Учимся строить сечения. «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

, слайды 1-2)

научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
освоить методы построения этих сечений
формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

Решение.

КМ = α ∩ АДС
МЕ = α ∩ ВДС
Х = КМ ∩ АС
Р = ХЕ ∩ АВ
РЕ = α ∩ АВС
КР = α ∩ АДВ
КМЕР – искомое сечение

Задача 2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

Проанализируем этот рисунок. Здесь нет точек, лежащих в одной грани. В это случае воспользуемся правилом 5. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

Решение

М → М 1 N → А
Х = NМ ∩ АМ 1
L = КХ ∩ ВС
H = КХ ∩ АВ
НL = α ∩ АВC, К є НL
НN = α ∩ АВД,
LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
NQ = α ∩ АДС
HNQL – искомое сечение

IV. Закрепление знаний

Работа с анимационным объектом «Построение сечения тетраэдра с плоскостью» (диск «Уроки геометрии в 10 классе» урок №16)

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.

Решение

1. М → М 1 , N → N 1
Х = NМ ∩ N 1 М 1
R = КХ ∩ АВ
RL = α ∩ АВД, М є RL
КР = α ∩ ВДС, N є КР
LP = α ∩ АДС
RLPK – искомое сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. N є АС, К є АД.

Решение

КМ = α ∩ АВД,
МN = α ∩ АВС,
КN = α ∩ АДС
KMN – искомое сечение

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

MN = α ∩ АВД
NK = α ∩ ВДС
Х = NК ∩ ВС
Р = АС ∩ МХ
РК = α ∩ АДС
MNKP – искомое сечение

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

KN = α ∩ ДВС
Х = КN ∩ ВС
Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
РТ = α ∩ АВС, М є РТ
PN = α ∩ АДС
ТР N K – искомое сечение

VI. Итог урока.

(слайд 8)

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание).

В каждой из этих граней отмечаются вершины противоположные вершине A, это будут вершины B, C и D. Полученные отрезки AB, AC, AD, BC, DC и BD между как граней куба, поэтому ABCD является правильным тетраэдром.

Обратите внимание

Тетраэдр является одним из пяти возможных правильных многогранников. К правильным многогранникам относятся так же: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и гексаэдр или куб. Куб – простейший для построения многогранник, все остальные могут быть построены с его помощью.

Стереометрия, как часть геометрии, гораздо ярче и интереснее именно тем, что фигуры здесь не плоскостные, а объемные. В многочисленных задачах требуется рассчитать параметры параллелепипедов, конусов, пирамид и других трехмерных фигур. Иногда уже на этапе построения возникают сложности, которые легко устраняются, если следовать простым принципам стереометрии.

Вам понадобится

- линейка;
- карандаш;
- циркуль;
- транспортир.

Инструкция

Определитесь с количеством граней, а также количеством углов в многоугольниках самих граней перед . Если в условии говорится о правильном многограннике, то стройте его так, чтобы он был выпуклый (не ломанный), чтобы грани представляли собой правильные многоугольники, а в каждой вершине трехмерной фигуры сходилось одинаковое количество ребер.

Помните об особых многогранниках, для которых есть постоянные характеристики:
- тетраэдр состоит из треугольников, имеет 4 вершины, 6 ребер, сходящихся в вершинах по 3, а также 4 грани;
- гесаэдр, или куб, состоит из квадратов, имеет 8 вершин, 12 ребер, сходящихся по по 3 на вершинах, а также ;
- октаэдр состоит из треугольников, имеет 6 вершин, 12 ребер, примыкающих по 4 к вершинам, а также 8 граней;
- – это двенадцатигранная фигура, состоящая из пятиугольников, имеющая 20 вершин, а также 30 ребер, примыкающих к вершине по 3;
- , в свою очередь, имеет 20 треугольных граней, 30 ребер, примыкающих по 5 к каждой из 12 вершин.

Начните построение с , если ребра многогранника параллельны. Это касается параллелепипеда, . При этом будет удобнее начинать построение с рисования основания многогранника, а затем достраивать грани соответственно заданным углам относительно плоскости основания. Для куба и прямого параллелепипеда это будет прямой угол между плоскостью основания и боковых граней. Для наклонного параллелепипеда соблюдайте условия задачи, при необходимости используя транспортир. Помните, что плоскости верхней и нижней грани этой фигуры параллельны.

Постройте неправильный с учетом количества углов в каждой из граней, а также числа смежных . При построении многогранника не забывайте, что грани многогранных фигур не всегда равновеликие, с одинаковым количеством углов. Например, в основании может быть ромб, а боковые грани ее будут составлять с разной длиной ребер.

Видео по теме

Обратите внимание

Если в задаче просят изобразить тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, то сразу отмечайте, что речь идет об изначально правильном многограннике с соответствующим числом граней.

Полезный совет

Многогранник в общем смысле состоит из определенного количества плоских многоугольников. При этом обязательно соблюдаются следующие условия:
- смежность многоугольников, из которых состоит многогранник. Это означает, что сторона одного многоугольника одновременно является стороной и другого – смежного;
- все многоугольники непрерывно связаны между собой. Это так называемый принцип «связности».

Изготовить модель тетраэдра можно из самых разных материалов. Один из наиболее доступных вариантов - склеить его из бумаги. При этом клей требуется не всегда, поскольку самоклеющаяся бумага тоже подходит для таких целей.

Вам понадобится

- бумага для построения развертки;
- бумага для модели;
- линейка;
- карандаш;
- транспортир;
- ножницы;
- компьютер с AutoCAD.

Инструкция

Начните с построения развертки. Если вы собираетесь клеить тетраэдр из обычной плотной бумаги, развертку можно сделать прямо на ней. Для самоклеющейся бумаги лучше начертите выкройку, как это выполняется в классическом моделировании. Можно использовать и компьютер с AutoCAD или любым другим графическим редактором, позволяющим строить правильные многоугольники.