$

Геометрическое определение

Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример. Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов. Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле). Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек. Пусть площадь центрального круга равняется $s$. Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:

$P(B)=\frac{s}{S}$

Статистическое (частотное) определение

Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей. Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке). Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда

$P(B)=lim_{N→∞}\frac{n}{N}$

Аксиоматическое определение

Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.

Пусть $X$ - пространство всех элементарных событий. Тогда

Определение 6

Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Данная функция всегда неотрицательна,
  2. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
  3. Функция всегда меньше или равна $1$, причем $P(X)=1$.

Тема 5: Элементы теории вероятностей

Ни телеграммы нету, ни письма.

Но есть игра случайности слепой.

И если просто выйдешь на перрон,

То кто-нибудь приедет непременно.

В. Незвал

Введение

Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что...», «это маловероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что...», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятностей.

Ее основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские ученые XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой.

Однако мы не будем сейчас говорить ни о предмете, ни о содержании теории вероятностей и комбинаторики, а просто приведем пример, который иллюстрирует все вышесказанные слова.

Начальник написал 10 различных писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт? Ответ оказывается на удивление большим: вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%!

Случайные события и их вероятности

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием .

Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.

Результат этого действия или наблюдения будем называть событием .

Например, появление цифры при подбрасывании монеты, попадание в мишень при выстреле являются событиями.

Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных, то будем называть его искомым .

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита.

Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении 1, 2 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

1) событие А - выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;

2) событие В - выпадет цифра 7, 8 или 9;

3) событие С - выпадет цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием .

Событие 5, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием .

А как вы думаете, событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием .

Один из основателей математической статистики, шведский ученый Харальд Крамер писал: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом "случайный". Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах».

Мы последуем этому совету.

Пример 1 . Все двузначные числа написаны на карточках. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные следующие события:

а) событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;

б) событие В – на карточке оказалось составное число;

в) событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;

г) событие D – на карточке оказалось четное или нечетное число.

Решение . События А и В случайные, так как они могут произойти, а могут и не произойти. Событие С невозможно: вспомните определение простого и составного числа. Событие D достоверно, так как любое двузначное число или четно, или нечетно.

Думая про наступление достоверного события, вы слово «вероятно» использовать, скорее всего, не будете. Например, если сегодня среда, то завтра четверг, это – достоверное событие. Вы в среду не станете говорить: «Вероятно, завтра четверг», вы скажете коротко и ясно: «Завтра четверг». Правда, если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра четверг». Напротив, если сегодня среда, то наступление назавтра пятницы – невозможное событие. Оценивая это событие в среду, вы можете сказать так: «Уверен, что завтра не пятница». Или так: «Невероятно, что завтра пятница». Ну а если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: «Вероятность того, что завтра пятница, равна нулю». Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:

1) вероятность достоверного события считается равной 1;

2) вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей.

Проведем следующий опыт. Будем бросать игральный кубик (100 раз) и результат записывать в таблицу.

т п р
0,19
0,14
0,2
0,14
0,22
0,11

Число т означает количество исходов бросания, в которых выпало число очков, указанное в соответствующей строке. Число п – это общее число бросаний кубика (испытаний). Число р называется абсолютной частотой события и находится по формуле: . Если мы продолжим бросать игральный кубик, то можем заметить, что абсолютные частоты для событий «выпадет 1 », «выпадет 2 »… «выпадет 6 » будут становиться примерно одинаковыми, т.е. стремиться к числу 0,1666… = . Абсолютную частоту случайного события называют еще опытной или статистической вероятностью события.

Часто бывает так, что многократное повторение одного и того же опыта невозможно. В этом случае приходит на помощь, так называемая классическая , или доопытная вероятность .

КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА: Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;

2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;

3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;

4) найти частное , оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: Р(А). Объяснение такого обозначения очень простое: слово «вероятность» по-французски – probabilite, по-английски – probability. В обозначении используется первая буква слова.

Используя это обозначение, вероятность события А по классической схеме можно найти с помощью формулы .

Часто все пункты приведенной классической вероятностной схемы выражают одной довольно длинной фразой.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Пример 2. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное трем.

Решение. Всего имеется N = 6 возможных исходов: выпадение грани куба с числом очков, равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы считаем, что ни один из них не имеет никаких преимуществ перед другими, т. е. принимаем предположение о равновероятности этих исходов.

а) Ровно в одном из исходов произойдет интересующее нас событие А – выпадение числа 4. Значит, N(А) = 1 и .

б) Решение и ответ такие же, как и в предыдущем пункте.

в) Интересующее нас событие В произойдет ровно в трех случаях, когда выпадет число очков 2, 4 или 6. Значит, N(B) = 3 и .

г) Интересующее нас событие С произойдет ровно в двух случаях, когда выпадет число очков 5 или 6. Значит, д) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4, и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырех из шести возможных и равновероятных между собой исходах опыта. Поэтому в ответе получается .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Реальный игральный кубик вполне может отличаться от идеального (модельного) кубика, поэтому для описания его поведения требуется более точная и детальная модель, учитывающая преимущества одной грани перед другой, возможное наличие магнитов и т. п. Но «дьявол кроется в деталях», а большая точность ведет, как правило, к большей сложности, и получение ответа становится проблемой. Мы же ограничиваемся рассмотрением простейшей вероятностной модели, где все возможные исходы равновероятны.

Замечание 1. Рассмотрим еще пример. Был задан вопрос: «Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равна 0,5». И объяснил свой ответ: «Тройка или выпадет, или нет. Значит, всего есть два исхода и ровно в одном наступает интересующее нас событие. По классической вероятностной схеме получаем ответ 0,5». Есть в этом рассуждении ошибка? На первый взгляд – нет. Однако она все же есть, причем в принципиальном моменте. Да, действительно, тройка или выпадет, или нет, т. е. при таком определении исхода бросания N = 2. Правда и то, что N(А) = 1 и уж, разумеется, верно, что = 0,5, т.е. три пункта вероятностной схемы учтены, а вот выполнение пункта 2) вызывает сомнения. Конечно, с чисто юридической точки зрения, мы имеем право считать, что выпадение тройки равновероятно ее невыпадению. Но вот можем ли мы так считать, не нарушая свои же естественные предположения об «одинаковости» граней? Конечно, нет! Здесь мы имеем дело с правильным рассуждением внутри некоторой модели. Только вот сама эта модель «неправильная», не соответствующая реальному явлению.

Замечание 2 . Рассуждая о вероятности, не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения одного очка равна , это совсем не значит, что, кинув кубик 6 раз, вы получите одно очко ровно один раз, бросив кубик 12 раз, вы получите одно очко ровно два раза, бросив кубик 18 раз, вы получите одно очко ровно три раза и т. д. Слово вероятно носит предположительный характер. Мы предполагаем, что, скорее всего, может произойти. Вероятно, если мы бросим кубик 600 раз, одно очко выпадет 100 раз или около 100. Если у вас будет время и желание, проведите эксперимент: бросьте игральный кубик, например, 60 раз и составьте таблицу выпадений очков 1, 2, 3, 4, 5, 6. Скорее всего (вероятнее всего), все числа в вашей таблице будут около 10.

Пример 3. Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика произведение выпавших очков будет: а) кратно 5; б) кратно 6.

Решение . При каждом из двух бросаний кубика возможны 6 исходов. Предполагается, что эти два испытания независимы друг от друга. По правилу умножения получаем, что данный опыт имеет 6 6 = 36 исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. считать, что все N = 36 исходов равновероятны между собой.

Все 36 исходов можно перечислить. Например, с помощью таблицы. В данном случае все исходы – это пары (1; 1), (1; 2), ..., (1; 6), (2; 1), (2; 2), ..., (6; 5), (6; 6).

а) Если на первом месте стоит 5, то при любой второй цифре их произведение кратно 5. Получается шесть вариантов: (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6). Еще шесть вариантов получается, если 5 стоит на втором месте. Так как 5 – простое число, то других вариантов нет.

Вроде бы, ответ 6 + 6 = 12. Но один результат (5; 5) мы посчитали дважды. Значит, интересующее нас событие А наступает ровно в 11 из возможных 36 равновероятных между собой исходах, т. е. N(А) = 11, поэтому .

б) Если на первом или на втором месте стоит 6, то произведение выпавших чисел делится на 6, а всего таких вариантов, как и в случае а), будет 11. Но произведение выпавших чисел будет кратно 6 в тех случаях, когда одно из чисел, отличных от 6, - четное, а другое кратно 3. Перечислим благоприятные варианты: (2; 3), (4; 3), (3; 2), (3; 4) – всего 4 варианта. Добавив их к указанным выше 11 вариантам, получим 15 благоприятных исходов, т.е. N(А) = 15. Значит, .

Ответ: а) , б) .

Задачи на отыскание вероятностей случайных событий «в два с половиной раза» сложнее задач по комбинаторике. Сначала мы используем комбинаторику при нахождении N – количества всех исходов опыта. Во второй раз комбинаторика нужна при нахождении N(А). При этом во второй раз – это уже более сложная комбинаторика. Наконец, надо еще уметь вычислить значение дроби. Вот и получается «две с половиной комбинаторики».

Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.

Пример 4. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение. У нас имеется множество из 36 элементов. Мы производим выбор трех элементов, порядок которых не важен. Значит, возможно, получение N = исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны.

Среди всех N = исходов нам следует сосчитать те, в которых нет пиковой дамы (событие А). Отложим даму пик в сторону, и из оставшихся 35 карт будем выбирать 3 карты. Получатся все интересующие нас варианты. Значит, N(А) = .

Осталось вычислить нужную вероятность по классическому определению:

А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те исходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в примере 4 число N(А) . Затем эту разность N – N(А) в соответствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N . Вот что получим: .

Мы видим, что между вероятностями двух событий имеется определенная связь. Если событие А заключается в отсутствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выбранных трех карт, то

Р(В) = 1 – Р(А)

Р(А) + Р(В) = 1.

К сожалению, в равенстве Р(А) + Р(В) = 1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.

Определение 1. Событие В называют противоположным событию А и обозначают В = , если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

ТЕОРЕМА 1. Для нахождения исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны между собой.

Если А – интересующее нас событие, то противоположное ему событие состоит в том, что среди выбранных пяти карт нет ни одной карты бубновой масти. Но это значит, что все 5 карт выбраны из других карточных мастей, т. е. из 36 - 9 = = 27 карт. Значит, N(А) = и можно легко найти вероятность события А : .

Теперь по теореме находим вероятность самого события А: Р(А) = 1 - Р() ≈ 0,786.

Как видим, вероятность довольна высока. Кстати, полезное напоминание: без калькулятора вычислить вероятность более или менее сложного события бывает затруднительно.

Ответ: ≈ 0,786.

В теории вероятностей используются различные стандартные игровые ситуации. Это бросание монеты или игрального кубика, вытаскивание карт из колоды. К этому списку добавим еще одну, назовем ее «урновая схема»: в темном ящике (урне) лежат неотличимые на ощупь шары различного цвета. Один или несколько шаров вытаскивают. Вычисляют вероятность того, что выбранные шары имеют какой-то определенный набор цветов.

Пример 6. В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров ровно 3 белых?

Решение. Шары в урне предполагаем неразличимыми, из 21 шара случайным образом производят выбор 5 шаров, причем порядок выбора не важен. Значит, существует N = способов такого выбора. Считаем все эти способы равновероятными.

Интересующее нас событие А наступает, когда 3 из 5 шаров – белые, а 2 – рыжие. Из 10 белых шаров, имеющихся в урне, 3 шара можно выбрать способами, а из 11 рыжих шаров 2 шара – способами. Выбор разноцветных шаров считаем независимым. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав шаров можно выбрать N(А) = способами. Остается посчитать вероятность.

(почти одна треть).

Ответ: ≈ 0,324.


©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08

Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.

Зарождение

Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.

Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.

Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.

Единомышленники

Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел

Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:

  • понятие вероятности как величины шанса;
  • математическое ожидание для дискретных случаев;
  • теоремы умножения и сложения вероятностей.

Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:

  • закон больших чисел;
  • теория цепей Маркова;
  • центральная предельная теорема.

Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.

Основные понятия

Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.

Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".

Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.

Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.

Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.

Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.

Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.

Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.

Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.

Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.

Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.

Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.

Основные формулы

Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.

Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.

Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.

Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.

Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.

Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.

Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:

C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !

Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.

С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:

В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.

Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.

Вероятность произведения событий:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.

Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n

В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.

Примеры

Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.

Формула для числа перестановок

Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?

Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.

Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!

В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!

Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!

Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Решение примера. Формула для числа размещения

В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.

В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.

Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.

Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.

В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.

Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!

Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.

Решение примера. Формула для числа сочетания

Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.

Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.

Решение примера. Классическое определение вероятности

С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.

В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.

Решение примера. Вероятность суммы событий

Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.

Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.

  • Итак, А - взяли серый шарик из первого ящика: P(A) = 1/6.
  • А’ - взяли белый шарик также из первого ящика: P(A") = 5/6.
  • В - извлекли серый шарик уже из второго короба: P(B) = 2/3.
  • В’ - взяли серый шарик из второго ящика: P(B") = 1/3.

По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.

Итог

В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.

В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!