Относительность стационарных электрических и магнитных полей. Относительность электрических и магнитных полей

В предыдущей главе мы выяснили, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Рассмотрим некоторые примеры.

Заряд движется в инерциальной К-системе отсчета с постоянной скоростью v . В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если же перейти в инерциальную К¢-систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.

Два одинаковых заряда движутся в К-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью v . В этой системе отсчета мы будем наблюдать и электрическое и магнитное поля, оба переменные. Найти такую К¢-систему, где наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.

В К-системе существует постоянное неоднородное магнитное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в К¢-системе, движущейся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное и электрическое поля.

Таким образом, становится ясно, что соотношение между электрическим полем и магнитным полем оказывается разным в различных системах отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой поля и определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы.

Поскольку векторы и , характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета, возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля (инвариант обозначают inv; см. например, (43.1)).

Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов и , это

Inv; E 2 - c 2 B 2 = inv, (43.1)

где с – скорость света в вакууме.

Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные из них:

Из инвариантности скалярного произведения сразу следует, что в случае, когда в какой-либо системе отсчета ^ , т.е. = 0, то и во всех других инерциальных системах отсчета ^ ;

Из инвариантности E 2 - c 2 B 2 следует, что в случае, когда E = c B (т.е. когда E 2 - c 2 B 2 = 0), то и в любой другой инерциальной системе отсчета E¢ = c B¢;

Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами и острый (или тупой), - это значит, что больше (либо меньше) нуля, - то угол между векторами и также будет острым (или тупым) во всякой другой системе отсчета;

Если в какой-либо системе отсчета E > c B (или E < c B) – это значит, что E 2 - c 2 B 2 > 0 (либо E 2 - c 2 B 2 < 0), то и в любой другой системе отсчета будет также E¢ > c B¢ (или E¢ < c B¢);

Если оба инварианта равны нулю, то во всех инерциальных системах отсчета ^ и E = c B, именно это и наблюдается в электромагнитной волне;

Если равен нулю только инвариант , то можно найти такую систему отсчета, в которой или E¢ = 0, или B¢ = 0; какое именно, определяется знаком другого инварианта. Справедливо и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчета E = 0 или B = 0, то во всякой другой системе отсчета ^ .

И последнее. Нужно помнить, что поля и , вообще говоря, зависят и от координат, и от времени. Поэтому каждый из инвариантов (43.1) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины в них преобразуются по определенным правилам.

Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.

Основы теории электромагнитного поля Изучая электромагнитную индукцию, мы видели, что при рассмотрении этого явления в определенной инерциальной системе отсчета возможны две различные причины возникновения индукционного тока: либо появление вихревого электрического поля, либо действие силы Лоренца на движущиеся вместе с проводником электрические заряды со стороны магнитного поля. Однако при анализе возникновения ЭДС индукции за счет силы Лоренца в опыте с металлической рамкой, движущейся в магнитном поле (рис. 9.1), мы можем рассуждать и иначе. Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся рамкой. В ней заряды неподвижны и, следовательно, со стороны магнитного поля сила на них не действует. Как же объяснить возникновение ЭДС индукции в этой системе отсчета? Единственное, что остается предположить,-это наличие в этой системе электрического поля, направленного перпендикулярно магнитному вдоль стороны ab рамки, которого не было в исходной системе отсчета. Действительно, в любой инерциальной системе отсчета действующая на заряд сила определяется формулой (9.4), и, поскольку в системе отсчета, связанной с рамкой, v=0, сила Сможет быть обусловлена только электрическим полем Е", существующим в этой системе. Итак, мы приходим к выводу об относительном характере электрического и магнитного полей. Согласно принципу относительности, с которым подробнее познакомимся ниже (см. стр. 484), все инерциальные Рис. 10.1. К объяснению возникновения ЭДС индукции в разных системах отсчета системы отсчета равноправны. В обсуждаемом здесь опыте наблюдаемой величиной является ЭДС индукции в рамке, и она существует независимо от того, в какой инерциальной системе этот опыт рассматривается. Как мы видели, в одной системе отсчета, где электрическое поле отсутствует, существование ЭДС объясняется силой Лоренца (рис. 10.1а), в то время как в другой, где рамка неподвижна,-только наличием электрического поля (рис. 10.1 б). При малых скоростях (t>«;c), когда можно пренебречь изменением силы F при переходе от одной системы отсчета к другой, из формулы (9.^ следует, что напряженность электрического поля Е в системе, где рамка неподвижна, должна быть равна Е"= rx В. (10. Итак, движущийся магнит кроме магнитного созда° и электрическое поле. Обратим внимание на то, что относительный харак тер электрического и магнитного полей мы могли заметить и раньше. В самом деле, неподвижный заряд создает только электрическое поле. Однако заряд, неподвижный в какой-либо одной системе отсчета, oi носительно других систем отсчета движется. Такой движущийся заряд подобен электрическому току и по тому создает магнитное поле. Таким образом, если в какой-либо системе отсчета есть только электрическое поле, то в любой другой системе будет еще и магнитное. Получим формулу для индукции магнитного поля в этом случае, аналогичную формуле (10.1). Рассмотрим систему отсчета, движущуюся со скоростью у относительно заряда q. В этой системе отсчета заряд движется со скоростью - v. Воспользуемся законом Био - Савара Лапласа (8.2) для нахождения индукции магнитного поля В", создаваемого движущимся со скоростью - i зарядом q. Ток / выражается через концентрацию п элементарных зарядов q0, скорость их движения площадь сечения проводника S следующим образом: I-q0nSv. Подставляя это выражение в закон Био - Савара Лапласа (8.2) и учитывая, что векторы А/ и - параллельны, получаем 4п г Так как q0nSAI есть полный заряд q, находящийся в рассматриваемом объеме проводника SAI, то создава емое этим зарядом при движении магнитное поле естг Но в этой же точке заряд q создает электрическое поле Е, равное (10.3) Сравнивая (10.2) и (10.3), видим, что магнитное поле, создаваемое движущимся со скоростью - у зарядом, связано с электрическим полем Е, создаваемым этим же зарядом в той системе отсчета, где он неподвижен, соотношением В" = - еоИоух Е. Эта формула, полученная для точечного заряда, справедлива и для поля, создаваемого любым распределением зарядов. Таким образом, если в некоторой системе отсчета существует только электрическое поле Е, то в другой системе отсчета, движущейся со скоростью у относительно исходной, существует еще и магнитное поле В", которое вычисляется по формуле (10.4). Формулы (10.1) и (10.4) представляют собой частные случаи преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они справедливы при малой относительной скорости систем отсчета (v

1.Электромагнитное поле. Инвариантность заряда и теоремы Гаусса для электрического поля.

2.Законы преобразования полей векторов напряженности Е электрополяи магнитной индукции В. Преобразования Лоренца для векторов Е иВ . Релятивистская природа магнетизма.

3.Следствия из законов преобразования электромагнитного поля. Инвариантность электромагнитного поля.

Физика колебаний и волн

Тема 16 Гармонический осциллятор

1. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний и его решение. Амплитуда, период, круговая частота, фаза колебаний. Скорость и ускорение при колебаниях.

2. Пружинный маятник, дайте определение. Напишите дифференциальное уравнение колебаний, пружинного маятника. Получите формулу для вычисления частоты малых колебаний пружинного маятника. Период колебаний.

3. Математический маятник, дайте определение. Напишите дифференциальное уравнение колебаний и получите формулу для вычисления периода малых колебаний маятника. Частота колебаний.

4. Физический маятник, дайте определение. Напишите дифференциальное уравнение колебаний и получите формулу для вычисления периода малых колебаний маятника. Частота колебаний. Приведенная длина физического маятника.

5. Смещение, скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

6. Энергия гармонических колебаний. Средняя за период энергия гармонического осциллятора.

7. Идеальный колебательный контур. Дифференциальное уравнение свободных ЭМК и его решение для заряда, тока и напряжения. Частота свободных колебаний. Энергия колебаний: электрическая и магнитная составляющие, полная энергия.

Тема 17 Затухающие и вынужденные колебания

1. Напишите дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний и его решение, поясните все величины. Напишите выражение для амплитуды при затухающих колебаниях, нарисуйте график. Логарифмический декремент и коэффициент затухания. Период затухающих колебаний.

2. Электромагнитные колебания (ЭМК). Реальный колебательный контур. Баланс напряжений на контуре. Дифференциальные уравнения затухающих ЭМК. Частота затухающих колебаний. Коэффициент затухания. Время релаксации. Решение для заряда, тока и падения напряжения на конденсаторе, на сопротивлении, на емкости и на катушке индуктивности.

3. Зависимость амплитуды ЭМК для заряда, тока и напряжений от времени. Логарифмический декремент затухания. Энергия затухающих ЭМК. Добротность контура и его вычисление для реального колебательного контура.

4. Вынужденные механические колебания. Напишите дифференциальное уравнение и его решение. Расчет амплитуды и начальной фазы. Нарисуйте график амплитуды колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы. Резонанс.

5. Вынужденные ЭМК. Уравнение вынужденных ЭМК для напряжений. Дифференциальное уравнение вынужденных ЭМК и его решение для заряда, напряжения и тока. Нахождение амплитуды заряда, тока и напряжения.

6. Явление резонанса при ЭМК. Условие явления резонанса для заряда, для тока и напряжения на сопротивлении, на катушке индуктивности и на емкости. Расчет резонансных амплитуд для заряда, тока и напряжений.

Тема 18 Волновые процессы

1. Волны, дайте определение. Продольные и поперечные волны, приведите примеры. Волновой фронт и волновая поверхность. Получите уравнение плоской монохроматической бегущей волны. Длина волны, фаза и частота колебаний, фазовая скорость, волновое число.

2.Энергия волны. Объемна плотность энергии волны. Вектор Умова. Интенсивность волны и ее расчет. Метод Гюйгенса. Законы преломления и отражения для упругих волн.

3.Интерференция упругих волн. Расчет интерференционной картины при наложении двух когерентных волн

4. Стоячие волны. Получите выражение для смещения, нарисуйте график. Укажите на графике узлы и пучности, дайте пояснения.

Глава 13

МАГНИТОСТАТИКА

§1.Магнитное поле

§2.Электрический ток; сохранение заряда

§З. Магнитная сила, действующая на ток

§4.Магнитное поле постоянных токов; закон Ампера

§5.Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи

§6.Относительность магнитных и электрических полей

§7.Преобразование токов и зарядов

§8.Суперпозиция; правило правой руки

Повторить: гл. 15 (вып. 2) «Специальная теория относи­тельности»

§ 1. Магнитное поле

Сила, действующая на электрический заряд, зависит не только от того, где он находится, но и от того, с какой скоростью он движется. Каждая точка в пространстве характеризуется двумя векторными величинами, которые опре­деляют силу, действующую на любой заряд. Во-первых, имеется электрическая сила, даю­щая ту часть силы, которая не зависит от дви­жения заряда. Мы описываем ее с помощью электрического поля Е. Во-вторых, есть еще добавочная компонента силы, называемая маг­нитной силой, которая зависит от скорости заряда. Эта магнитная сила имеет удивительное свойство: в любой данной точке пространства, как направление, так и величина силы зависят от направления движения частицы; в каждый момент сила всегда перпендикулярна вектору скорости; кроме того, в любом месте сила всегда перпендикулярна определенному направ­лению в пространстве (фиг. 13.1), и, наконец, величина силы пропорциональна компоненте скорости, перпендикулярной этому выделен­ному направлению. Все эти свойства можно описать, если ввести вектор магнитного поля В, который определяет выделенное направле­ние в пространстве и одновременно служит константой пропорциональности между силой и скоростью, и записать магнитную силу в виде qvXB. Полная электромагнитная сила, дей­ствующая на заряд, может тогда быть записана так:

F=q(E+vXB) , (13.1)

Она называется силой Лоренца.

Фиг. 13.1. Зависящая от скоро­сти компонента силы на движу­щийся заряд направлена перпен­дикулярно V и вектору В. Она пропорциональна также компонен­те V, перпендикулярной В, т. е. vsinq.

Магнитную силу можно легко продемонстрировать, если поднести магнит вплотную к катодной трубке. Отклонение электронного луча указывает на то, что магнит возбуждает силы, действующие на электроны перпендикулярно направле­нию их движения (мы уже об этом говорили в вып. 1, гл. 12).

Единицей магнитного поля В, очевидно, является 1 ньютон-секунда, деленная на кулон-метр. Та же единица может быть написана как вольт-секунда на квадратный метр. Ее назы­вают еще вебер на квадратный метр.

§ 2. Электрический ток; сохранение заряда

Подумаем теперь о том, почему магнитные силы дей­ствуют на провода, по которым течет электрический ток. Для этого определим, что понимается под плотностью тока. Элект­рический ток состоит из движущихся электронов или дру­гих зарядов, которые образуют результирующее течение, или поток. Мы можем представить поток зарядов вектором, опре­деляющим количество зарядов, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную по­току (точь-в-точь как мы это делали, определяя поток тепла). Назовем эту величину плотностью тока и обозначим ее век­тором j. Он направлен вдоль движения зарядов. Если взять маленькую площадку Dа в данном месте материала, то коли­чество зарядов, текущее через площадку в единицу времени, равно

j·n Da, (13.2)

где n - единичный вектор нормали к Dа.

Плотность тока связана со средней скоростью течения зарядов. Предположим, что имеется распределение зарядов, в среднем дрейфующих со скоростью v. Когда это распределе­ние проходит через элемент поверхности Dа, то заряд Dq, проходящий через Dа за время Dt, равен заряду, содержащемуся в параллелепипеде с основанием Dа и высотой vDt (фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Если распределение зарядов с плотностью r дви­жется со скоростью v, то коли­чество заряда, проходящее в единицу времени через площад­ку Dа, есть rv·nDа.

Объем параллелепипеда есть произведение проекции Dа, пер­пендикулярной к v, на vDt, а умножая его на плотность заря­дов r, получаем Dq. Таким образом,

Dq = rv·nDaDt.

Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен рv·nDа, откуда получаем

j = pv. (13.3)

Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q, движущихся со средней ско­ростью v, то плотность тока равна

j = Nqv, (13.4)

где N - число зарядов в единице объема.

Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим то­ком I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):

Фиг. 13.3. Ток I через поверх­ность S равен

Фиг. 13.4. Интеграл от j·n no замкнутой по­верхности равен скоро­сти изменения полного заряда Q внутри.

Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой ско­рость, с которой заряды покидают объем V, окруженный по­верхностью 5. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы го­ворим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4). Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:

Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плот­ности заряда

Применяя (13.6) к малому объему DV, можно учесть, что интеграл слева есть С·jDV. Заряд внутри равен rDV, поэтому сохранение заряда можно еще записать и так:

(опять теорема Гаусса из математики!).

§ 3. Магнитная сила, действующая на ток

Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы определить силу, действующую на находящуюся в магнитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, дви­жущихся по проволоке со скоростью v. Каждый заряд чувствует поперечную силу F = qvXB (фиг. 13.5, а).

Фиг. 13.5. Магнитная сила на проволоку с током равна сумме сил на отдельные движу­щиеся заряды

Если в еди­ничном объеме таких за­рядов имеется N, то их число в малом объеме внутри проволоки DV рав­но N DV. Полная магнит­ная сила DV, действую­щая на объем DV, есть. сумма сил на отдельные заряды

Ho Nqv ведь как раз равно j, так что

(фиг. 13.5, б). Сила, действующая на единицу объема, равна JXB.

Если по проволоке с поперечным сечением А равномерно по сечению течет ток, то можно в качестве элемента объема взять цилиндр с основанием А и длиной DL. Тогда

DF = jXBDL. (13.10)

Теперь можно jA назвать вектором тока I в проволоке. (Его величина есть электрический ток в проволоке, а его направле­ние совпадает с направлением проволоки.) Тогда

DF=IXBDL. (13.11)

Сила, действующая на единицу длины проволоки, есть IXB.

Это уравнение содержит важный результат - магнитная

сила, действующая на проволоку и возникающая от движения в ней зарядов, зависит только от полного тока, а не от величины заряда, переносимого каждой частицей (и даже не зависит от его знака!). Магнитная сила, действующая на проволоку вбли­зи магнита, легко обнаруживается по отклонению проволоки при включении тока, как было нами описано в гл. 1 (см. фиг. 1.6, стр. 20).

§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера

Мы видели, что на проволоку в магнитном поле, создавае­мом, скажем, магнитом, действует сила. Из закона о том, что действие равно противодействию, можно ожидать, что, когда по проволоке протекает ток, возникает сила, действующая на источник магнитного поля, т. е. на магнит. Такие силы дей­ствительно существуют; в этом можно убедиться по отклонению стрелки компаса вблизи проволоки с током. Далее, мы знаем, что магниты испытывают действие сил со стороны других маг­нитов, а отсюда вытекает, что когда по проволоке течет ток, то он создает собственное магнитное поле. Значит, движущиеся заряды создают магнитное поле. Попытаемся понять законы, которым подчиняются такие магнитные поля. Вопрос ставится так: дан ток, какое магнитное поле он создаст? Ответ на этот вопрос был получен экспериментально тремя опытами и под­твержден блестящим теоретическим доказательством Ампера. Мы не будем останавливаться на этой интересной истории, а просто скажем, что большое число экспериментов наглядно показало справедливость уравнений Максвелла. Их мы и возь­мем в качестве отправной точки. Опуская в уравнениях члены с производными по времени, мы получаем уравнения магнито­статики

Эти уравнения справедливы только при условии, что все плотности электрических зарядов и все токи постоянны, так что электрические и магнитные поля не меняются со време­нем - все поля «статические».

Можно тут заметить, что верить в существование статиче­ского магнитного поля довольно опасно, потому что вообще-то для получения магнитного поля нужны токи, а токи возникают только от движущихся зарядов. Следовательно, «магнитостатика» - только приближение.

Она связана с особым слу­чаем динамики, когда движется большое число зарядов, ко­торые можно приближенно описывать как постоянный поток зарядов. Только в этом случае можно говорить о плотности тока j, которая не меняется со временем. Более точно эту об­ласть следовало бы назвать изучением постоянных токов. Предполагая, что все поля постоянны, мы отбрасываем члены с dE/dt и dB/dt в полных уравнениях Максвелла [уравнения (2.41)] и получаем два написанных выше уравнения (13.12) и (13.13). Заметьте также, что поскольку дивергенция ротора любого вектора всегда нуль, то уравнение (13.13) требует, что­бы С·j=0. В силу уравнения (13.8) это верно, только если дr /дt =0. Но такое может быть, если Е не меняется со време­нем, следовательно, наши предположения внутренне согласо­ваны.

Условие, что С·J= 0, означает, что у нас могут быть только заряды, текущие по замкнутым путям. Они могут, например, течь по проводам, образующим замкнутые петли, которые назы­ваются цепями. Цепи могут, конечно, содержать генераторы или батареи, поддерживающие ток зарядов. Но в них не должно быть конденсаторов, которые заряжаются или разря­жаются. (Мы, конечно, расширим теорию, включив перемен­ные поля, но сначала мы хотим взять более простой случай постоянных токов.)

Обратимся теперь к уравнениям (13.12) и (13.13) и посмот­рим, что они означают. Первое говорит, что дивергенция В равна нулю. Сравнивая его с аналогичным уравнением электро­статики, по которому С·Е=r/e 0 , можно заключить, что маг­нитного аналога электрического заряда не существует. Не бы­вает магнитных зарядов, из которых могли бы исходить ли­нии В. Если говорить о «линиях» векторного поля В, то они нигде не начинаются и нигде не оканчиваются. Но тогда откуда же они берутся? Магнитные поля «появляются» в присутствии токов; ротор, взятый от них, пропорционален плотности тока. Когда есть токи, есть и линии магнитного поля, образующие петли вокруг токов. Поскольку линии В не имеют ни конца, ни начала, они часто возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли. Но могут возникнуть и более сложные случаи, когда линии не представляют собой простых петель. Однако как бы они ни шли, они никогда не исходят из точек. Никаких магнитных зарядов никто никогда не находил, поэтому С·В=0. Это же утверждение справедливо не только для маг­нитостатики, но справедливо всегда - даже для динамических полей.

Связь между полем В и токами дается уравнением (13.13). Положение здесь совсем другое, в корне отличное от элек­тростатики, где у нас было СXЕ = 0. Это уравнение означало, что линейный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен нулю:

Фиг. 13.6. Контурный интег­рал от тангенциальной со­ставляющей В равен поверхно­стному интегралу от нормаль­ной составляющей вектора

(СX B).

Мы получили этот результат с помощью теоремы Стокса, со­гласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормаль­ной компоненты ротора этого вектора (интеграл берется по дюбой поверхности, натянутой на данный контур). Применяя эту же теорему к вектору магнитного поля и используя обо­значения, показанные на фиг. 13.6, получаем

Найдя rot В из уравнения (13.13), имеем

Интеграл от j по S, согласно (13.5), есть полный ток I через поверхность S. Поскольку для постоянных токов ток через S не зависит от формы S, если она ограничена кривой Г, то обыч­но говорят о «токе через замкнутую петлю Г». Мы имеем, та­ким образом, общий закон: циркуляция В по любой замкнутой кривой

равна току I сквозь петлю, деленному на e 0 с 2:

Этот закон, называемый законом Ампера, играет такую же роль в магнитостатике, как закон Гаусса в электростатике. Один лишь закон Ампера не определяет В через токи; мы долж­ны, вообще говоря, использовать также С·В=0. Но, как мы увидим в следующем параграфе, он может быть использован для нахождения поля в тех особых случаях, которые обладают некоторой простой симметрией.

§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи

Можно показать, как пользоваться законом Ампера, опреде­лив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндри­ческого сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля В идут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле В имеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7). Тогда можно легко взять линейный интеграл от B·ds. Он равен просто величине В, умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен r, то

Полный ток через петлю есть просто ток I в проводе, поэтому

Напряженность магнитного доля спадает обратно пропорцио­нально r, расстоянию от оси провода. При желании уравнение (13.17) можно записать в векторной форме. Вспоминая, что В направлено перпендикулярно как I, так и r, имеем

Фиг. 13.7. Магнитное поле вне длинного провода с током I.

Фиг. 13.8. Магнитное поле длинного соленоида.

Мы выделили множитель 1/4pe 0 с 2 , потому что он часто по­является. Стоит запомнить, что он равен в точности 10 -7 (в си­стеме единиц СИ), потому что уравнение вида (13.17) исполь­зуется для определения единицы тока, ампера. На расстоянии 1 м ток в 1а создает магнитное поле, равное 2·10 -7 вебер/м 2 .

Раз ток создает магнитное поле, то он будет действовать с некоторой силой на соседний провод, по которому также про­ходит ток. В гл. 1 мы описывали простой опыт, показывающий силы между двумя проводами, по которым течет ток. Если про­вода параллельны, то каждый из них перпендикулярен полю В другого провода; тогда провода будут отталкиваться или при­тягиваться друг к другу. Когда токи текут в одну сторону, провода притягиваются, когда токи противоположно направле­ны,- они отталкиваются.

Возьмем другой пример, который тоже можно проанализи­ровать с помощью закона Ампера, если еще добавить кое-какие сведения о характере поля. Пусть имеется длинный провод, свернутый в тугую спираль, сечение которой показано на фиг. 13.8. Такая спираль называется соленоидом. На опыте мы наблюдаем, что когда длина соленоида очень велика по сравнению с диаметром, то поле вне его очень мало по сравне­нию с полем внутри. Используя только этот факт и закон Ам­пера, можно найти величину поля внутри.

Поскольку поле остается внутри (и имеет нулевую дивер­генцию), его линии должны идти параллельно оси, как пока­зано на фиг. 13.8. Если это так, то мы можем использовать закон Ампера для прямоугольной «кривой» Г на рисунке. Эта кривая проходит расстояние L внутри соленоида, где поле, скажем, равно В 0 , затем идет под прямым углом к полю и возвращается назад по внеш­ней области, где полем можно пренебречь.

Фиг. 13.9. Магнитное поле вне соленоида.

Линей­ный интеграл от В вдоль этой кривой равен в точ­ности B 0 L, и это должно равняться 1/e 0 с 2 , умноженному на полный ток внутри Г, т. е. на NI (где N - число витков соленоида на длине L). Мы имеем

Или же, вводя n - число витков на единицу длины соленоида (так что n=N/L), мы получаем

Что происходит с линиями В, когда они доходят до конца соленоида? По-видимому, они как-то расходятся и возвращают­ся в соленоид с другого конца (фиг. 13.9). В точности такое же поле наблюдается вне магнитной палочки. Ну а что же такое магнит? Наши уравнения говорят, что поле В возникает от присутствия токов. А мы знаем, что обычные железные бруски (не батареи и не генераторы) тоже создают магнитные поля. Вы могли бы ожидать, что в правой части (13.12) или (13.13) должны были бы быть другие члены, представляющие «плот­ность намагниченного железа» или какую-нибудь подобную величину. Но такого члена нет. Наша теория говорит, что магнитные эффекты железа возникают от каких-то внутренних токов, уже учтенных членом j.

Вещество устроено очень сложно, если рассматривать его с глубокой точки зрения; в этом мы уже убедились, когда пы­тались понять диэлектрики. Чтобы не прерывать нашего из­ложения, отложим подробное обсуждение внутреннего меха­низма магнитных материалов типа железа. Пока придется принять, что любой магнетизм возникает за счет токов и что в постоянном магните имеются постоянные внутренние токи. В случае железа эти токи создаются электронами, вращающи­мися вокруг собственных осей. Каждый электрон имеет такой спин, который соответствует крошечному циркулирующему току. Один электрон, конечно, не дает большого магнитного поля, но в обычном куске вещества содержатся миллиарды и миллиарды электронов. Обычно они вращаются любым образом, так что суммарный эффект исчезает. Удивительно то, что в немногих веществах, подобных железу, большая часть элек­тронов крутится вокруг осей, направленных в одну сторону,- у железа два электрона из каждого атома принимают участие в этом совместном движении. В магните имеется большое число электронов, вращающихся в одном направлении, и, как мы увидим, их суммарный эффект эквивалентен току, циркули­рующему по поверхности магнита. (Это очень похоже на то, что мы нашли в диэлектриках,- однородно поляризованный диэлектрик эквивалентен распределению зарядов на его по­верхности.) Поэтому не случайно, что магнитная палочка эк­вивалентна соленоиду.

§ 6. Относительность магнитных и электрических полей

Когда мы сказали, что магнитная сила на заряд пропорциональна его скорости, вы, наверное, подумали: «Какой скорости? По отношению к какой системе отсчета?» Из определения В, данного в начале этой главы, на самом деле ясно, что этот век­тор будет разным в зависимости от выбора системы отсчета, в которой мы определяем скорость зарядов. Но мы ничего не сказали о том, какая же система подходит для определения магнитного поля.

Оказывается, что годится любая инерциальная система. Мы увидим также, что магнетизм и электричество - не неза­висимые вещи, они всегда должны быть взяты в совокупности как одно полное электромагнитное поле. Хотя в статическом случае уравнения Максвелла разделяются на две отдельные пары: одна пара для электричества и одна для магнетизма, без видимой связи между обоими полями, тем не менее в самой природе существует очень глубокая взаимосвязь между ними, возникающая из принципа относительности. Исторически принцип относительности был открыт после уравнений Мак­свелла. В действительности же именно изучение электричества и магнетизма привело Эйнштейна к открытию принципа отно­сительности. Но посмотрим, что наше знание принципа отно­сительности подскажет нам о магнитных силах, если предпо­ложить, что принцип относительности применим (а в действи­тельности так оно и есть) к электромагнетизму.

Давайте подумаем, что произойдет с отрицательным заря­дом, движущимся со скоростью v 0 параллельно проволоке, по которой течет ток (фиг. 13.10).

Фиг. 13.10. Взаимодействие проволоки с током и частицы с зарядом q,

рассматриваемое в двух системах координат.

а - в системе S покоится проволока; б - в системе S" покоится заряд.

Постараемся разобраться в происходящем, используя две системы отсчета: одну, связан­ную с проволокой, как на фиг. 13.10, а, а другую - с частицей, как на фиг. 13.10, б. Мы будем называть первую систему отсче­та S, а вторую S".

В системе S на частицу явно действует магнитная сила. Сила направлена к проволоке, поэтому, если заряду ничего не ме­шает, его траектория загнется в сторону проволоки. Но в си­стеме S" магнитной силы на частицу быть не может, потому что скорость частицы равна нулю. Что же, следовательно, она так и будет стоять на месте? Увидим ли мы в разных системах разные вещи? Принцип относительности утверждает, что в си­стеме S" мы увидели бы тоже, как частица приближается к проволоке. Мы должны попытаться понять, почему такое могло бы произойти.

Вернемся к нашему атомному описанию проволоки, по ко­торой идет ток. В обычном проводнике, вроде меди, электри­ческие токи возникают за счет движения части отрицательных электронов (называемых электронами проводимости), тогда как положительные ядерные заряды и остальные электроны ос­таются закрепленными внутри материал а. Пусть плотность электронов проводимости есть r, а их скорость в системе S есть v. Плотность неподвижных зарядов в системе S есть r + , что долж­но быть равно r - с обратным знаком, потому что мы берем не­заряженную проволоку. Поэтому вне проволоки электриче­ского поля нет, и сила на движущуюся частицу равна просто

Используя результат, найденный нами в уравнении (13.18) для магнитного поля на расстоянии rот оси проволоки, мы заключаем, что сила, действующая на частицу, направлена к проволоке и равна по величине

С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток I может быть за­писан как r + vA, где А - площадь поперечного сечения про­волоки. Тогда

Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая про­извольных скоростей v и v 0 , но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость v 0 частицы совпадает со ско­ростью v электронов проводимости. Поэтому мы запишем v=v 0 , и уравнение (13.20) приобретет вид

Теперь обратимся к тому, что происходит в системе S", где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью v. Положительные заряды, движущие­ся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое маг­нитное поле В". Но частица теперь покоится, так что магнит­ная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выхо­дит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряжен­ной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.

Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плот­ность зарядов в проволоке в системе S", пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе S. На первый взгляд можно было бы по­думать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.

Прежде чем определить плотности зарядов в системе S", нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель 1/Ц(1-v 2 /c 2). Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.

Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и про­тонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.

Фиг. 13.11 . Если распределение заряженных частиц имеет плотность зарядов р 0 , то с точки зрения системы, движущейся с относительной скоростью v, плотность зарядов будет равна r=r 0 /Ц (1 - v 2 /с 2).

Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каж­дого из электронов в куске привело бы к огромным электриче­ским полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.

Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электро­нов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простей­ших химических реакциях к огромным полям. Ничего похо­жего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электриче­ский заряд отдельной частицы не зависит от состояния движе­ния или покоя.

Итак, заряд частицы q есть инвариантная скалярная вели­чина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в еди­нице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.

Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной L 0 , в которой плотность непод­вижных зарядов есть r 0 , то в ней будет содержаться полный за­ряд Q- r 0 L 0 A 0 . Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью v, то они все будут находиться в куске материала

меньшей длины

но того же сечения A 0 , поскольку размеры в направлении, пер­пендикулярном движению, не меняются (фиг. 13.11).

Если через r обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд Q будет rLA 0 . Но это должно быть также равно r 0 L 0 А, потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно, rL=r 0 L 0 , или с помощью (13.22)

Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меня­ется таким же образом, как и релятивистская масса частицы. Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов r + в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в систе­ме S. Однако в системе S", где проволока движется со скоростью v, плотность положительных зарядов становится равной

Отрицательные заряды в системе S" покоятся, поэтому их плотность в этой системе есть «плотность покоя» r 0 . В уравне­нии (13.23) r 0 =r - , потому что их плотность зарядов равна r - , если проволока покоится, т. е. в системе S, где скорость отри­цательных зарядов равна v. Тогда для электронов проводимости мы получаем

Теперь мы можем понять, почему в системе S" возникают электрические поля: потому что в этой системе в проволоке имеется результирующая плотность зарядов r", даваемая формулой

С помощью (13.24) и (13.26) имеем

Поскольку покоящаяся проволока нейтральна, r - = -r + , получаем

Наша движущаяся проволока заряжена положительно и должна создавать поле Е" в точке, где находится внешняя по­коящаяся частица. Мы уже решали электростатическую задачу об однородно заряженном цилиндре. Электрическое поле на расстоянии r от оси цилиндра есть

Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, на­правлена к проволоке. Мы имеем силу, направленную одина­ково в обеих системах; электрическая сила в системе S" на­правлена так же, как магнитная сила в системе S. Величина силы в системе S" равна

Сравнивая этот результат для F" с нашим результатом для F в уравнении (13.21), мы видим, что величины сил с точки зре­ния двух наблюдателей почти одинаковы. Точнее,

поэтому для малых скоростей, которые мы рассматриваем, обе силы одинаковы. Мы можем сказать, что по меньшей мере для малых скоростей магнетизм и электричество суть просто «две разные стороны одной и той же вещи».

Но оказывается, что все обстоит даже еще лучше, чем мы сказали. Если принять во внимание тот факт, что силы также преобразуются при переходе от одной системы к другой, то окажется, что оба способа наблюдения за происходящим дают на самом деле одинаковые физические результаты при лю­бой скорости.

Чтобы это увидеть, можно, например, задать вопрос: ка­кой поперечный импульс приобретет частица, на которую в тече­ние некоторого времени действовала сила? Мы знаем из вып. 2, гл. 16, что поперечный импульс частицы должен быть один и тот же как в системе S, так ив системе S". Обозначим попереч­ную координату у и сравним Dр y и Dр y ’ . Используя релятивист­ски правильное уравнение движения F-dp/dt, мы ожидаем, что за время Dt наша частица приобретет поперечный импульс Dр y в системе S, даваемый выражением

В системе S" поперечный импульс будет равен

Фиг. 13.12. В системе S плот­ность зарядов есть нуль, а плот­ность тока равна j. Есть только магнитное поле. В системе S" плотность зарядов равна р", а плотность тока j". Магнитное поле здесь равно В" и существует электрическое поле Е".

Мы должны сравнивать Dр y и Dр y " , конечно, для соответствующих интер­валов времени Dt и Dt". В гл. 15 (вып. 2) мы видели, что интервалы времени, относящиеся к движущейся частице, кажутся длиннее интерва­лов в системе покоя частицы. По­скольку наша частица первоначаль­но была в покое в системе S", то

мыожидаем, что для малых Dt

и все получается великолепно. Согласно (13.31) и (13.32),

и если скомбинировать (13.30) и (13.33), то это отношение равно единице.

Вот и выходит, что мы получаем один и тот же результат, независимо от того, анализируем ли мы движение летящей рядом с проволокой частицы в системе покоя проволоки или в системе покоя частицы. В первом случае сила была чисто «магнитной», во втором - чисто «электрической». Оба способа наблюдения показаны на фиг. 13.12 (хотя во второй системе еще есть и магнитное поле В", оно не воздействует на непод­вижную частицу).

Если бы мы выбрали еще одну систему координат, мы бы нашли некую другую смесь полей E и В. Электрические и магнитные силы составляют части одного физического явления- электромагнитного взаимодействия частиц. Разделение этого взаимодействия на электрическую и магнитную части в большой степени зависит от системы отсчета, в которой мы описываем взаимодействие. Но полное электромагнитное описание инва­риантно; электричество и магнетизм, вместе взятые, согла­суются с принципом относительности, открытым Эйнштей­ном.

Раз электрические и магнитные поля появляются в разных соотношениях при изменении системы отсчета, мы должны проявлять осторожность в обращении с полями Е и В. Если, например, мы говорим о «линиях» Е или В, то не нужно пре­увеличивать реальность их существования. Линии могут ис­чезнуть, если мы захотим увидеть их в другой системе коорди­нат. Например, в системе S" имеются линии электрического поля, однако мы не видим их «движущимися мимо нас со ско­ростью v в системе S 1 ». В системе S линий электрического поля нет вообще! Поэтому бессмысленно говорить что-нибудь вроде: «Когда я двигаю магнит, он несет свое поле с собой, поэтому линии поля В тоже движутся». Нет никакого способа сделать вообще осмысленным понятие о «скорости движущихся линий поля».

Поля суть способ описания того, что происходит в неко­торой точке пространства. В частности, Е и В говорят нам о силах, которые будут действовать на движущуюся частицу. Вопрос «чему равна сила, действующая на заряд со стороны движущегося магнитного поля?» не имеет сколько-нибудь точ­ного содержания. Сила дается величинами Е и В в точке за­ряда, и формула (13.1) не изменится, если источник полей Е или В движется (изменятся в результате движения как раз значения Е и В). Наше математическое описание относится только к полям как функциям х, у, z и t, взятым в некоторой инерциалъной системе отсчета.

Позднее мы будем говорить о «волне электрического и маг­нитного полей, распространяющейся в пространстве», напри­мер о световой волне. Но это все равно, что говорить о волне, бегущей по веревке. Мы при этом не имеем в виду, что какая-нибудь часть веревки движется в направлении волны, а подра­зумеваем, что смещение веревки появляется сначала в одном месте, а затем в другом. Аналогично для электромагнитной волны - сама волна распространяется, а величина полей изме­няется.

Так что в будущем, когда мы - или кто-нибудь еще - будем говорить о «движущемся» поле, вы должны понимать, что речь идет просто о коротком и удобном способе описания изменяющегося ноля в определенных условиях.

§ 7. Преобразование токов и зарядов

Вы, вероятно, были обеспокоены сделанным нами упроще­нием, когда мы взяли одну и ту же скорость v для частицы и электронов проводимости в проволоке. Можно было бы вер­нуться назад и снова проделать анализ с двумя разными ско­ростями, но легче просто заметить, что плотность заряда и тока являются компонентами четырехвектора (см. вып. 2, гл. 17).

Мы видели уже, что если r 0 есть плотность зарядов в их системе покоя, то в системе, где они имеют скорость v, плотность равна

В этой системе их плотность тока есть

где m 0 - ее масса покоя. Мы знаем также, что U и р обра­зуют релятивистский четырехвектор. Поскольку r и j зави­сят от скорости v в точности, как U и р, то можно заклю­чить, что r и j также компоненты релятивистского четырехвектора. Это свойство есть ключ к общему анализу поля проволоки, движущейся с любой скоростью, и мы могли бы его использовать, если бы захотели решить снова задачу со скоростью частицы v 0 , не равной скорости электронов про­водимости.

Если нам нужно перевести r и j в систему координат, движущуюся со скоростью и в направлении х, то мы знаем, что они преобразуются в точности как t и (х, у, z); поэтому мы имеем (см. вып. 2, гл. 15)

С помощью этих уравнений можно связать заряды и токи в одной системе с зарядами и токами в другой. Взяв заряды и токи в какой-то системе, можно решить электромагнитную задачу в этой системе, пользуясь уравнениями Максвелла. Результат, который мы получим для движения частиц, будет одним и тем же, независимо от выбранной системы отсчета. Позже мы вернемся к релятивистским преобразованиям элек­тромагнитных полей.

§ 8. Суперпозиция; правило правой руки

Мы закончим эту главу еще двумя замечаниями по вопро­сам магнитостатики. Первое: наши основные уравнения для магнитного поля

линейны до В и j. Это означает, что принцип суперпозиции (наложения) приложим и к магнитному полю. Поле, создава­емое двумя разными постоянными токами, есть сумма собствен­ных полей от каждого тока, действующего по отдельности. Наше второе замечание относится к правилам правой руки, с которыми мы уже сталкивались (правило правой руки для магнитного поля, создаваемого током). Мы указывали также, что намагничивание железного магнита объясняется вращением электронов в материале. Направление магнитного поля вра­щающегося электрона связано с осью его вращения тем же самым правилом правой руки. Поскольку В определяется правилом определенной руки (с помощью либо векторного произведения, либо ротора), он называется аксиальным век­тором. (Векторы, направление которых в пространстве не за­висит от ссылок на левую или правую руку, называются по­лярными векторами. Например, смещение, скорость, сила и Е - полярные векторы.)

Физически наблюдаемые величины в электромагнетизме, однако, не связаны с правой или левой рукой. Из гл. 52 (вып. 4) мы знаем, что электромагнитные взаимодействия симметричны по отношению к отражению. При вычислении магнитных сил между двумя наборами токов результат всегда инвариантен по отношению к перемене рук. Наши уравнения, независимо от условия правой руки, приводят к конечному результату, что параллельные токи притягиваются, а противоположные - отталкиваются. (Попробуйте вычислить силу с помощью «пра­вила левой руки».) Притяжение или отталкивание есть поляр­ный вектор. Так получается потому, что при описании любого полного взаимодействия мы пользуемся правилом правой руки дважды - один раз, чтобы найти В из токов, а затем, чтобы найти силу, оказываемую полем В на второй ток. Два раза пользоваться правилом правой руки - все равно что два раза пользоваться правилом левой руки. Если бы мы условились перейти к системе левой руки, все наши поля В изменили бы знак, но все силы или (что, пожалуй, нагляднее) наблюдаемые ускорения объектов не изменились бы.

Когда мы сказали, что магнитная сила на заряд пропорциональна его скорости, вы, наверное, подумали: «Какой скорости? По отношению к какой системе отсчета?» Из определения В, данного в начале этой главы, на самом деле ясно, что этот вектор будет разным в зависимости от выбора системы отсчета, в которой мы определяем скорость зарядов. Но мы ничего не сказали о том, какая же система подходит для определения магнитного поля.

Оказывается, что годится любая инерциальная система. Мы увидим также, что магнетизм и электричество — не независимые вещи, они всегда должны быть взяты в совокупности как одно полное электромагнитное поле. Хотя в статическом случае уравнения Максвелла разделяются на две отдельные пары: одна пара для электричества и одна для магнетизма, без видимой связи между обоими полями, тем не менее в самой природе существует очень глубокая взаимосвязь между Иими, возникающая из принципа относительности. Исторически принцип относительности был открыт после уравнений Максвелла. В действительности же именно изучение электричества и магнетизма привело Эйнштейна к открытию принципа относительности. Но посмотрим, что наше знание принципа относительности подскажет нам о магнитных силах, если предположить, что принцип относительности применим (а в действительности так оно и есть) к электромагнетизму.

Давайте подумаем, что произойдет с отрицательным зарядом, движущимся со скоростью v 0 параллельно проволоке, покоторой течет ток (фиг. 13.10). Постараемся разобраться в происходящем, используя две системы отсчета: одну, связанную с проволокой, как на фиг. 13.10, а, а другую — с частицей, как на фиг. 13.10, б. Мы будем называть первую систему отсчета S , а вторую S `.

В системе S на частицу явно действует магнитная сила. Сила направлена к проволоке, поэтому, если заряду ничего не мешает, его траектория загнется в сторону проволоки. Но в системе S ` магнитной силы на частицу быть не может, потому что скорость частицы равна нулю. Что же, следовательно, она так и будет стоять на месте? Увидим ли мы в разных системах разные вещи? Принцип относительности утверждает, что в системе S ` мы увидели бы тоже, как частица приближается к проволоке. Мы должны попытаться понять, почему такое могло бы произойти.

Вернемся к нашему атомному описанию проволоки, по которой идет ток. В обычном проводнике, вроде меди, электрические токи возникают за счет движения части отрицательных электронов (называемых электронами проводимости), тогда как положительные ядерные заряды и остальные электроны остаются закрепленными внутри материала. Пусть плотность электронов проводимости есть р_, а их скорость в системе S есть v. Плотность неподвижных зарядов в системе S есть р + , что должно быть равно р_ с обратным знаком, потому что мы берем незаряженную проволоку. Поэтому вне проволоки электрического поля нет, и сила на движущуюся частицу равна просто

Используя результат, найденный нами в уравнении (13.18) для магнитного поля на расстоянии r от оси проволоки, мы заключаем, что сила, действующая на частицу, направлена к проволоке и равна по величине

С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток / может быть записан как p + vA , где А — площадь поперечного сечения проволоки. Тогда

Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая произвольных скоростей v и v 0 , но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость v 0 частицы совпадает со скоростью v электронов проводимости. Поэтому мы запишем v = v 0 , и уравнение (13.20) приобретет вид

Теперь обратимся к тому, что происходит в системе S `, где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью v. Положительные заряды, движущиеся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое магнитное поле В`. Но частица теперь покоится, так что магнит ная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выходит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряжен ной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.

Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плотность зарядов в проволоке в системе S `, пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе S . На первый взгляд можно было бы подумать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.

Прежде чем определить плотности зарядов в системе S `, нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель 1/√1-v 2 / c 2 . Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.

Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и протонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.

Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каждого из электронов в куске привело бы к огромным электрическим полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.

Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электронов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простейших химических реакциях к огромным полям. Ничего похожего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электрический заряд отдельной частицы не зависит от состояния движения или покоя.

Итак, заряд частицы q есть инвариантная скалярная величина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в единице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.

Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной L 0 , в которой плотность неподвижных зарядов есть ρ 0 , то в ней будет содержаться полный заряд Q=ρ 0 L 0 A 0 . Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью v , то они все будут находиться в куске материала меньшей длины

но того же сечения А о, поскольку размеры в направлении, перпендикулярном движению, не меняются (фиг. 13.11).

Если через ρ обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд Q будет ρLA 0 , Но это должно быть также равно ρ о L 0 A, потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно, ρL=ρ 0 L 0 , или с помощью (13.22)

Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меняется таким же образом, как и релятивистская масса частицы.

Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов р + в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в системе S . Однако в системе S ` , где проволока движется со скоростью v , плотность положительных зарядов становится равной

Отрицательные заряды в системе S′ покоятся, поэтому их плотность в этой системе есть «плотность покоя» ρ 0 . В уравнении (13.23) ρ о =ρ′_, потому что их плотность зарядов равна ρ_, если проволока покоится, т. е. в системе S , где скорость отрицательных зарядов равна v . Тогда для электронов проводимости мы получаем

Теперь мы можем понять, почему в системе S′ возникают электрические поля: потому что в этой системе в проволоке имеется результирующая плотность зарядов ρ′, даваемая формулой

помощью (13.24) и (13.26) имеем

Поскольку покоящаяся проволока нейтральна, р_ = —р + , получаем

Наша движущаяся проволока заряжена положительно и должна создавать поле Е′ в точке, где находится внешняя покоящаяся частица. Мы уже решали электростатическую задачу об однородно заряженном цилиндре. Электрическое поле на расстоянии r от оси цилиндра есть

Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, направлена к проволоке. Мы имеем силу, направленную одинаково в обеих системах; электрическая сила в системе S′ направлена так же, как магнитная сила в системе S. Величина силы в системе S′ равна

Сравнивая этот результат для F′ с нашим результатом для F в уравнении (13.21), мы видим, что величины сил с точки зрения двух наблюдателей почти одинаковы. Точнее,

поэтому для малых скоростей, которые мы рассматриваем, обе силы одинаковы. Мы можем сказать, что по меньшей мере для малых скоростей магнетизм и электричество суть просто «две разные стороны одной и той же вещи».

Но оказывается, что все обстоит даже еще лучше, чем мы сказали. Если принять во внимание тот факт, что силы также преобразуются при переходе от одной системы к другой, то окажется, что оба способа наблюдения за происходящим дают на самом деле одинаковые физические результаты при любой скорости.

Чтобы это увидеть, можно, например, задать вопрос: какой поперечный импульс приобретет частица, на которую в течение некоторого времени действовала сила? Мы знаем из вып. 2, гл. 16, что поперечный импульс частицы должен быть один и тот же как в системе S, так ив системе S′. Обозначим поперечную координату у и сравним Δр у и Δр′ у. Используя релятивистски правильное уравнение движения F=dp/dt, мы ожидаем, что за время Δt наша частица приобретет поперечный импульс Δр у в системе S, даваемый выражением

В системе S′ поперечный импульс будет равен

Мы должны сравнивать Δр у и Δр′ у конечно, для соответствующих интервалов времени Δt и Δt′. В гл. 15 (вып. 2) мы видели, что интервалы времени, относящиеся к движущейся частице, кажутся длиннее интервалов в системе покоя частицы. Поскольку наша частица первоначально была в покое в системе S′, то мы ожидаем, что для малых Δt

и все получается великолепно. Согласно (13.31) и (13.32),

и если скомбинировать (13.30) и (13.33), то это отношение равно единице.

Вот и выходит, что мы получаем один и тот же результат, независимо от того, анализируем ли мы движение летящей рядом с проволокой частицы в системе покоя проволоки или в системе покоя частицы. В первом случае сила была чисто «магнитной», во втором — чисто «электрической». Оба способа наблюдения показаны на фиг. 13.12 (хотя во второй системе еще есть и магнитное поле В′, оно не воздействует на неподвижную частицу).

Если бы мы выбрали еще одну систему координат, мы бы нашли некую другую смесь полей Е и В. Электрические и магнитные силы составляют части одного физического явления— электромагнитного взаимодействия частиц. Разделение этого взаимодействия на электрическую и магнитную части в большой степени зависит от системы отсчета, в которой мы описываем взаимодействие. Но полное электромагнитное описание инвариантно; электричество и магнетизм, вместе взятые, согласуются с принципом относительности, открытым Эйнштейном.

Раз электрические и магнитные поля появляются в разных соотношениях при изменении системы отсчета, мы должны проявлять осторожность в обращении с полями Е и В. Если, например, мы говорим о «линиях» Е или В, то не нужно преувеличивать реальность их существования. Линии могут исчезнуть, если мы захотим увидеть их в другой системе координат. Например, в системе S′ имеются линии электрического поля, однако мы не видим их «движущимися мимо нас со скоростью v в системе S». В системе S линий электрического поля нет вообще! Поэтому бессмысленно говорить что-нибудь вроде: «Когда я двигаю магнит, он несет свое поле с собой, поэтому линии поля В тоже движутся». Нет никакого способа сделать вообще осмысленным понятие о «скорости движущихся линий поля».

Поля суть способ описания того, что происходит в некоторой точке пространства. В частности, Е и В говорят нам о силах, которые будут действовать на движущуюся частицу. Вопрос «чему равна сила, действующая на заряд со стороны движущегося магнитного поля?» не имеет сколько-нибудь точного содержания. Сила дается величинами Е и В в точке заряда, и формула (13.1) не изменится, если источник полей Е или В движется (изменятся в результате движения как раз значения Е и В). Наше математическое описание относится только к полям как функциям х, у, z и t, взятым в некоторой инерциалъной системе отсчета .

Позднее мы будем говорить о «волне электрического и магнитного полей, распространяющейся в пространстве», например о световой волне. Но это все равно, что говорить о волне, бегущей по веревке. Мы при этом не имеем в виду, что какая-нибудь часть веревки движется в направлении волны, а подразумеваем, что смещение веревки появляется сначала в одном месте, а затем в другом. Аналогично для электромагнитной волны — сама волна распространяется, а величина полей изменяется .

Так что в будущем, когда мы — или кто-нибудь еще — будем говорить о «движущемся» поле, вы должны понимать, что речь идет просто о коротком и удобном способе описания изменяющегося поля в определенных условиях.