Экстремумы функции примеры решения. О самом понятии на конкретном примере

Обратимся к графику функции у = х 3 – 3х 2 . Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х 3 – 3х 2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х 3 – 3х 2 , так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует окрестность точки х 0 – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х 2 , так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

Точкой минимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует такая окрестность точки х 0 , что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2) 2 , так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производную.

Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х 0) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f "(х 0) равен нулю.

Например, функция f(х) = 1 – 3х 2 имеет в точке х 0 = 0 максимум, ее производная f "(х) = -2х, f "(0) = 0.

Функция f(х) = (х – 2) 2 + 3 имеет минимум в точке х 0 = 2, f "(х) = 2(х – 2), f "(2) = 0.

Отметим, что если f "(х 0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х 0 – это обязательно точка экстремума функции f(х).

Например, если f(х) = х 3 , то f "(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х 3 возрастает.

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f "(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

Таким образом, для того, чтобы точка х 0 была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х 4 – 4х 3 .

Решение.

1) Найдем производную: f "(х) = 4х 3 – 12х 2 = 4х 2 (х – 3).

2) Найдем стационарные точки: 4х 2 (х – 3) = 0, х 1 = 0, х 2 = 3.

3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f "(х) = 4х 2 (х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.

4) Так как при переходе через точку х 1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х 2 = 3. Поэтому х 2 = 3 – точка минимума.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y =

на отрезке [ ;]

Включать теорию

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Введение

Во многих областях науки и в практической деятельности часто приходится сталкиваться с задачами поиска экстремума функции. Дело в том, что многие технические, экономические и т.д. процессы моделируются функцией или несколькими функциями, зависящими от переменных – факторов, влияющих на состояние моделируемого явления. Требуется найти экстремумы таких функций для того, чтобы определить оптимальное (рациональное) состояние, управление процессом. Так в экономике, часто решаются задачи минимизации издержек или максимизации прибыли – микроэкономическая задача фирмы. В этой работе мы не рассматриваем вопросы моделирования, а рассматриваем только алгоритмы поиска экстремумов функций в простейшем варианте, когда на переменные не накладываются ограничения (безусловная оптимизация), и экстремум ищется только для одной целевой функции.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке. Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4 .

Функция y=f(x) в точке x 0 имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т.е. если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x ≠x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) <f(x 0 ) .

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x 0 , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x ≠x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) >f(x 0 .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1 . В частности, f (x 1) < f (x 4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x 0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x 0 + Δx) 0 ) , т.е.

Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f "(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Так как f " (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f " (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

y =|x |.

Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум. не имеет производной при x =0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f "(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

Например.

.

Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками .

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

f "(x) >0 при x <x 0 и f "(x)< 0 при x> x 0 , то x 0 – точка максимума;

при x <x 0 и f "(x)> 0 при x> x 0 , то x 0 – точка минимума.

Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f "(x)> 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

Пусть x < x 0 . Тогда c< x 0 и f "(c)> 0. Поэтомуf "(c)(x- x 0)< 0и, следовательно,

f(x) - f(x 0 )< 0,т.е. f(x)< f(x 0 ).

Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f "(c)< 0. Значитf "(c)(x- x 0)< 0. Поэтому f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) < f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f "(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

f "(x)< 0 при x< x 1 , f "(x)> 0 при x> x 1 .

Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .

Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

Найти область определения функции f(x).

Найти первую производную функции f "(x) .

Определить критические точки, для этого:

найти действительные корни уравнения f "(x) =0;

найти все значения x при которых производная f "(x) не существует.

Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

Вычислить значение функции в точках экстремума.

Экстремумы функции

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f"(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f"(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:

\ \}