Метод сопряженных градиентов простыми словами. Умножение разреженных матриц

Термин "метод сопряженных градиентов" – один из примеров того, как бессмысленные словосочетания, став привычными, воспринимаются сами собой разумеющимися и не вызывают никакого недоумения. Дело в том, что, за исключением частного и не представляющего практического интереса случая, градиенты не являются сопряженными, а сопряженные направления не имеют ничего общего с градиентами. Название метода отражает тот факт, что данный метод отыскания безусловного экстремума сочетает в себе понятия градиента целевой функции и сопряженных направлений.

Несколько слов об обозначениях, используемых далее.

Скалярное произведение двух векторов записывается x T y и представляет сумму скаляров: . Заметим, что x T y = y T x. Если x и y ортогональны, то x T y = 0. В общем, выражения, которые преобразуются к матрице 1х1, такие как x T y и x T Ax, рассматриваются как скалярные величины.

Первоначально метод сопряженных градиентов был разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений вида:

Ax = b (1)

где x – неизвестный вектор, b – известный вектор, а A – известная, квадратная, симметричная, положительно–определенная матрица. Решение этой системы эквивалентно нахождению минимума соответствующей квадратичной формы.
Квадратичная форма – это просто скаляр, квадратичная функция некого вектора x следующего вида:

f(x) = (1/2)x T Ax-b T x+c (2)

Наличие такой связи между матрицей линейного преобразования A и скалярной функцией f(x) дает возможность проиллюстрировать некоторые формулы линейной алгебры интуитивно понятными рисунками. Например, матрица А называется положительно-определенной, если для любого ненулевого вектора x справедливо следующее:

x T Ax > 0 (3)

На рисунке 1 изображено как выглядят квадратичные формы соответственно для положительно-определенной матрицы (а), отрицательно-определенной матрицы (b), положительно-неопределенной матрицы (с), неопределенной матрицы (d).

Рис. 1. Квадратичные формы для положительно-определенной матрицы, отрицательно-определенной матрицы, положительно-неопределенной матрицы, неопределенной матрицы.

То есть, если матрица А – положительно-определенная, то вместо того, чтобы решать систему уравнений 1, можно найти минимум ее квадратичной функции. Причем, метод сопряженных градиентов сделает это за n или менее шагов, где n – размерность неизвестного вектора x. Так как любая гладкая функция в окрестностях точки своего минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, этот же метод можно применить для минимизации и неквадратичных функций. При этом метод перестает быть конечным, а становится итеративным.

Рассмотрение метода сопряженных градиентов целесообразно начать с рассмотрения более простого метода поиска экстремума функции – метода наискорейшего спуска. На рисунке 2 изображена траектория движения в точку минимума методом наискорейшего спуска. Суть этого метода:

• в начальной точке x(0) вычисляется градиент, и движение осуществляется в направлении антиградиента до тех пор, пока уменьшается целевая функция;
• в точке, где функция перестает уменьшаться, опять вычисляется градиент, и спуск продолжается в новом направлении;
• процесс повторяется до достижения точки минимума.

Рис. 2. Траектория движения в точку минимума методом наискорейшего спуска.

В данном случае каждое новое направление движения ортогонально предыдущему. Не существует ли более разумного способа выбора нового направления движения? Существует, и он называется метод сопряженных направлений. А метод сопряженных градиентов как раз относится к группе методов сопряженных направлений. На рисунке 3 изображена траектория движения в точку минимума при использовании метода сопряженных градиентов.

Рис. 3. Траектория движения в точку минимума при использовании метода сопряженных градиентов

Определение сопряженности формулируется следующим образом: два вектора x и y называют А-сопряженными (или сопряженными по отношению к матрице А) или А–ортогональными, если скалярное произведение x и Ay равно нулю, то есть:

x T Ay = 0 (4)

Сопряженность можно считать обобщением понятия ортогональности. Действительно, когда матрица А – единичная матрица, в соответствии с равенством 4, векторы x и y – ортогональны. Можно и иначе продемонстрировать взаимосвязь понятий ортогональности и сопряженности: мысленно растяните рисунок 3 таким образом, чтобы линии равного уровня из эллипсов превратились в окружности, при этом сопряженные направления станут просто ортогональными.

Остается выяснить, каким образом вычислять сопряженные направления. Один из возможных способов – использовать методы линейной алгебры, в частности, процесс ортогонализации Грамма–Шмидта. Но для этого необходимо знать матрицу А, поэтому для большинства задач (например, обучение многослойных нейросетей) этот метод не годится. К счастью, существуют другие, итеративные способы вычисления сопряженного направления, самый известный – формула Флетчера-Ривса:

(6)

Формула 5 означает, что новое сопряженное направление получается сложением антиградиента в точке поворота и предыдущего направления движения, умноженного на коэффициент, вычисленный по формуле 6. Направления, вычисленные по формуле 5, оказываются сопряженными, если минимизируемая функция задана в форме 2. То есть для квадратичных функций метод сопряженных градиентов находит минимум за n шагов (n – размерность пространства поиска). Для функций общего вида алгоритм перестает быть конечным и становится итеративным. При этом, Флетчер и Ривс предлагают возобновлять алгоритмическую процедуру через каждые n + 1 шагов.

Можно привести еще одну формулу для определения сопряженного направления, формула Полака–Райбера (Polak-Ribiere):

(7)

Метод Флетчера-Ривса сходится, если начальная точка достаточно близка к требуемому минимуму, тогда как метод Полака-Райбера может в редких случаях бесконечно циклиться. Однако последний часто сходится быстрее первого метода. К счастью, сходимость метода Полака-Райбера может быть гарантирована выбором . Это эквивалентно рестарту алгорима по условию . Рестарт алгоритмической процедуры необходим, чтобы забыть последнее направление поиска и стартовать алгоритм заново в направлении скорейшего спуска.

Из приведенного алгоритма следует, что на шаге 2 осуществляется одномерная минимизация функции. Для этого, в частности, можно воспользоваться методом Фибоначчи, методом золотого сечения или методом бисекций. Более быструю сходимость обеспечивает метод Ньютона–Рафсона, но для этого необходимо иметь возможность вычисления матрицы Гессе. В последнем случае, переменная, по которой осуществляется оптимизация, вычисляется на каждом шаге итерации по формуле:

Несколько слов об использовании метода сопряженных направлений при обучении нейронных сетей. В этом случае используется обучение по эпохам, то есть при вычислении целевой функции предъявляются все шаблоны обучающего множества и вычисляется средний квадрат функции ошибки (или некая ее модификация). То же самое – при вычислении градиента, то есть используется суммарный градиент по всему обучающему набору. Градиент для каждого примера вычисляется с использованием алгоритма обратного распространения.

В заключение приведем один из возможных алгоритмов программной реализации метода сопряженных градиентов. Сопряженность в данном случае вычисляется по формуле Флетчера–Ривса, а для одномерной оптимизации используется один из вышеперечисленных методов. По мнению некоторых авторитетных специалистов скорость сходимости алгоритма мало зависит от оптимизационной формулы, применяемой на шаге 2 приведенного выше алгоритма, поэтому можно рекомендовать, например, метод золотого сечения, который не требует вычисления производных.

Вариант метода сопряженных направлений, использующий формулу Флетчера-Ривса для расчета сопряженных направлений.

K:= 0 r:= -f"(x) // антиградиент целевой функции d:= r // начальное направление спуска совпадает с антиградиентом Sigma new: = r T * r // квадрат модуля антиградиента Sigma 0: = Sigma new // Цикл поиска (выход по счетчику или ошибке) while i < i max and Sigma new > Eps 2 * Sigma 0 begin j: = 0 Sigma d: = d T * d // Цикл одномерной минимизации (спуск по направлению d) repeat a: = x: = x + a j: = j + 1 until (j >= j max) or (a 2 * Sigma d <= Eps 2) R: = -f"(x) // антиградиент целевой функции в новой точке Sigma old: = Sigma new Sigma new: = r T * r beta: = Sigma new / Sigma old d: = r + beta * d // Вычисление сопряженного направления k: = k + 1 If (k = n) or (r T * d <= 0) then // Рестарт алгоритма begin d: = r k: = 0 end I: = i + 1 end

Метод сопряженных градиентов является методом первого порядка, в то же время скорость его сходимости квадратична. Этим он выгодно отличается от обычных градиентных методов. Например, метод наискорейшего спуска и метод координатного спуска для квадратичной функции сходятся лишь в пределе, в то время как метод сопряженных градиентов оптимизирует квадратичную функцию за конечное число итераций. При оптимизации функций общего вида, метод сопряженных направлений сходится в 4-5 раз быстрее метода наискорейшего спуска. При этом, в отличие от методов второго порядка, не требуется трудоемких вычислений вторых частных производных.

Литература

1. Н.Н.Моисеев, Ю.П.Иванилов, Е.М.Столярова "Методы оптимизации", М. Наука, 1978
2. А.Фиакко, Г.Мак-Кормик "Нелинейное программирование", М. Мир, 1972
3. У.И.Зангвилл "Нелинейное программирование", М. Советское радио, 1973
4. Jonathan Richard Shewchuk "Second order gradients methods", School of Computer Science Carnegie Mellon University Pittsburg, 1994

Рассмотренные выше градиентные методы отыскивают точку минимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций. Метод сопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мере соответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличивает скорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичную функцию

f(x) = (х, Нх) + (b, х) + а

с симметрической положительно определенной матрицей Н за конечное число шагов п, равное числу переменных функции. Любая гладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизации и неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными и становятся итеративными.

По определению, два n-мерных вектора х и у называют сопряженными по отношению к матрице H (или H-сопряженными), если скалярное произведение (x, Ну) = 0. Здесь Н - симметрическая положительно определенная матрица размером пхп.

Одной из наиболее существенных проблем в методах сопряженных градиентов является проблема эффективного построения направлений. Метод Флетчера-Ривса решает эту проблему путем преобразования на каждом шаге антиградиента -f(x[k]) в направление p[k], H-сопряженное с ранее найденными направлениями р, р, ..., р. Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичной функции.

Направления р[k] вычисляют по формулам:

p[k] = -f’(x[k])+k-1p, k >= 1; p = -f’(x).

Величины k-1 выбираются так, чтобы направления p[k], р были H-сопряженными:

(p[k], Hp)= 0.

В результате для квадратичной функции

итерационный процесс минимизации имеет вид

x =x[k] +akp[k],

где р[k] - направление спуска на k-м шаге; аk - величина шага. Последняя выбирается из условия минимума функции f(х) по а в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной минимизации:

f(х[k] + аkр[k]) = f(x[k] + ар [k]).

Для квадратичной функции

Алгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса состоит в следующем.

1. В точке х вычисляется p = -f’(x).

2. На k-м шаге по приведенным выше формулам определяются шаг аk. и точка х.

3. Вычисляются величины f(x) и f’(x).

4. Если f’(x) = 0, то точка х является точкой минимума функции f(х). В противном случае определяется новое направление p из соотношения

и осуществляется переход к следующей итерации. Эта процедура найдет минимум квадратичной функции не более чем за п шагов. При минимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становится итеративным. В таком случае после (п+1)-й итерации процедуры 1-4 циклически повторяются с заменой х на х[п+1] , а вычисления заканчиваются при , где - заданное число. При этом применяют следующую модификацию метода:

x = x[k] +akp[k],

p[k] = -f’(x[k])+k-1p, k >= 1;

f(х[k] + akp[k]) = f(x[k] + ap[k];

Здесь I- множество индексов: I = {0, n, 2п, Зп, ...}, т. е. обновление метода происходит через каждые п шагов.

Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем (Рис. 1.19). Из заданной начальной точки х осуществляется спуск в направлении р = -f"(x). В точке х определяется вектор-градиент f"(x ). Поскольку х является точкой минимума функции в направлении р, то f’(х) ортогонален вектору р. Затем отыскивается вектор р , H-сопряженный к р . Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р и т. д.

Рис. 1.19. Траектория спуска в методе сопряженных градиентов

Методы сопряженных направлений являются одними из наиболее эффективных для решения задач минимизации. Однако следует отметить, что они чувствительны к ошибкам, возникающим в процессе счета. При большом числе переменных погрешность может настолько возрасти, что процесс придется повторять даже для квадратичной функции, т. е. процесс для нее не всегда укладывается в п шагов.

Численные методы безусловной оптимизации второго порядка, варианты алгоритмов метода Ньютона

Особенности методов второго порядка. Методы безусловной оптимизации второго порядка используют вторые частные производные минимизируемой функции f(х). Суть этих методов состоит в следующем.

Необходимым условием экстремума функции многих переменных f(x) в точке х* является равенство нулю ее градиента в этой точке:

Разложение f’(х) в окрестности точки х[k] в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка позволяет переписать предыдущее уравнение в виде

f"(x) f’(x[k]) + f"(x[k]) (х - х[k]) 0.

Здесь f"(x[k]) Н(х[k]) - матрица вторых производных (матрица Гессе) минимизируемой функции. Следовательно, итерационный процесс для построения последовательных приближений к решению задачи минимизации функции f(x) описывается выражением

x x[k] - H-1(x[k]) f’(x[k]) ,

где H-1(x[k]) - обратная матрица для матрицы Гессе, а H-1(x[k])f’(x[k]) р[k] - направление спуска.

Полученный метод минимизации называют методом Ньютона. Очевидно, что в данном методе величина шага вдоль направления р[k] полагается равной единице. Последовательность точек {х[k]}, получаемая в результате применения итерационного процесса, при определенных предположениях сходится к некоторой стационарной точке х* функции f(x). Если матрица Гессе Н(х*) положительно определена, точка х* будет точкой строгого локального минимума функции f(x). Последовательность x[k] сходится к точке х* только в том случае, когда матрица Гессе целевой функции положительно определена на каждой итерации.

Если функция f(x) является квадратичной, то, независимо от начального приближения х и степени овражности, с помощью метода Ньютона ее минимум находится за один шаг. Это объясняется тем, что направление спуска р[k] H-1(x[k])f’(x[k]) в любых точках х всегда совпадает с направлением в точку минимума х*. Если же функция f(x) не квадратичная, но выпуклая, метод Ньютона гарантирует ее монотонное убывание от итерации к итерации. При минимизации овражных функций скорость сходимости метода Ньютона более высока по сравнению с градиентными методами. В таком случае вектор р[k] не указывает направление в точку минимума функции f(x), однако имеет большую составляющую вдоль оси оврага и значительно ближе к направлению на минимум, чем антиградиент.

Существенным недостатком метода Ньютона является зависимость сходимости для невыпуклых функций от начального приближения х. Если х находится достаточно далеко от точки минимума, то метод может расходиться, т. е. при проведении итерации каждая следующая точка будет более удаленной от точки минимума, чем предыдущая. Сходимость метода, независимо от начального приближения, обеспечивается выбором не только направления спуска р[k] H-1(x[k])f’(x[k]), но и величины шага а вдоль этого направления. Соответствующий алгоритм называют методом Ньютона с регулировкой шага. Итерационный процесс в таком случае определяется выражением

x x[k] - akH-1(x[k])f’(x[k]).

Величина шага аk выбирается из условия минимума функции f(х) по а в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной минимизации:

f(x[k] – ak H-1(x[k])f’(x[k]) (f(x[k] - aH-1(x[k])f’(x[k])).

Такой вариант алгоритма называют также методом Ньютона-Рафсона. Графическая интерпретация этого варианта метода Ньютона представлена на рис. 1.20. На выносных элементах рисунка приведены графики одномерных функций, подлежащих оптимизации с целью определения шага.

Рис. 1.20. Геометрическая интерпретация метода Ньютона-Рафсона

Алгоритм метода Ньютона-Рафсона состоит в следующем. Часть действий выполняется до начала итерационного процесса. А именно необходимо получить вектор формул, составляющих градиент f’([x]) (т.е. вектор первых частных производных) и матрицу формул, составляющих матрицу Гессе H(x) (т.е. матрицу вторых частных производных). Далее в итерационном цикле в эти формулы подставляются значения компонент вектора х и эти массивы становятся массивами чисел.

1. В начальной точке х вычисляется вектор, определяющий направление спуска p - H-1(x)f’(). Тем самым задача многомерная сводится к задаче одномерной оптимизации.

2. На k-й итерации определяется шаг аk (по схеме, изображенной на рис. 1.20, для этого решается задача одномерной оптимизации) и точка х.

3. Вычисляется величина f(х).

4. Проверяются условия выхода из подпрограммы, реализующей данный алгоритм. Эти условия аналогичны условиям выхода из подпрограммы при методе наискорейшего спуска. Если эти условия выполняются, осуществляется прекращение вычислений. В противном случае вычисляется новое направление

р –H-1(x[k])f’([k])

и осуществляется переход к следующей итерации, т. е. на шаг 2.

Количество вычислений на итерации методом Ньютона, как правило, значительно больше, чем в градиентных методах. Это объясняется необходимостью вычисления и обращения матрицы вторых производных целевой функции (или решения системы уравнений, что требует меньше трудозатрат). Однако на получение решения с достаточно высокой степенью точности с помощью метода Ньютона обычно требуется намного меньше итераций, чем при использовании градиентных методов. В силу этого метод Ньютона существенно более эффективен. Он обладает сверхлинейной или квадратичной скоростью сходимости в зависимости от требований, которым удовлетворяет минимизируемая функция f(x). Тем не менее в некоторых задачах трудоемкость итерации методом Ньютона может оказаться очень большой за счет необходимости вычисления матрицы вторых производных минимизируемой функции, что потребует затрат значительного количества машинного времени.

В ряде случаев целесообразно комбинированное использование градиентных методов и метода Ньютона. В начале процесса минимизации, когда точка х находится далеко от точки экстремума х*, можно применять какой-либо вариант градиентных методов. Далее, при уменьшении скорости сходимости градиентного метода можно перейти к методу Ньютона. Или вследствие накопления ошибок в процессе счета матрица Гессе на некоторой итерации может оказаться отрицательно определенной или ее нельзя будет обратить. В таких случаях в подпрограммах оптимизации полагается H-1(x[k]) Е, где Е - единичная матрица. Итерация при этом осуществляется по методу наискорейшего спуска.

В другой модификации метода Ньютона, получившей название метод Левенберга - Маркардта (метод Ньютона с регулировкой матрицы) для обеспечения положительной определенности матрицы Гессе в точках последовательности используется регуляризация этой матрицы. В методе Левенберга - Маркардта точки строятся по закону: , где - последовательность положительных чисел, обеспечивающих положительную определенность матрицы . Обычно в качестве берется значение на порядок больше наибольшего элемента матрицы . Так в ряде стандартных программ полагается . Если, то , в противном случае Очевидно, что если , то метод Левенберга - Маркардта представляет собой метод Ньютона, а если велико, то поскольку при больших метод Левенберга - Маркардта близок к градиентному методу. Поэтому, подбирая значения параметра , можно добиться, чтобы метод Левенберга - Маркардта сходился

f (x )

		f (xk ) = f(x0 ) + ∑ α i Api .
		i= 1
	обе части	этого равенства скалярно на p k		учитывая
исчерпывающего спуска по направлению p k :(f (x k ), p k ) = 0			и A −ортогональность
векторов, получаем
		(f (x 0 ),p k )+ α k (Ap k ,p k )= 0.
		A положительно определена,	квадратичная
(Ap k , p k ) > 0 и для величины шагаα k получаем выражение (5.17).
	Последовательный исчерпывающий спуск			A –ортогональным

направлениям (5.16) приводит к точке минимума квадратичной формы не более чем за n шагов.

□ Доказать самостоятельно. Предположить, что существуют u k ≠ α k , и

получить, что они совпадают. ■

Вопрос о нахождении базиса из A –ортогональных векторов в пространствеE n

решается неоднозначно. В качестве такого базиса можно, например, взять ортогональный базис из собственных векторов матрицы A . Однако их поиск приn > 2 представляет собой самостоятельную и довольно сложную задачу.

и без предварительного построения векторов p 1 , ..., p n , последовательно находя их в процессе минимизации, как это было сделано выше в примере с минимизацией функции двух переменных. И в этом случае для квадратичной функции с положительно определенной матрицейA для нахождения минимума достаточно конечное число шагов. Если не является квадратичной функцией или

вспомогательные задачи одномерной минимизации решаются приближенно, потребуются дополнительные вычисления.

Метод сопряженных направлений, рассмотренный выше, относится к числу наиболее эффективных методов минимизации выпуклых квадратичных функций. Его недостатком является необходимость решать довольно большое количество задач одномерной минимизации.

5.6. Метод сопряженных градиентов

При использовании методов градиентного и наискорейшего спуска в итерационной процедуре

антиградиента: p k = − f (x k ). Однако такой выбор направления убывания не всегда бывает удачным. В частности, для плохо обусловленных задач минимизации направление антиградиента в точкеx k может значительно отличаться от направления к точке минимумаx . В результате траектория приближения к точке минимума имеет зигзагообразный характер. Воспользуемся другим подходом, идея которого была изложена при построении метода сопряженных направлений. Будем определять направления спускаp k не только через вектор антиградиента− f (x k ) ,

в котором величина шага α k находится из условия исчерпывающего спуска по

направлению p k . Далее,		после вычисления очередной точки x k + 1 ,					k = 0, 1, ..., новое
направление поиска p k + 1		находится по формуле, отличной от антиградиента:
	pk + 1 = − f(xk + 1 ) + β k pk ,			k = 0, 1, ...,
где коэффициенты		выбираются так, чтобы при минимизации квадратичной
функции f (x ) с	положительно определенной					матрицей	A получалась
последовательность	A −ортогональных			векторов		p 0 ,p 1 , ....	Из условия
(Ap k + 1 ,p k )= 0имеем:
		β k=	(A f (x k + 1 ),p k )
			(Ap k ,p k )

Ранее, при обсуждении метода сопряженных направлений было показано, что

для квадратичной функции шаг исчерпывающего спуска по направлению p k равен

α k = −	(f (x k ),p k )
	(Ap k ,p k )
Утверждение . Итерационный процесс			(5.19)−(5.22) минимизации

квадратичной функции с положительно определенной симметрической матрицей

f (x )

A дает точки	x 0 , ...,x k	и векторы p 0 , ..., p k такие, что если				f (x i )≠ 0при
0 ≤i	то векторы		p 0 , ...,		A −ортогональны,		градиенты
f (x 0 ), ...,f (x i )	взаимно ортогональны.
Так как направления				являются A −ортогональными,

гарантирует нахождение точки минимума сильно выпуклой квадратичной функции не более чем за n шагов.

С учетом взаимной ортогональности градиентов f (x i ) и условий

исчерпывающего спуска по направлениям p k можно упростить выражения (5.21) и

(5.22) для α k

и β k . В результате получим,

что итерационный процесс метода

сопряженных градиентов описывается соотношениями

x k+ 1

X k +α k

p k ,k = 0, 1, ...;

x0 En ,

p0 = − f(x0 ) ,

f (x k + α k p k )= minf (x k

+ αp k ),

k = 0, 1, ...,

α> 0

p k+ 1

= − f (x k + 1 ) +β k

p k ,k = 0, 1, ...,

β k=

f (xk + 1 )

k = 1, 2, ...

f (xk )

Следует отметить, что выражение для коэффициента β k не содержит в явном виде матрицуA квадратичной формы. Поэтому метод сопряженных градиентов может применяться для минимизации неквадратичных функций.

Итерационный процесс (5.23)−(5.26) может не приводить к точке минимума неквадратичной функции за конечное число итераций. Более того, точное

определение α k из условия (5.22) возможно лишь в редких случаях, а вектораp k

на образуют, вообще говоря, A −ортогональную систему относительно какой-либо матрицыA . Поэтому реализация каждой итерации метода будет сопровождаться неизбежными погрешностями. Эти погрешности, накапливаясь, могут привести к

тому, что векторы p k перестанут указывать направление убывания функции и

сходимость метода может нарушаться. Поэтому в методе сопряженных градиентов применяется практический прием − через каждые N шагов производят обновление метода, полагаяβ m N = 0, m = 1, 2, ... . Номераm N называют моментами

обновления метода, или рестарта . Часто полагаютN = n − размерности пространстваE n . ЕслиN = 1 , то получается частный случай метода сопряженных градиентов − метод наискорейшего спуска.

Вблизи точки минимума дважды дифференцируемая функция с положительно определенной матрицей Гессе H (x ) , как правило, достаточно хорошо

аппроксимируется квадратичной функцией. Поэтому можно надеяться на хороший результат применения метода сопряженных градиентов для функций такого вида.

Пример 5.7. Методом сопряженных градиентов найти точку минимума

функции f (x ) = 4 x 2 + 3 x 2 − 4 x x

из начальной точки x 0 = (0, 0) T .

□ Итерация 1.

Шаг 1. Положим ε = 0,01,

= (0, 0)T ,

и найдем f (x 0 ) = (1, 0) T . Перейдем к

Шаг 2. Положим k = 0,

= − f (x 0 ) = (− 1, 0) T . Перейдем к шагу 3.

f (x0

+ α p 0 )→ min.Получим

α 0 = 1/ 8 . – Здесь применили формулуα 0 = −

(f (x 0 ),p 0 )

(Ax 0 + b ,p 0 )

Перейдем

(Ap 0 ,p 0 )

(Ap 0 ,p 0 )

Шаг 4. Найдем

x 1= x 0

+ α 0 p 0 = (− 1/ 8,

и f (x 1 ) = (0, 1/ 2) T . Точность не

достигнута, прейдем к шагу 5.

Шаг 5. Условие k + 1 = n не выполняется (нет рестарта), перейдем к шагу 6.

Шаг 6. Найдем коэффициент β 0 = 1/ 4 и новое направление спуска

p 1 = − f (x 1 ) + β 0 p 0 = (− 1/ 4, − 1/ 2) T . Перейдем к следующей итерации.

Поскольку x 1 , f (x 1 ) иp 1

= − f (x 1 ) +β 0

уже вычислены на итерации 1, то

итерацию 2 начинаем с шага 3.

Итерация 2.

Шаг 3. Решим задачу одномерной минимизации

f (x 1 + α p 1 ) → min . Получим

α = 1/ 4 . Перейдем к шагу 4.

Шаг 4. Найдем x 2

X 1 +α 1

p 1 = (− 3 /16,− 1/ 8)T и f (x 2 )= (0, 0)T − задача решена

Метод предназначен для решения задачи (5.1) и принадлежит классу методов первого порядка. Метод представляет собой модификацию метода наискорейшего спуска (подъема) и автоматически учитывает особенности целевой функции, ускоряя сходимость.

Описание алгоритма

Шаг 0 . Выбирается точка начального приближения , параметр длины шага , точность решения и вычисляется начальное направление поиска .

Шаг k . На k -м шаге находится минимум (максимум) целевой функции на прямой, проведенной из точки по направлению . Найденная точка минимума (максимума) определяет очередное k -е приближение , после чего определяется направление поиска

Формула (5.4) может быть переписана в эквивалентном виде

.

Алгоритм завершает свою работу, как только выполнится условие ; в качестве решения принимается значение последнего полученного приближения .

Метод Ньютона

Метод предназначен для решения задачи (5.1) и принадлежит классу методов второго порядка. В основе метода лежит разложение Тейлора целевой функции и то, что в точке экстремума градиент функции равен нулю, то есть .

Действительно, пусть некоторая точка лежит достаточно близко к точке искомого экстремума . Рассмотрим i -ю компоненту градиента целевой функции и разложим ее в точке по формуле Тейлора с точностью до производных первого порядка:

. (5.5)

Формулу (5.5) перепишем в матричной форме, учитывая при этом, что :

где матрица Гессе целевой функции в точке .

Предположим, что матрица Гессе невырождена. Тогда она имеет обратную матрицу . Умножая обе части уравнения (5.6) на слева, получим , откуда

. (5.7)

Формула (5.7) определяет алгоритм метода Ньютона: пересчет приближений на k

Алгоритм заканчивает свою работу, как только выполнится условие

,

где заданная точность решения; в качестве решения принимается значение последнего полученного приближения .

Метод Ньютона-Рафсона

Метод является методом первого порядка и предназначен для решения систем n нелинейных уравнений c n неизвестными:

В частности, этот метод может быть применен при поиске стационарных точек целевой функции задачи (5.1), когда необходимо решить систему уравнений из условия .

Пусть точка есть решение системы (5.9), а точка расположена вблизи . Разлагая функцию в точке по формуле Тейлора, имеем

откуда (по условию ) вытекает

, (5.11)

где матрица Якоби вектор-функции . Предположим, что матрица Якоби невырождена. Тогда она имеет обратную матрицу . Умножая обе части уравнения (5.11) на слева, получим , откуда

. (5.12)

Формула (5.12) определяет алгоритм метода Ньютона-Рафсона: пересчет приближений на k -й итерации выполняется в соответствии с формулой

В случае одной переменной, когда система (5.9) вырождается в единственное уравнение , формула (5.13) принимает вид

, (5.14)

где значение производной функции в точке .

На рис. 5.2 показана схема реализации метода Ньютона-Рафсона при поиске решения уравнения .

Замечание 5.1. Сходимость численных методов, как правило, сильно зависит от начального приближения.

Замечание 5.2. Методы Ньютона и Ньютона-Рафсона требуют большого объема вычислений (надо на каждом шаге вычислять и обращать матрицы Гессе и Якоби).

Замечание 5.3. При использовании методов обязательно следует учитывать возможность наличия многих экстремумов у целевой функции (свойство мультимодальности ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев М.Ю. , Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: Учебное пособие. – М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2003 – 312 с.

2. Базара М, Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982 – 583 с.

3. Берман Г .Н . Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. – СПб: «Специальная Литература», 1998. – 446 с.

4. Вагнер Г. Основы исследования операций: В 3-х томах. Пер. с англ. – М.: Мир, 1972. – 336 с.

5. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология – М.: Наука, 1988. – 208 с.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977. – 528 с.

7. Дегтярев Ю.И. Исследование операций. – М.: Высш. шк., 1986. – 320 с.

8. Нуреев Р.М. Сборник задач по микроэкономике. – М.: НОРМА, 2006. – 432 с.

9. Солодовников А. С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. – М.:Финансы и статистика, 1999. – 224 с.

10. Таха Х. Введение в исследование операций, 6-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 912 с.

11. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ. – М.: Мир, 1975 – 534 с.

12. Шикин Е. В., Шикина Г.Е. Исследование операций: Учебник – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. – 280 с.

13. Исследование операций в экономике : Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с.

14. Матрицы и векторы : Учебн. пособие/ Рюмкин В.И. – Томск: ТГУ, 1999. – 40 с.

15. Системы линейных уравнений : Учебн. пособие / Рюмкин В.И. – Томск: ТГУ, 2000. – 45 с.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………...................................
1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ………………...
1.1. Постановка задачи математического программирования...............................
1.2. Разновидности ЗМП…………….…………..........................................
1.3. Базовые понятия математического программирования................................
1.4. Производная по направлению. Градиент………….........................................
1.5. Касательные гиперплоскости и нормали…………..........................................
1.6. Разложение Тейлора……………………………...............................................
1.7. ЗНЛП и условия существования ее решения...................................................
1.8. Задачи ……………..……...................................................................................
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ................................................................................................................
2.1. Необходимые условия решения ЗНЛП без ограничений...............................
2.2. Достаточные условия решения ЗНЛП без ограничений.................................
2.3. Классический метод решения ЗНЛП без ограничений...................................
2.4. Задачи……………..............................................................................................
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ-РАВЕНСТВАХ.................................................................................
3.1. Метод множителей Лагранжа…………………………...................................
3.1.1. Назначение и обоснование метода множителей Лагранжа……………
3.1.2. Схема реализации метода множителей Лагранжа……………………...
3.1.3. Интерпретация множителей Лагранжа…………………………………
3.2. Метод подстановки…………………………….................................................
3.3. Задачи…………………………..........................................................................
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ-НЕРАВЕНСТВАХ………………………………………………..
4.1. Обобщенный метод множителей Лагранжа…………………………………
4.2. Условия Куна-Таккера…………………………..............................................
4.2.1. Необходимость условий Куна-Таккера…………………………………
4.2.2. Достаточность условий Куна-Таккера…………………………………..
4.2.3. Метод Куна-Таккера………………………...............................................
4.3. Задачи…………………………..........................................................................
5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ …………………………...……………………………………
5.1. Понятие алгоритма…………………………....................................................
5.2. Классификация численных методов…………………………………………
5.3. Алгоритмы численных методов……………………………………………...
5.3.1. Метод наискорейшего спуска (подъема)…………………………………
5.3.2. Метод сопряженных градиентов………………………….........................
5.3.3. Метод Ньютона………………………….....................................................
5.3.4. Метод Ньютона-Рафсона………………………………………………...
ЛИТЕРАТУРА………………………………..............................................................

Определения линейной и нелинейной функций см. в разделе 1.2

Метод сопряженных градиентов (в англ. литературе «conjugate gradient method») - это итерационный численный метод (первого порядка) решения оптимизационных задач, который позволяет определить экстремум (минимум или максимум) целевой функции:

- это значения аргумента функции (управляемые параметры) на вещественной области.

В соответствии с рассматриваемым методом экстремум (максимум или минимум) целевой функции определяют в направлении наиболее быстрого возрастания (убывания) функции, т.е. в направлении градиента (антиградиента) функции. Градиентом функции в точке называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются частные производные функции по координатам:

где i, j,…, n - единичные векторы, параллельные координатным осям.

Градиент в базовой точке строго ортогонален к поверхности, а его направление показывает направление наискорейшего возрастания функции, а противоположное направление (антиградиент), соответственно, показывает направление наискорейшего убывания функции.

Метод сопряженных градиентов является дальнейшим развитием метода наискорейшего спуска, который сочетает в себе два понятия: градиент целевой функции и сопряженное направление векторов. В общем случае процесс нахождения минимума функции является итерационной процедурой, которая записывается в векторной форме следующим образом:

где знак «+» используется для поиска максимума функции, а знак «-» используется для поиска минимума функции.

Единичный вектор сопряженных направлений, который определяется по формуле:

Существует несколько способов определения значений весовых коэффициентов (переменная ), которые используются для определения сопряженного направления.

В качестве первого способа рассматривают определение весового коэффициента по формуле Флетчера-Ривса (Fletcher–Reeves):

- модуль градиента определяет скорость возрастания или убывания функции в направлении градиента или антиградиента соответственно.

В качестве второго способа рассматривают определение весового коэффициента по формуле Полака–Райбера (Polak-Ribiere):

В соответствии с представленными выражениями новое сопряженное направление получается сложением градиента (антиградиента) в точке поворота и предыдущего направления движения, умноженного на коэффициент. Таким образом, метод сопряженных градиентов формирует направление поиска к оптимальному значению используя информацию о поиске полученную на предыдущих этапах спуска. Следует отметить, что сопряженные направления P, P, ..., P вычисляют с помощью формулы Флетчера-Ривса, которая позволяет построить сопряженные векторы относительно некоторой симметрической матрицы для произвольно заданной функции.

Траектория спуска в методе сопряженных градиентов (поиск минимума)

Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем: из заданной начальной точки х осуществляется спуск в направлении р (градиента или антиградиента) в новую точку х, в которой определяется вектор-градиент функции. Поскольку х является точкой минимума функции в направлении р, то вектор-градиент функции в точке х ортогонален вектору р. Затем определяется вектор р который ортогонален относительно некоторой симметрической матрицы вектору р. В результате осуществляется спуск вдоль найденного направления в новую точку х.

Траектория движения к точке экстремума при использовании метода наискорейшего спуска (зелёная ломаная) и метода сопряжённых градиентов (красная ломаная).

Следует отметить, что через каждые n + 1 шагов необходимо выполнять рестарт алгоритмической процедуры (n – размерность пространства поиска). Рестарт алгоритмической процедуры необходим, чтобы забыть последнее направление поиска и стартовать алгоритм заново в направлении скорейшего спуска.

Величина шага выбирается из условия минимума целевой функции f(х) в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной оптимизации в направлении градиента или антиградиента:

Другими словами, величину шага определяют при решении данного уравнения:

Поиск оптимального решения завершается в случае, когда на итерационном шаге расчета (несколько критериев):

Траектория поиска остается в малой окрестности текущей точки поиска:

Приращение целевой функции не меняется:

Градиент целевой функции в точке локального минимума обращается в нуль:

Метод сопряженных градиентов является методом первого порядка, но при этом обладает квадратичной скоростью сходимости, как Ньютоновские методы расчета. Метод градиента вместе с его многочисленными модификациями является распространенным и эффективным методом поиска оптимума исследуемых объектов. Недостатком градиентного поиска (так же и рассмотренных выше методов) является то, что при его использовании можно обнаружить только локальный экстремум функции. Для отыскания других локальных экстремумов необходимо производить поиск из других начальных точек.

Методика расчета

1 шаг: Определение аналитические выражения (в символьном виде) для вычисления градиента функции

2 шаг : Задаем начальное приближение

3 шаг: Определяется необходимость рестарта алгоритмической процедуры для обнуления последнего направления поиска. В результате рестарта поиск осуществляется заново в направлении скорейшего спуска.

4 шаг : Вычисление координат единичного вектора по формуле, полученной на шаге 1, и определение координат новой точки при движении по направлению единичного вектора как функция от шага расчета.

Вычисление весового коэффициента и единичного вектора сопряженных направлений на текущем шаге расчета (формула Флетчера-Ривса):

Для первого шага расчета весовой коэффициент не вычисляется (или в случае рестарта алгоритма), а единичный вектор сопряженных направлений определяется следующим образом.