Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК. Записи с меткой "наименьший общий знаменатель"

При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю . Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).

Например, дана такая сумма алгебраических дробей:

Требуется упростить выражение, т. е. сложить две алгебраические дроби. Для этого в первую очередь надо привести слагаемые-дроби к общему знаменателю. Первым делом следует найти одночлен, который делится и на 3x и на 2y. При этом желательно, чтобы он был наименьший, т. е. найти наименьшее общее кратное (НОК) для 3x и 2y.

Для числовых коэффициентов и переменных НОК ищется отдельно. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далее найденные значения перемножаются: 6xy.

Теперь надо определить, на какой множитель надо умножить 3x, чтобы получить 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Значит, при приведении первой алгебраической дроби к общему знаменателю ее числитель надо умножить на 2y (знаменатель уже был умножен при приведении к общему знаменателю). Аналогично ищется множитель для числителя второй дроби. Он будет равен 3x.

Таким образом, получаем:

Далее уже можно действовать как с дробями с одинаковыми знаменателями: складываются числители, а в знаменателе пишется один общий:

После преобразований получается упрощенное выражение, представляющее собой одну алгебраическую дробь, являющуюся суммой двух исходных:

Алгебраические дроби в исходном выражении могут содержать знаменатели, представляющие собой многочлены, а не одночлены (как в приведенном выше примере). В таком случае, перед поиском общего знаменателя следует разложить знаменатели на множители (если это возможно). Далее общий знаменатель собирается из разных множителей. Если множитель есть в нескольких исходных знаменателях, то его берут единожды. Если множитель имеет разные степени в исходных знаменателях, то его берут с большей. Например:

Здесь многочлен a 2 – b 2 можно представить как произведение (a – b)(a + b). Множитель 2a – 2b раскладывается как 2(a – b). Таким образом, общий знаменатель будет равен 2(a – b)(a + b).

Умножение «крест-накрест»

Метод общих делителей

Задача. Найдите значения выражений:

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест».

Общий знаменатель дробей

Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Смотрите также:

Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются - этот процесс называется. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них - в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую - на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом - так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

Единственный недостаток данного метода - приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать - в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

Метод наименьшего общего кратного

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96.

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Как найти наименьший общий знаменатель

Найдите значения выражений:

Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 - общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи - не предел!

Единственная проблема - как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

Смотрите также:

Приведение дробей к общему знаменателю

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю?

Общий знаменатель, понятие и определение.

Вот лишь несколько причин:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Умножение «крест-накрест»

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Метод общих делителей

Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать - в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Метод наименьшего общего кратного

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Смотрите также:

Приведение дробей к общему знаменателю

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Умножение «крест-накрест»

Взгляните:

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Метод общих делителей

Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать - в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Метод наименьшего общего кратного

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Смотрите также:

Приведение дробей к общему знаменателю

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Умножение «крест-накрест»

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Единственный недостаток данного метода - приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа.

Приведение дробей к общему знаменателю

Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать - в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Метод наименьшего общего кратного

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 - общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.

Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

Определение наименьшего общего кратного

Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.

Можно воспользоваться следующим методом.

Как найти наименьшее общее кратное

Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

1. Разложить числа на простые множители.
2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Большинство действий с алгебраическими дробями, такие, например, как сложение и вычитание, требуют предварительного приведения этих дробей к одинаковым знаменателям. Такие знаменатели также часто обозначаются словосочетанием «общий знаменатель». В данной теме мы рассмотрим определение понятий «общий знаменатель алгебраических дробей» и «наименьший общий знаменатель алгебраических дробей (НОЗ)», рассмотрим по пунктам алгоритм нахождения общего знаменателя и решим несколько задач по теме.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общий знаменатель алгебраических дробей

Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 1 2 и 5 9 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9 .

Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.

Определение 1

Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.

В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.

Пример 1

Многочлену, записанному в виде произведения 3 · x 2 · (x + 1) , соответствует многочлен стандартного вида 3 · x 3 + 3 · x 2 . Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2 x , - 3 · x · y x 2 и y + 3 x + 1 , в связи с тем, что он делится на x , на x 2 и на x + 1 . Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Для заданных алгебраических дробей количество общих знаменателей может быть бесконечное множество.

Пример 2

Возьмем для примера дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Их общим знаменателем является 2 · x · (x 2 + 3) , как и − 2 · x · (x 2 + 3) , как и x · (x 2 + 3) , как и 6 , 4 · x · (x 2 + 3) · (y + y 4) , как и − 31 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , и т.п.

При решении задач можно облегчить себе работу, используя общий знаменатель, который среди всего множества знаменателей имеет самый простой вид. Такой знаменатель часто обозначается как наименьший общий знаменатель.

Определение 2

Наименьший общий знаменатель алгебраических дробей – это общий знаменатель алгебраических дробей, который имеет самый простой вид.

К слову, термин «наименьший общий знаменатель» не является общепризнанным, потому лучше ограничиваться термином «общий знаменатель». И вот почему.

Ранее мы сфокусировали ваше внимание на фразе «знаменатель самого простого вида». Основной смысл этой фразы следующий: на знаменатель самого простого вида должен без остатка делиться любой другой общий знаменатель данных в условии задачи алгебраических дробей. При этом в произведении, которое является общим знаменателем дробей, можно использовать различные числовые коэффициенты.

Пример 3

Возьмем дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Мы уже выяснили, что проще всего работать нам будет с общим знаменателем вида 2 · x · (x 2 + 3) . Также общим знаменателем для этих двух дробей может быть x · (x 2 + 3) , который не содержит числового коэффициента. Вопрос в том, какой из этих двух общих знаменателей считать наименьшим общим знаменателем дробей. Однозначного ответа нет, потому правильнее говорить просто об общем знаменателе, а в работу брать тот вариант, с которым работать будет удобнее всего. Так, мы можем использовать и такие общие знаменатели как x 2 · (x 2 + 3) · (y + y 4) или − 15 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , которые имеют более сложный вид, но проводить с ними действия может быть сложнее.

Нахождение общего знаменателя алгебраических дробей: алгоритм действий

Предположим, что у нас имеется несколько алгебраических дробей, для которых нам необходимо отыскать общий знаменатель. Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм действий. Сначала нам необходимо разложить на множители знаменатели исходных дробей. Затем мы составляем произведение, в которое последовательно включаем:

все множители из знаменателя первой дроби вместе со степенями;
все множители, присутствующие в знаменателе второй дроби, но которых нет в записанном произведении или их степень недостаточно;
все недостающие множители из знаменателя третьей дроби, и так далее.

Полученное произведение и будет общим знаменателем алгебраических дробей.

В качестве множителей произведения мы можем взять все знаменатели дробей, данных в условии задачи. Однако множитель, который мы получим в итоге, по смыслу будет далек от НОЗ и использование его будет иррациональным.

Пример 4

Определите общий знаменатель дробей 1 x 2 · y , 5 x + 1 и y - 3 x 5 · y .

Решение

В данном случае у нас нет необходимости раскладывать знаменатели исходных дробей на множители. Потому начнем применять алгоритм с составления произведения.

Из знаменателя первой дроби возьмем множитель x 2 · y , из знаменателя второй дроби множитель x + 1 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) .

Знаменатель третьей дроби может дать нам множитель x 5 · y , однако в составленном нами ранее произведении уже есть множители x 2 и y . Следовательно, добавляем еще x 5 − 2 = x 3 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) · x 3 , которое можно привести к виду x 5 · y · (x + 1) . Это и будет наш НОЗ алгебраических дробей.

Ответ: x 5 · y · (x + 1) .

Теперь рассмотрим примеры задач, когда в знаменателях алгебраических дробей есть целые числовые множители. В таких случаях мы также действуем по алгоритму, предварительно разложив целые числовые множители на простые множители.

Пример 5

Найдите общий знаменатель дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 .

Решение

Разложив числа в знаменателях дробей на простые множители, получаем 1 2 2 · 3 · x и 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Теперь мы можем перейти к составлению общего знаменателя. Для этого из знаменателя первой дроби возьмем произведение 2 2 · 3 · x и добавим к нему множители 3 , 5 и x из знаменателя второй дроби. Получаем 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2 . Это и есть наш общий знаменатель.

Ответ: 180 · x 2 .

Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.

Пример 6

В знаменателях обеих алгебраических дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 есть множитель x . Во втором случае множитель x возведен в квадрат. Для составления общего знаменателя это множитель нам необходимо взять в наибольшей степени, т.е. x 2 . Других множителей с переменными нет. Целые числовые коэффициенты исходных дробей 12 и 90 , а их наименьшее общее кратное равно 180 . Получается, что искомый общий знаменатель имеет вид 180 · x 2 .

Теперь мы можем записать еще один алгоритм нахождения общего множителя алгебраических дробей. Для этого мы:

раскладываем знаменатели всех дробей на множители;
составляем произведение всех буквенных множителей (при наличии множителя в нескольких разложениях, берем вариант с наибольшим показателем степени);
добавляем НОК числовых коэффициентов разложений к полученному произведению.

Приведенные алгоритмы равноценны, так что использовать в решении задач можно любой из них. Важно уделять внимание деталям.

Встречаются случаи, когда общие множители в знаменателях дробей могут быть незаметны за числовыми коэффициентами. Здесь целесообразно сначала вынести числовые коэффициенты при старших степенях переменных за скобки в каждом из множителей, имеющихся в знаменателе.

Пример 7

Какой общий знаменатель имеют дроби 3 5 - x и 5 - x · y 2 2 · x - 10 .

Решение

В первом случае за скобки необходимо вынести минус единицу. Получаем 3 - x - 5 . Умножаем числитель и знаменатель на - 1 для того, чтобы избавиться от минуса в знаменателе: - 3 x - 5 .

Во втором случае за скобку выносим двойку. Это позволяет нам получить дробь 5 - x · y 2 2 · x - 5 .

Очевидно, что общий знаменатель данных алгебраических дробей - 3 x - 5 и 5 - x · y 2 2 · x - 5 это 2 · (x − 5) .

Ответ: 2 · (x − 5) .

Данные в условии задачи дроби могут иметь дробные коэффициенты. В этих случаях необходимо сначала избавиться от дробных коэффициентов путем умножения числителя и знаменателя на некоторое число.

Пример 8

Упростите алгебраические дроби 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , после чего определите их общий знаменатель.

Решение

Избавимся от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель в первом случае на 14 , во втором случае на 3 . Получаем:

1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 1 x 2 + 2 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

После проведенных преобразований становится понятно, что общий знаменатель – это 2 · (x 2 + 2) .

Ответ: 2 · (x 2 + 2) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter