Алгебраические уравнения первой второй и третьей степеней. Виды алгебраических уравнений и способы их решения

Алгебраические уравнения – уравнения вида

где - многочлен от переменных . Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел удовлетворяет этому уравнению, если при замене на , на и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению , поскольку ). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена называется степенью уравнения . Например, - уравнение первой степени, - второй степени, а - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет конечное число корней, а множество решений алгебраического уравнения с большим числом неизвестных может представлять собой бесконечное множество определенных наборов чисел. Поэтому обычно рассматривают не отдельные алгебраические уравнения с неизвестными, а системы уравнений и ищут наборы чисел, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям данной системы. Совокупность всех этих наборов образует множество решений системы. Например, множество решений системы уравнений , таково: .

НИЛЬС ГЕНРИХ АБЕЛЬ
(1802-1829)

В Королевском парке в Осло стоит скульптура сказочного юноши, попирающего двух поверженных чудовищ: по цоколю идет надпись "ABEL".

Что же символизируют чудовища? Первое из них, несомненно – алгебраические уравнения 5-й степени. Еще в последних классах школы Абелю показалось, что он нашел формулу для их решения, подобную тем, которые существуют для уравнений степени, не превышающей четырех. Никто в провинциальной Норвегии не смог проверить доказательство. Абель сам нашел у себя ошибку, он уже знал, что не существует выражения для корней в радикалах. Тогда Абель не знал, что итальянский математик П. Руффини опубликовал доказательство этого утверждения, содержащее, однако, пробелы.

К тому времени Абель был уже студентом университета в Осло (тогда Христиании). Он был совершенно лишен средств к существованию, и первое время стипендию ему выплачивали профессора из собственных средств. Затем он получил государственную стипендию, которая позволила ему провести два года за границей. В Норвегии были люди, которые понимали, сколь одарен Абель, но не было таких, кто мог бы понять его работы. Будучи в Германии. Абель так и не решился посетить К. Гаусса.

Во Франции Абель с интересом собирает математические новости, пользуется каждой возможностью увидеть П. Лапласа или А. Лежандра, С. Пуассона или О. Коши, но серьезных научных контактов с великими математиками установить не удалось. Представленный в академию «Мемуар об одном очень общем классе трансцендентных функций» не был рассмотрен, рукопись Абеля была обнаружена через сто лет. (В скульптуре эту работу олицетворяло второе поверженное чудовище.) Речь шла о рассмотрении некоторого класса замечательных функций, получивших название эллиптических и сыгравших принципиальную роль в дальнейшем развитии математического анализа. Абель не знал, что 30 лет назад в этих вопросах далеко продвинулся Гаусс, но ничего не опубликовал.

В 1827 г. Абель возвращается на родину, и там выясняется, что для него нет работы. Он получает временную работу вместо профессора, уехавшего в длительную экспедицию в Сибирь. Долги становятся его вечным уделом, но работоспособность Абеля не уменьшается. Он продолжает развивать теорию эллиптических функций, близок к пониманию того, какие уравнения решаются в радикалах. Неожиданно появляется соперник К. Г. Якоби, который был на два года моложе Абеля. Якоби публикует замечательные результаты в области, которую Абель считал своей собственностью. И Абель работает еще интенсивнее и наконец сообщает: «Я нокаутировал Якоби».

К работам Абеля пришло признание, математики стали проявлять заботу о его судьбе. Французские академики-математики обращаются с посланием к шведскому королю, правившему Норвегией, с просьбой принять участие в судьбе Абеля. Тем временем у Абеля быстро прогрессирует туберкулез, и 6 апреля 1829 г. его не стало.

Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например . В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение , систему уравнений , и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

ЭВАРИСТ ГАЛУА
(1811-1832)

Он прожил двадцать лет, всего пять лет из них занимался математикой. Математические работы, обессмертившие его имя, занимают чуть более 60 страниц.

В 15 лет Галуа открыл для себя математику и с тех пор, по словам одного из преподавателей, «был одержим демоном математики». Юноша отличался страстностью, неукротимым темпераментом, что постоянно приводило его к конфликтам с окружающими, да и с самим собой.

Галуа не задержался на элементарной математике и мгновенно оказался на уровне современной науки. Ему было 17 лет, когда его учитель Ришар констатировал: «Галуа работает только в высших областях математики». Ему было неполных 18 лет, когда была опубликована его первая работа. И в те же годы Галуа два раза подряд не удается сдать экзамены в Политехническую школу, самое престижное учебное заведение того времени. В 1830 г. он был принят в привилегированную Высшую нормальную школу, готовившую преподавателей. За год учебы в этой школе Галуа написал несколько работ; одна из них, посвященная теории чисел, представляла исключительный интерес.

Бурные июльские дни 1830 г. застали Галуа в стенах Нормальной школы. Его все более захватывает новая страсть – политика. Галуа присоединяется к набиравшей силы республиканской партии - Обществу друзей народа, - недовольной политикой Луи-Филиппа. Возникает конфликт с директором школы, всеми силами противодействовавшим росту политических интересов у учащихся, и в январе 1831 г. Галуа исключают из школы. В январе 1831 г. Галуа передал в Парижскую академию наук рукопись своего исследования о решении уравнений в радикалах. Однако академия отвергла работу Галуа – слишком новы были изложенные там идеи. В это время Галуа находился в тюрьме. После освобождения уже в июле он вновь оказывается в тюрьме Сент-Пелажи после попытки организовать манифестацию 14 июля (в годовщину взятия Бастилии), на сей раз Галуа приговорен к 9 месяцам тюрьмы. За месяц до окончания срока заключения заболевшего Галуа переводят в больницу. В тюрьме он встретил свое двадцатилетие.

29 апреля он выходит на свободу, но ему было суждено прожить еще лишь только один месяц. 30 мая он был тяжело ранен на дуэли. На следующий день он умер. В день перед дуэлью Галуа написал своему другу Огюсту Шевалье письмо: «Публично обратись к Якоби или Гауссу с просьбой дать мнение не об истинности, а о значении тех теорем, развернутого доказательства которых я не даю, и тогда, надеюсь, кто-нибудь сочтет полезным разобраться во всей этой путанице». Работы Галуа содержали окончательное решение проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, то, что сегодня называется теорией Галуа и составляет одну из самых глубоких глав алгебры. Другое направление в его исследованиях связано с так называемыми абелевыми интегралами и сыграло важную роль в математическом анализе XIX в. Работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 г. Ж. Лиувиллем, а признание к ним пришло еще позже, когда с 70-х гг. понятие группы постепенно становится одним из основных математических объектов.

Некоторые геометрические задачи: удвоение куба, трисекция угла (см. Классические задачи древности), построение правильного семиугольника – приводят к решению кубических уравнений. По ходу решения требовалось отыскать точки пересечения конических сечений (эллипсов, парабол и гипербол). Пользуясь геометрическими методами, математики средневекового Востока исследовали решения кубических уравнений. Однако им не удалось вывести формулу для их решения. Первым крупным открытием западноевропейской математики была полученная в XVI в. формула для решения кубического уравнения. Поскольку в то время отрицательные числа еще не получили распространения, пришлось отдельно разбирать такие типы уравнений, как , и т. д. Итальянский математик С. дель-Ферро (1465-1526) решил уравнение и сообщил решение своему зятю и ученику А.-М. Фиоре, который вызвал на математический турнир замечательного математика-самоучку Н. Тарталью (1499- 1557). За несколько дней до турнира Тарталья нашел общий метод решения кубических уравнений и победил, быстро решив все предложенные ему 30 задач. Однако найденная Тартальей формула для решения уравнения

Создание алгебраической символики и обобщение понятия числа вплоть до комплексных чисел позволили в XVII-XVIII вв. исследовать общие свойства алгебраических уравнений высших степеней, а также общие свойства многочленов от одного и нескольких переменных.

Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебраистов усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля в конце XVIII – начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются ли его корни в радикалах. Еще до этого К.Ф. Гаусс решил проблему выражения в квадратных радикалах корней уравнения , к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного -угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, девятиугольник и т.д. – такое построение возможно лишь в случае, когда - простое число вида или произведение различных простых чисел такого вида.

Наряду с поисками формул для решения конкретных уравнений был исследован вопрос о существовании корней у любого алгебраического уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. Д"Аламбер доказал, что любое алгебраическое уравнение ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доказательстве Д"Аламбера были пропуски, восполненные потом Гауссом. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен -й степени от разлагается в произведение линейных множителей.

В настоящее время теория систем алгебраических уравнений превратилась в самостоятельную область математики, называемую алгебраической геометрией. В ней изучаются линии, поверхности и многообразия высших размерностей, задаваемые системами таких уравнений.

1. Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида

где старший коэффициент

Простейшие виды алгебраических уравнений - уравнения 1-й и 2-й степени и даже некоторые специальные виды уравнений 3-й степени - математики могли решать еще в древнем Вавилоне примерно 4000 лет тому назад. Правда, в те далекие времена ученые еще не знали современной математической символики и записывали и само уравнение и процесс его решения словами, а не формулами

2. Произвольное уравнение первой степени

всегда имеет, и притом единственное, решение

В школьном курсе алгебры доказывается следующая теорема о решении произвольного квадратного уравнения

Если число то уравнение имеет ровно два корня, которые даются формулой

Если , то корень только один:

Если же , то корней среди действительных чисел нет.

Математики всегда стараются избежать подобного разделения случаев - их число только увеличилось бы при переходе к уравнениям более высокой степени. Желательна была бы, конечно, формулйровка: «Уравнение второй степени имеет два корня». Ее можно достичь, если, с одной стороны, так расширить понятие числа, что было бы возможным извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, а с другой - считать некоторые корни «несколько раз» (ввести понятие кратного корня).

И то и другое можно аккуратно сделать.

3. Общее уравнение третьей степени имеет вид

Разделив обе части этого уравнения на старший коэффициент А - решения от этого, очевидно, не меняются - приходим к уравнению вида

Введением новой неизвестной величины можно избавиться от слагаемого, содержащего неизвестную во второй степени, т. е. привести уравнение к виду

называемому редуцированным уравнением третьей степени.

Сведения об истории открытия формулы корней кубического уравнения неполны и противоречивы. По-видимому, первым (около 1515 г.) нашел метод решения кубических уравнений профессор университета в Болонье С. Ферро (1465-1526). Независимо от него (около 1535 г.) этот метод открыл Н. Тарталья (1500-1557). Однако первым опубликовал формулу корней кубического уравнения Дж. Кардано (1501-1576) (его работа вышла в 1545 г.), и поэтому эта формула носит его имя. Отметим, что, возможно, Кардано был знаком с работами Тартальи и Ферро.

В современных обозначениях метод решения уравнения (1) состоит в следующем.

Введем две новые неизвестные ; положив имеем

Если неизвестные удовлетворяют системе

то они также удовлетворяют уравнению (2). Решить систему (3) очень просто. Возведем первое уравнение в куб и подставим вместо его выражение из второго уравнения; получим, что удовлетворяет квадратному уравнению

Следовательно,

и, наконец,

Это и есть формула Кардано для решения редуцирован ного кубического уравнения (1).

Сразу возникают вопросы:

1) Что делать, если выражение

2) Сколько корней имеет кубическое уравнение?

3) Дает ли формула Кардано (4) все решения уравнения (1)?

Вопросы эти взаимосвязаны. Легко, например, убедиться, что уравнение

имеет решения -5, 2, 3, а как раз в этом случае

так что квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл и три указанных корня этой формулой не выражаются.

Все говорит о том, что здесь еще больше, чем в случае квадратных уравнений, нельзя обойтись без бведения каких-то «новых чисел», для которых извлечение квадратного корня всегда возможно. Такие числа были постепенно введены на протяжении XVI-XIX вв. Они называются комплексными числами. В комплексных числах любое алгебраическое уравнение степени имеет ровно корней

Рассмотрим в качестве примера уравнение

Оно играет важную роль в теории и понадобится нам в дальнейшем.

В поле комплексных чисел это уравнение имеет различных решений, которые называются корнями степени из единицы:

Для записи решений кубического уравнения нужны корни 3-й степени из 1. В соответствии с формулами (6) это будут следующие комплексные числа:

Можно показать, что три корня редуцированного кубического уравнения есть

Здесь буквой обозначен - корень 3-й степени из как нетрудно видеть, равно Это и есть окончательные формулы Кардано.

4. В случае уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени нам известны формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения при помощи рациональных операций операции извлечения квадратного корня (в случае квадратного уравнения), операций извлечения квадратного и кубического корней (в случае кубического уравнения). Подобные же правила были указаны и для уравнений 4-й степени учеником Дж. Кардано итальянским алгебраистом Л. Феррари (1522-1565). В них также участвуют лишь рациональные операции и операции Все попытки на протяжении почти трех веков (XVI-XVIII) найти подобные правила для уравнений 5-й и более высоких степеней при помощи рациональных операций и операций не увенчались успехом.

Постепенно стали подозревать, что, возможно, вообще нельзя выразить корни уравнения степени для через коэффициенты лишь при помощи операций и у для произвольных натуральных , т. е. что нельзя свести решение таких уравнений рациональными операциями к последовательному решению уравнений специального вида . Корни уравнений , т. е. то, что обычно обозначают через , принято называть радикалами, и поэтому задачу о возможности сведения нахождения корней произвольного уравнения к нахождению уравнений вида принято называть задачей о выражении корней уравнения радикалами.

Попытки доказать или опровергнуть эту гипотезу особенно участились во второй половине XVIII столетия и привели в начале XIX столетия к доказательству невозможности решения общего уравнения 5-й и более высоких степеней в радикалах.

Среди работ XVIII столетия в отмеченном направлении ясностью мысли выделяется мемуар знаменитого французского математика Ж. Л. Лагранжа (1736-1813), озаглавленный «Рассуждения об алгебраическом решении уравнений» (1771-1772). В нем автор подробно и внимательно проанализировал известные методы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах, чтобы выяснить, как и почему в этих случаях такое решение удается. При этом он отметил следующее обстоятельство: во всех указанных случаях имеются некоторые функции от корней, которые удовлетворяют уравнениям более низкой степени и про которые уже известно, что они решаются в радикалах. Корни исходного уравнения, в свою очередь, могут быть найдены из этих промежуточных функций опять таки из уравнений, решаемых в радикалах.

Далее, Лагранж исследует вопрос, каким образом находятся подобные функции от корней в известных случаях. Оказалось, что это полиномы от корней которые при всевозможных перестановках корней - а их число, как известно, равно - принимают не а меньшее число значений, и даже меньшее, чем - степень исследуемого уравнения). Это произойдет тогда, когда не меняется при некоторых перестановках корней.

Вот каким образом перестановки появились в вопросе о решении уравнения в радикалах!

Если функция от корней принимает только k различных значений то коэффициенты многочлена

по одной известной уже давно, теореме - это так называемая основная теорема о симметрических функциях - должны рационально выражаться через коэффициенты исследуемого уравнения

4 Примеры. 1. Пусть - знакопеременная функция

от корней уравнения степени. Она принимает при всевозможных перестановках корней лишь два значения в зависимости от того, будет ли перестановка четной или нечетной. Следовательно, дискриминант уравнения не меняется при всевозможных перестановках и выражается рационально через коэффициенты исследуемого уравнения. Для квадратного уравнения

для редуцированного кубического уравнения

Знакопеременная функция от корней удовлетворяет уравнениям

соответственно. Мы узнаем выражения под квадратным корнем в формуле для решения квадратного уравнения и с точностью до постоянного множителя в формуле Кардано.

2. Другой пример появился в упоминавшейся выше работе Лагранжа. Это так называемые резольвенты Лагранжа. Мы их рассмотрим, как и сам Лагранж, для случая уравнения 3-й степени. При помощи кубических корней из 1

они определяются следующим образом:

Здесь корни исследуемого кубического уравнения. Обратим внимание на вторую и третью резольвенты. Как нетрудно видеть, при циклической перестановке корней они лишь умножаются на соответственно. Следовательно, выдерживают циклические перестановки и поэтому выражаются рационально через коэффициенты уравнения и через А. Соответствующие представления можно подсчитать. Извлечением кубического корня можно получить . По теореме Виета - это коэффициент при с обратным знаком, т. е. в случае редуцированного кубического уравнения . Зная из системы линейных уравнений (7), можно получить Если осуществить указанные вычисления, то можно убедиться, что вычисляются по формулам Кардано.

Аналогично, только технически более сложно, можно получить решение в радикалах уравнения 4-й степени. Что же касается уравнения 5-й степени, то аналогичное сведение к уравнениям низших степеней получить не удалось. Однако Лагранж не исключал его возможности.

Что такое понижение принципиально неосуществимо, показал в 1799 г. в работе «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени» итальянский математик П. Руффини (1765-1822). Однако в его доказательстве содержались пробелы, которые, ему не удалось устранить. Аккуратное доказательство было дано лишь в 1826 г. в работе норвежского математика Н. Г. Абеля (1802-1829) «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую».

Глубокую причину несуществования функций от корней, удовлетворяющих уравнениям более низкой степени, чем рассматриваемое (исключение составляет всегда знакопеременная функция, удовлетворяющая квадратному уравнению) вскрыл гениальный французский математик Эварист Галуа (1811-1832). Галуа сопоставил каждому уравнению группу тех перестановок его корней, которые не меняют значения всех полиномов от корней с коэффициентами, зависящими рационально от коэффициентов заданного уравнения. Эту группу называют теперь группой Галуа рассматриваемого уравнения.

Понятие группы Галуа уравнения можно ввести следующим образом. Пусть - алгебраическое уравнение некоторой степени (левая часть этого уравнения) - полином степени .

Коэффициенты полинома - числа должны принадлежать одновременно какому-либо числовому полю - непустому множеству чисел, замкнутому относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от 0. Числовым полем является, например, множество Q всех рациональных чисел. Поскольку необходимые понятия вводятся для всех числовых полей единообразно, достаточно рассмотреть лишь одно из них. Поэтому мы будем считать, что коэффициенты многочлена - рациональные числа. Кроме того, можно предполагать (это доказывается в курсах алгебры), что Все корни многочлена - различны, т. е. уравнение имеет различных, вообще говоря, комплексных корней

Рациональным отношением между корнями называется всякое равенство вида

где - знак суммирования, сумма, стоящая в левой части этого равенства, берется по каким-то наборам показателей , а все коэффициенты - рациональные числа. Иными словами, в левой части рационального отношения (8) стоит некоторый многочлен от с рациональными коэффициентами. Множество всех рациональных отношений между корнями уравнения зависит только от многочлена . Понятно, что почленная сумма и почленное произведение рациональных отношений между корнями некоторого многочлена тоже будут рациональными отношениями между его корнями. Поскольку пример ненулевого рационального отношения легко указать для любого уравнения , отсюда получаем, что произвольному уравнению соответствует бесконечное множество рациональных отношений между его корнями.

Пусть теперь

Некоторая перестановка на множестве корней уравнения . Подействуем этой перестановкой на левую часть выражения (8). Каждый одночлен под действием перестановки преобразуется в одночлен (коэффициенты при всех одночленах остаются неизменными).

Левая часть соотношения (8) преобразуется в следующее выражение:

Это число может оказаться отличным от нуля. Все перестановки из симметрической группы на множестве корней уравнения можно разделить на две части - те, что сохраняют рациональное отношение (8), и те, что нарушают его. Если перестановки сохраняют рациональное отношение (8), то очевидно, что их произведение и обратная перестановка к каждой из них также будут преобразовывать это равенство в верхнее соотношение. такого же вида. Иными словами, множество всевозможных перестановок, сохраняющих соотношение (8) (поскольку оно не пустое!), образует группу. Эта группа и называется группой Галуа уравнения

По свойствам этой группы Галуа можно определить, будет ли данное уравнение разрешимо в радикалах или нет. Полученный признак содержит в виде частых случаев все ранее известные сведения о разрешимости или неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

Но не исключается, что некоторые уравнения с числовыми коэффициентами разрешимы в радикалах. Возможно это или нет, устанавливается опять-таки на основании признака, найденного Галуа.

Исследование свойств групп Галуа выходит за рамки нашего изложения. Отметим только, что если группа Галуа данного уравнения является абелевой, то уравнение разрешимо в радикалах. Разрешимыми в радикалах будут уравнения, группа Галуа которых является одной из групп диэдра, группой симметрий тетраэдра и куба. Это примеры так называемых разрешимых групп, т. е. групп Галуа уравнений, разрешимых в радикалах. Наиболее «маленьким» примером неразрешимой группы является знакопеременная группа состоящая из 60 перестановок; неразрешимой является также и содержащая ее группа Можно сказать, что в неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах «виновны» именно эти группы: среди уравнений 5-й степени имеются такие, группа Галуа которых совпадает с или Примером такого уравнения является

Поскольку группа Галуа уравнения является столь важной его характеристикой, возникает вопрос, как же строить эту группу по уравнению? Оказывается, что нет необходимости проверять, выдерживают ли все рациональные отношения от корней уравнения данную перестановку его корней. Достаточно ограничиться такой проверкой для конечной и вполне обозримой части этих отношений. С доказательством последнего и других упомянутых здесь утверждений можно познакомиться по одной из книг, посвященных изложению теории Галуа и указанных в списке литературы.

Упражнения

1. Используя дискриминант D кубического уравнения, невозможно установить, все корни этого уравнения совпадают, - или же совпадают лишь два из них. Приведите пример выражения; составленного из корней данного уравнения, которое позволяло бы это делать.

5. Привести примеры числовых полей, отличных от поля рациональных чисел Q. Проверить, что всевозможные числа вида

образуют числовое поле.

6. Доказать, что если квадратный корень из дискриминанта многочлена является рациональным числом, то группа Галуа этого многочлена целиком состоит из четных перестановок.

Материал из Юнциклопедии

Алгебраические уравнения - уравнения вида P(x 1 , ..., x n) = O, где P - многочлен от переменных x 1 , ..., x n . Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел (a 1 , ..., a n) удовлетворяет этому уравнению, если при замене x 1 на a 1 , x 2 на a 2 и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению x 2 + y 2 = z 2 , поскольку 3 2 + 4 2 = 5 2). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена P называется степенью уравнения P(x 1 , ..., x n) = 0. Например, Зx - 5у + z = c - уравнение первой степени, x 2 + y 2 = z 2 - второй степени, а x 4 - Зx 3 + 1 = 0 - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет конечное число корней, а множество решений алгебраического уравнения с большим числом неизвестных может представлять собой бесконечное множество определенных наборов чисел. Поэтому обычно рассматривают не отдельные алгебраические уравнения с n неизвестными, а системы уравнений и ищут наборы чисел, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям данной системы. Совокупность всех этих наборов образует множество решений системы. Например, множество решений системы уравнений x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 таково: {(3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)}.

Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например x 3 + x = a. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение x 4 - y 4 + z 4 = n 2 , систему уравнений y 3 + x 2 = u 2 , z 2 + x 2 = v 3 и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

Некоторые геометрические задачи: удвоение куба, трисекция угла (см. Классические задачи древности), построение правильного семиугольника - приводят к решению кубических уравнений. По ходу решения требовалось отыскать точки пересечения конических сечений (эллипсов, парабол и гипербол). Пользуясь геометрическими методами, математики средневекового Востока исследовали решения кубических уравнений. Однако им не удалось вывести формулу для их решения. Первым крупным открытием западноевропейской математики была полученная в XVI в. формула для решения кубического уравнения. Поскольку в то время отрицательные числа еще не получили распространения, пришлось отдельно разбирать такие типы уравнений, как x 3 + px = q, x 3 + q = px и т. д. Итальянский математик С. дель Ферро (1465-1526) решил уравнение x 3 + px = q и сообщил решение своему зятю и ученику А. М. Фиоре, который вызвал на математический турнир замечательного математика-самоучку Н. Тарталью (1499-1557). За несколько дней до турнира Тарталья нашел общий метод решения кубических уравнений и победил, быстро решив все предложенные ему 30 задач. Однако найденная Тартальей формула для решения уравнения x 3 + px + q = 0

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебраистов усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля в конце XVIII - начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются ли его корни в радикалах. Еще до этого К. Ф. Гаусс решил проблему выражения в квадратных радикалах корней уравнения x n - 1 = 0, к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного n-угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, девятиугольник и т.д. - такое построение возможно лишь в случае, когда n - простое число вида 2 2k + 1 или произведение различных простых чисел такого вида.

Наряду с поисками формул для решения конкретных уравнений был исследован вопрос о существовании корней у любого алгебраического уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. Д"Аламбер доказал, что любое алгебраическое уравнение ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доказательстве Д"Аламбера были пропуски, восполненные потом Гауссом. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен n-й степени от x разлагается в произведение n линейных множителей.

Транскрипт

1 Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0, коэффициентами уравнения (), порядком (или степенью) уравнения. Определение. Число называется решением (или корнем) уравнения (), если при подстановке числа в уравнение 0 P вместо получается верное равенство 0 P. В зависимости от коэффициентов уравнение () может иметь единственный действительный корень, несколько корней, или не иметь действительных корней. Решить уравнение значит найти все его корни (в школьном курсе рассматриваются только действительные решения) или доказать, что уравнение не имеет решений. и Будем рассматривать уравнение () при. Для (кубическое уравнение) имеются формулы корней уравнения 0 P в радикалах, известные под именем формул Кордано. При уравнение () неразрешимо в радикалах, т.е. решение уравнения 0 P при нельзя выразить через его коэффициенты 0, с помощью конечного числа арифметических операций (операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения арифметического корня). Доказательство этого утверждения впервые было получено норвежским математиком Абелем в 6 году. В отдельных случаях решение алгебраических уравнений высших степеней, в том числе третьей и четвертой, удается найти достаточно просто. Такая возможность полностью определяется коэффициентами, 0, многочлена P. Следствие из теоремы Безу. Если является корнем многочлена (P 0), то многочлен P делится на двучлен без остатка, т.е. существует многочлен такой, что P F F. P

2 «уголком». Уравнение () в этом случае равносильно совокупности уравнений Деление одного многочлена Уравнение 0, F 0. P на другой Q m, m, можно производить P степени может иметь не более действительных корней с учетом кратности. При этом уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Если действительные числа..., является корнями уравнения 0 то имеет место тождество P, Для уравнений высших степеней () справедлива теорема Виета, которую сформулируем в случае и. Если действительные числа, и являются корнями кубического уравнения 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d d, c, b. Если действительные числа, и являются корнями уравнения четвертой степени 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d e Если рациональное число 0 e, d, b. p, где p q q c, несократимая дробь, является корнем уравнения с целыми коэффициентами, то p должно быть делителем свободного члена

3 , а q делителем коэффициента 0 при старшей степени. В частности, целые корни 0 p приведенного уравнения 0 с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Это утверждение следует из последнего равенства в (.7) Если сумма всех коэффициентов уравнения 0 имеет корень. P равна нулю, то уравнение Например, сумма коэффициентов уравнения равна нулю, поэтому оно имеет корень. Если в уравнении сумма коэффициентов при нечетных степенях равна сумме свободного члена и коэффициентов при четных степенях, то уравнение имеет корень. Например, в уравнении имеем 6 7, поэтому корень данного уравнения. Рассмотрим отдельные классы алгебраических уравнений высших степеней и изучим методы их решения. Биквадратные уравнения. Определение. Биквадратным называется уравнение вида где 0. b c 0, () Для решения этого уравнения используется замена переменных y, где y 0. При этом получается квадратное уравнение y by c 0. Так как уравнение () является уравнением четвертой степени, то оно имеет не более четырех действительных корней. Если y и y - его решения, то исходное биквадратное уравнение будет равносильно совокупности: Метод подбора корня (корней). 0 y y. Если приведенное алгебраическое уравнение () с целыми коэффициентами имеет целые корни, то их нужно искать среди делителей свободного члена

4 уравнения (). Рациональные корни p 0 уравнения () с целыми коэффициентами q p следует искать среди чисел таких, что p является делителем свободного члена, q а q - делителем коэффициента 0 при старшей степени в уравнении (). Эти свойства лежат в основе метода подбора корней алгебраического уравнения. Пример. Решить уравнение 0. Решение. Данное уравнение является приведенным и имеет целые коэффициенты. Поэтому целые корни данного уравнения (если они есть) содержатся среди делителей свободного члена:,. Легко убедиться, что являет- ся корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни разделим многочлен на двучлен «уголком»: 0. Для уравнения 0 вновь подбором найдем корень, а затем разделим многочлен на двучлен: 0, Уравнение 0 действительных корней не имеет. Таким образом ис-

5 ходное уравнение -й степени имеет два действительных корня. Ответ.,. Метод замены переменных. Если при замене переменных исходное уравнение упрощается (например, понижается его степень), то смело вводим новую переменную. Пример. Решить уравнение. Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение 6 0, которое решать весьма сложно. Хотя оно и является уравнением с целыми коэффициентами, но целых корней как увидим ниже, оно не имеет. Поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную y и решим квадратное уравнение y y. Его корни: y и y. Соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений. Решим полученные квадратные уравнения.,. 0, D 0,. или 0, D 7 0, решений нет. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет два корня и. Ответ.,. Пример. Найти наибольший отрицательный корень уравнения 0. Решение. Подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом: домножим (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения

6 Заметим, что, и введем новую переменную y. В результате получим уравнение y y y 6 0, равносильное исходному. Подбором найдем его корни y, y и y, которым будут соответствовать корни исходного уравнения, и. Наибольшим отрицательным корнем является. Ответ. Наибольший отрицательный корень. Можно ввести еще одну переменную и рассмотреть квадратное уравнение относительно одной из полученных («старой» или «новой») переменных. Пример. Найти наименьший корень уравнения 6 0. Решение. Преобразуем исходное уравнение следующим образом: Введем новую переменную y 6 и получим уравнение 6 y y 0. Решим полученное уравнение как квадратное относительно y. y или y. D 6 y y 0, y, Вернемся к переменной, получим два квадратных уравнения.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9, Получили решения исходного уравнения. Выберем наименьшее из них. Так как 0 0, то 9., поэтому наименьшее решение. 9 0 Ответ. Наименьшее решение.. Возвратные уравнения Определение. Возвратным или симметричным называются уравнения вида 0 0, для которых равны коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, то есть при k 0,. k k Например, является возвратным, так как 0, 9, 6. Для возвратных уравнений верны следующие утверждения. Возвратное уравнение нечетной степени всегда имеет корень и после деления на двучлен приводится к возвратному уравнению четной степени. Возвратное уравнение четной степени может быть сведено к уравнению вдвое меньшей степени с помощью введения переменной y. Проиллюстрируем данные утверждения на примерах. Пример. Решить уравнение Решение. Нетрудно заметить, что данное уравнение является возвратным нечетной степени и, следовательно, имеет корень. Разделим многочлен на двучлен:

8 Остается решить возвратное уравнение -й степени Так как 0 не является корнем данного уравнения, то можно разделить обе части данного уравнения на Сделаем замену переменных т.е. y.. Получим y. Тогда y, Получим уравнение y 0y 6 0 (степень уравнения понизилась вдвое!) Решим квадратное уравнение y 0y 0. По теореме Виета числа y и y 6 являются его корнями. Имеем далее

9 0, 6 0, D 0, 6 0, 9,. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет корней:, и. Ответ., и. D Использование монотонности функций и других специальных приемов Для решения нестандартных алгебраических уравнений приходится привлекать различные приемы преобразование уравнения к равносильной форме, введение новых переменных, исследование функции Решение уравнений вида g f в составе уравнения 0 f и т.д. f иногда удобно строить на использовании свойства монотонности функций. В основе этого приема лежит следующая теорема. Теорема. Пусть уравнение f g определено на множестве X R ; функция f является монотонно возрастающей (убывающей) на X, а g монотонно убывающей (возрастающей). Если и E f, E g области значений f g на множестве X и E f Eg, то существует единственная точка 0 X такая, что g f, т.е. уравнение 0 0 f g имеет единственное решение. Данная теорема справедлива для любых уравнений вида g для алгебраических. Пример 6. Решить уравнение 96 E f. y f Eg 0 X g f, а не только Решение. Степенная функция y, N, определена на всей числовой прямой и является строго возрастающей функцией на R. Поэтому левая часть данного

10 уравнения f является строго возрастающей функцией на R как сумма двух строго возрастающих функций. Правая часть 96 g является тождественно постоянной. Поэтому в соответствии с теоремой.6 уравнение имеет единственное решение. Нетрудно видеть, что им является. Ответ.. Пример 7. Решить уравнение. Решение Y. Но Y для любого R и потому уравнение 0 Y, а значит и исходное (.), не имеет решения. Ответ.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Тема 5 Рациональные системы уравнений F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Система уравнений вида где... Fk (x, x,...,) 0, F i(x, x,...,), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Глава 7 Квадратные уравнения Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. На самом деле вавилонский метод дает решение системы + y =, представляющей собой запись задачи нахождения y = q, сторон

Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство (4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ Оглавление АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ алгебраических уравнений выше второй степени Многочлены и их корни Деление многочленов Схема деления углом

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то () < (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () > (). Например, () = > = = (), так

Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленное изучение) составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта, программой по алгебре

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Календарно-тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности урока Дата Раздел Тема урока Характеристика основных видов деятельности обучающихся 1 полугодие 65 уроков; 1 четверть

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется

Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Приложение к «Основной образовательной программе основного общего образования МБОУ СОШ 5» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Программа: Программы. Математика. 5-6 классы.

2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Пояснительная записка Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 0- классов составлена на основе примерной рабочей программы учителя

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса 1. Повторение материала 7 класса (6 часов). Алгебраические

Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа (M N) d () p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Глава I Алгебраические дроби 18 Глава II Квадратная функция. Функция. 14 Глава III Функция у = х. Свойства квадратного корня 12 Глава IV Квадратные уравнения 22 Глава V Действительные числа 11 Глава VI

Алгебраические уравнения. Определение

Пусть функции f(x) и ц(x) определены на некотором множестве A. И пусть необходимо найти множество X, на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения x, для которых выполняется равенство: f(x)= ц(x).

При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным x.

Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем .

Алгебраические уравнения содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-ой степени с действительными коэффициентами:

Например,

Множество A называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.

Множество X называется множеством решений, а всякое его решение x=a - корнем данного уравнения. Решить уравнение - значит найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Методы решения алгебраических уравнений

Во многих научных и инженерных задачах требуется решить уравнение вида

где f (x) - заданная непрерывная нелинейная функция.

Аналитически удается найти решение только для простейших уравнений. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида (1) численными методами.

Численное решение уравнения (1) обычно проводится в два этапа. На первом этапе нужно найти такие интервалы изменения переменной x, где расположен только один корень. Эта задача обычно решается графически. На втором этапе проводится уточнение отдельных корней. Для этого используются различные методы.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде формулы. Однако встречающиеся на практике уравнения не всегда удаётся решить простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.

Прямые методы - решение находится за ранее известное число арифметических действий, решение строгое. Примеры: метод Гаусса, метод квадратного корня, правило Крамера и т. д.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений, в которых нельзя предсказать число арифметических действий, которое потребуется для решения уравнения (системы) с заданной точностью . Примеры: метод простых итераций, метод Гаусса-Зейделя, метод деления отрезка пополам и т.д.

В данной работе изучаются и сравниваются метод простых итераций и метод половинного деления отрезка.