Ких-фильтры. Методы синтеза
КИХ-фильтр (фильтр с конечной импульсной характеристикой), называемый также нерекурсивным, - это фильтр, импульсный отклик которого содержит лишь конечное число ненулевых отсчетов. Такой импульсный отклик всегда абсолютно суммируем, и, следовательно, КИХ-фильтры всегда устойчивы. КИХ-фильтры имеют также то преимущество, что их работу легче понять как в одномерном, так и в многомерном случае.
БИХ-фильтр (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой), или рекурсивный, - это фильтр, входной и выходной сигналы которого удовлетворяют многомерному разностному уравнению конечного порядка. Такие фильтры могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, однако во многих случаях они оказываются проще в реализации, чем эквивалентные КИХ-фильтры. Синтез двумерного рекурсивного фильтра радикально отличается от синтеза одномерного фильтра. Отчасти это связано с возрастанием сложности обеспечения устойчивости. Разностные уравнения и БИХ-фильтры составляют предмет гл. 4 и 5.
Одно из важнейших преимуществ КИХ-фильтров перед БИХ-фильтрами заключается в возможности синтеза и практической реализации КИХ-фильтров с чисто вещественными частотными откликами. Такие фильтры называются фильтрами с нулевой фазой. В частотной области условие нулевой фазы можно выразить следующим образом:
Выполнив обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (3.1), для импульсного отклика фильтра с нулевой фазой получим требование симметрии в пространственной области
. (3.2)
Очевидно, что КИХ-фильтр может удовлетворять этому условию, если центр его опорной области совпадает с началом координат.
Фильтры с нулевой фазой важны для многих приложений цифровой обработки многомерных сигналов. Например, при обработке изображений фильтры с ненулевой фазой могут привести к разрушению линий и границ. Чтобы понять, почему это так, вспомним из нашего обсуждения преобразований Фурье, что любой сигнал можно представить в виде суперпозиции комплексных синусоид. Линейный инвариантный к сдвигу фильтр с нетривиальным частотным откликом будет избирательно усиливать или ослаблять некоторые из этих синусоидальных компонент, а также задерживать некоторые компоненты по отношению к другим. На любой частоте величина задержки зависит от значения фазового отклика. Нелинейный (разовый отклик приводит, таким образом, к рассеянию строго согласованных синусоидальных компонент сигнала, составляющих контрастные точки, линии и границы.
Фильтр с нулевой фазой имеет и другие преимущества. В силу вещественности его частотного отклика упрощается синтез фильтра. К тому же симметрию импульсного отклика фильтра можно использовать при его реализации для уменьшения требуемого числа умножений.
Материал из Модулярная арифметики
Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр , КИХ-фильтр ) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response - конечная импульсная характеристика) - один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа.
Динамические характеристики
Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра: где - порядок фильтра, - входной сигнал, - выходной сигнал, а - коэффициенты фильтра. Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений предыдущих отсчетов. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после -отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, как уже было сказано, поэтому все члены после -го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:
Для того, чтобы найти ядро фильтра положим
где - дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:
Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:
Свойства
КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:
- КИХ-фильтры устойчивы.
- КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
- Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной
Прямая форма КИХ фильтра
КИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке, есть прямая реализация КИХ-фильтров типа 1.
Пример программ
Построение КИХ-фильтров
Построение КИХ-фильтров заключается в выборе коэффициентов фильтра таким образом, чтобы полученная система имела требуемые характеристики. Чаще всего фильтр строят по заданной амплитудно-частотной характеристике. Существуют разные методы построения КИХ-фильтров:
Программные пакеты такие как MATLAB, GNU Octave, Scilab, и SciPy реализуют описанные выше методы.
Некоторые спецификации на фильтр представляют собой форму входного сигнала во временной области, которую фильтр должен "распознавать". Оптимальный согласованный фильтр для выделения сигнала любой формы из белого шума получается путём дискретизации требуемой формы сигнала и использования полученных коэффициентов в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра - импульсная характеристика полученного фильтра является зеркальным отражением по времени требуемой формы входного сигнала.
Построение методом окна
В данном методе сначала строится идеальный БИХ-фильтр, затем к нему применяется Функция окна – во временной области, умножением бесконечной импульсной характеристики на функцию окна. Затем выполняется свёртка полученного результата с откликом на функцию окна. Если идеальная АЧХ достаточно проста, например, как прямоугольный отклик, результат свёртки можно сравнительно легко определить. На самом деле обычно сначала определяют требуемый результат и решают обратную задачу определения подходящей функции окна. Для этого метода особенно хорошо подходят окна Кайзера.
Пример КИХ-фильтра
Примером простого КИХ-фильтра может служить скользящее среднее, используемое для обработки сигналов и изображений, системах автоматического управления и для других прикладных целей. Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящее среднее, является уравнением КИХ-фильтра. Пусть - входной сигнал фильтра, - выходной сигнал. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:
Отличительной особенностью скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов .
Класс последовательностей конечной длины (КИХ-последовательности) обладает некоторыми свойствами, желательными с точки зрения построения фильтров. Например, никогда не возникает вопрос об устойчивости и физической реализуемости фильтров, поскольку КИХ-последовательности гарантируют устойчивость. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой.
Существуют три основных метода синтеза КИХ-фильтров:
метод взвешивания (метод «окна»);
метод частотной выборки;
метод оптимальных фильтров.
Свойства КИХ-фильтров
Имеется много причин, побуждающих к изучению способов проектирования КИХ-фильтров. Основными достоинствами этих фильтров являются:
1. Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой характеристикой (постоянной групповой задержкой). Во многих случаях, когда проектируется фильтр с произвольной амплитудной характеристикой, это упрощает задачу аппроксимации.
2. КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, т.е. с помощью свертки, всегда устойчивы.
3. При нерекурсивной реализации КИХ-фильтров шумы округления, возникающие за счет выполнения арифметических операций с конечной точностью, легко минимизировать.
4. КИХ-фильтры можно эффективно реализовывать при помощи методов быстрой свертки, основанных на применении алгоритма БПФ.
Недостатки КИХ-фильтров следующие:
1. Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов N . Следовательно, возрастает объем вычислительных операций.
2. Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.
Характеристики КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой
Пусть {h(n) } – физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале. Ееz-преобразование равно
. (3.1)
Преобразование Фурье от {h(n) }
(3.2)
является
периодическим по частоте с периодом
,
т.е.
Рассматривая
только действительные последовательности
{h(n)
}, получим дополнительные
ограничения на функцию
,
представив ее через амплитуду и фазу:
. (3.4)
Потребуем
при расчете КИХ-фильтров строго линейной
фазовой характеристики, и рассмотрим,
при каких условиях импульсная
характеристика фильтра h(n)
будет это обеспечивать. Требование
линейности фазовой характеристики
имеет вид
где
- постоянная фазовая задержка, выраженная
через число интервалов дискретизации.
Используя (3.4) и (3.5) соотношение (3.2)
переписывается в виде:
. (3.6)
Приравнивая действительные и мнимые части, и деля друг на друга правые и левые части полученных равенств, можно получить уравнение, решением которого будут следующие значения:
, (3.7)
Смысл
их заключается в следующем. Условие
(3.7) означает, что для каждого N
существует только одна фазовая задержка
,
при которой может достигаться строгая
линейность фазовой характеристики
фильтра. Из условия (3.8) следует, что при
заданном
,
удовлетворяющем условию (3.7), импульсная
характеристика должна обладать
симметрией.
Рассмотрим использование условий (3.7) и (3.8) для случаев четного и нечетногоN . ЕслиN - нечетно, то задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой для случаяN =11 приведена на рис. 3.1. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой при четномN показана на рис. 3.2. ЗдесьN =10.
Рис.3.1 . N – нечетно.
Рис.3.2. N – четно.
Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания
Как было сказано ранее, частотную характеристику любого цифрового фильтра можно представить рядом Фурье:
, (3.9)
. (3.10)
Видно,
что коэффициенты Фурье совпадают с
коэффициентами импульсной характеристики
цифрового фильтра. Использование этих
соотношений для проектирования
КИХ-фильтра связано с двумя трудностями.
Во-первых, импульсная характеристика
фильтра имеет бесконечную длину,
поскольку суммирование в (3.9) производится
в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр
физически нереализуем, так как импульсная
характеристика начинается в
,
т.е. никакая конечная задержка не сделает
фильтр физически реализуемым.
Один
из возможных методов получения
КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную
функцию
,
заключается в усечении бесконечного
ряда Фурье (3.9) за
.
Однако простое усечение ряда приводит
к явлению Гиббса, которое проявляется
в виде выбросов и пульсаций до и после
точек разрыва в аппроксимируемой
частотной характеристики. Причем,
максимальная амплитуда пульсаций
частотной характеристики не уменьшается
с увеличением длины импульсной
характеристики, т.е. учет все большего
числа членов ряда Фурье не приводит к
уменьшению максимальной амплитуды
пульсаций. Вместо этого уменьшается
ширина выброса. Поэтому простое усечение
ряда Фурье (3.9) не приводит к приемлемой
аппроксимации идеального фильтра нижних
частот (к чему необходимо стремиться).
Этот метод непригоден для проектирования
КИХ-фильтров.
Лучшие
результаты дает метод, основанный на
использовании весовой последовательности
конечной длины w(n)
,
называемой окном, для модификации
коэффициентов Фурье в формуле (3.9) с тем,
чтобы управлять сходимостью ряда Фурье.
Для большинства приемлемых окон
преобразование Фурье 
последовательностиw(n)
имеет главный лепесток, содержащий
почти всю энергию окна, и боковые
лепестки, которые обычно быстро затухают.
Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции
,
формируется последовательность
,
равная нулю за пределами интервала
.
Поскольку результирующая характеристика
фильтра равна свертке идеальной частотной
характеристики и частотной характеристика
окна, то ширина переходных полос зависит
от ширины главного лепестка функции
.
Кроме того, на всех частотах
возникают ошибки аппроксимации, имеющие
вид пульсаций частотной характеристики,
которые обусловлены боковыми лепестками
функции
.
Из приведенного выше следует, что оптимальное окно должно иметь во-первых, минимальную ширину главного лепестка частотной характеристики, во-вторых, минимальную площадь под боковыми лепестками. К сожалению, эти два требования несовместимы и необходим компромиссный вариант.
Прямоугольное окно
N -точечное прямоугольное окно, соответствующее простому усечению ряда Фурье, описывается весовой функцией
(3.11)
Частотная характеристика прямоугольного окна описывается соотношением
. (3.12)
Ее график представлен на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Частотная характеристика прямоугольного окна (N =25).
«Обобщенное» окно Хэмминга
Обобщенное окно Хэмминга имеет вид
(3.13)
причем
.
Случай
соответствует
окну Ханна (hanning), случай
-
окну Хэмминга. Частотную характеристику
этого окна можно выразить через частотную
характеристику прямоугольного окна
(рис. 3.4):
Рис.3.4.
Частотная характеристика окна Хэмминга
.
Окно Кайзера
Задача расчета хороших окон фактически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций, преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот. Одним из решений такой задачи является окно Кайзера:
где
-
константа, определяющая компромисс
между максимальным уровнем боковых
лепестков и шириной главного лепестка
частотной характеристики окна, а
- функция Бесселя нулевого порядка. Окно
Кайзера является по существу оптимальным
окном в том смысле, что оно представляет
последовательность конечной длины,
которая имеет минимум энергии спектра
за пределами некоторой заданной частоты.
Прочие окна
Существует еще много различных окон. Вот некоторые из них.
Окно Блэкмана:
Окно Фейера (треугольное окно):
Окно Ланцоша:
, (3.18)
где L – положительное целое число.
Последние два окна основываются на методах суммирования рядов Фурье для ускорения их сходимости. Так же существуют окна, полученные согласно некоторым критериям оптимальности (окна Долфи-Чебышева, окно Каппелини, и т.д.).
Особенности использования метода взвешивания
Метод взвешивания весьма удобен для проектирования КИХ-фильтров, однако он обладает некоторыми особенностями, которые могут препятствовать применению окон. Прежде всего необходимо иметь выражения для коэффициентов ряда Фурье:
. (3.19)
Когда
характеристика
имеет сложный вид или не может быть
просто преобразована в математическое
выражение, формула (3.19) может оказаться
громоздкой и неудобной для интегрирования.
Еще одна особенность метода взвешивания заключается в отсутствии достаточной гибкости при проектировании фильтров. Например, при расчете ФНЧ обычно трудно определить граничную частоту полосы пропускания, поскольку окно «размывает» разрыв идеальной характеристики.
Вышеупомянутые ограничения метода взвешивания не препятствуют его широкому применению.
Чтобы определить невзвешенные коэффициенты Фурье в том случае, когда аналитическое выражение для h(n) громоздко или неудобно для интегрирования, интеграл можно аппроксимировать суммой по следующей формуле
. (3.20)
Ясно,
что значения (3.20) можно эффективно
вычислять с помощью M
-точечного
ОДПФ последовательности
.
Поскольку формула (3.20) является дискретным
аналогом формулы (3.19), легко показать,
что ростомM
различие
междуh(n)
и
уменьшается.
Расчет КИХ-фильтров методом частотной выборки
КИХ-фильтр может быть однозначно задан коэффициентами импульсной характеристики {h(n) }, так и коэффициентами ДПФ частотной характеристики{H(k) }.Обе последовательности связаны соотношениями:
ДПФ, (3.21)
ОДПФ. (3.22)
Из формулы (3.22) сразу вытекает прямой способ получения импульсной характеристики фильтра. Такой фильтр имеет частотную характеристику, значения которой равны H(k) вN равноотстоящих на оси частот точках.
К сожалению, эта прямая процедура не представляет практического интереса, так как невозможно предсказать поведение частотной характеристики между частотными выборками.
Для того, чтобы получить фильтры с
линейной фазой, частотные выборки должны
быть симметричными по амплитуде и иметь
линейную антисимметричную фазу в
интервале
.
Учитывая то, что будет использоваться
ОДПФ, удобнее выразить условия симметрии
на интервале
.
Ели частотные выборки записаны в виде
,
то условия симметрии при нечетномN
можно записать в виде
(3.23)
Для улучшения качества аппроксимации часть частотных отсчетов имеет смысл сделать независимыми переменными. Значения этих независимых переменных обычно рассчитывают методами оптимизации, таким образом, чтобы минимизировать некоторую простую функцию ошибки аппроксимации.
Можно сформулировать основную идею метода частотной выборки. Искомую частотную характеристику можно аппроксимировать ее отсчетами, взятыми в N равноотстоящих точках, а затем путем интерполяции получить результирующую частотную характеристику, которая будет проходить через исходные отсчеты. Ошибка интерполяции для фильтров с достаточно гладкими частотными характеристиками обычно имеет небольшую величину. В случае селективных фильтров частотные отсчеты в переходных полосах остаются незаданными переменными, значения которых подбираются с помощью алгоритма оптимизации. Для выполнения необходимой минимизации можно использовать простые методы линейного программирования.
Проектирование оптимальных фильтров
Смысл слова оптимальный заключается в следующем: оптимальными являются те фильтры, для которых максимальная ошибка в полосе пропускания и (или) в полосе задерживания минимальна по сравнению с любыми другими фильтрами, которые можно получить, изменяя значения n выборок в переходной полосе.
Рассмотрим подход к расчету КИХ-фильтров при котором минимизируется максимальная ошибка аппроксимации.
Пусть
- заданная (желаемая) частотная
характеристика,
- аппроксимирующая функция,
- положительная весовая функция,
позволяющая определять ошибки для
различных интервалов. Тогда взвешенная
ошибка аппроксимации
по определению равна
Задачу
чебышевской аппроксимации можно
сформулировать как задачу поиска
(а точнее коэффициентов, через которые
можно выразить
),
которая минимизирует максимум модуля
ошибки
в тех частотных полосах, где выполняется
аппроксимация:
где A – совокупность всех интересующих частотных полос.
КИХ-фильтр
Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр , КИХ-фильтр , FIR-фильтр ) - один из видов линейных электронных фильтров , характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи . Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа.
Динамические характеристики
Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра: где P - порядок фильтра, x (n ) - входной сигнал, y (n ) - выходной сигнал, а b i - коэффициенты фильтра. Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений P предыдущих отсчетов. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов P предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после P -отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, как уже было сказано, поэтому все члены после P -го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:
x
(n
) = δ(n
)
где δ(n ) - дельта-функция . Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "КИХ-фильтр" в других словарях:
- (Нерекурсивный фильтр, КИХ фильтр) или FIR фильтр (FIR сокр. от finite impulse response конечная импульсная характеристика) один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени … Википедия
Линейные электронные фильтры Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышева Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора … Википедия
- (Рекурсивный фильтр, БИХ фильтр) или IIR фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response бесконечная импульсная характеристика) линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть… … Википедия
Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр, КИХ фильтр, FIR фильтр) один из видов линейных электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого … Википедия
Цифровой фильтр в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства… … Википедия
Цифровой фильтр в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны,… … Википедия
Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ фильтр) линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является … Википедия
Линейный фильтр динамическая система, применяющая некий линейный оператор ко входному сигналу для выделения или подавления определённых частот сигнала и других функций по обработке входного сигнала. Линейные фильтры широко применяются в… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Скользящая средняя (значения). Блок схема простого КИХ фильтра второго порядка, реализующего скользящее среднее Скользящая средняя, скользящее среднее разновидность цифрового фильтра с… … Википедия
Пример использования медианного фильтра к зашумленному изображению с 3 различными значениями радиуса окна фильтрации. Обработка изображения выполнена в Adobe Photoshop. Медианны … Википедия