Подвывихи 

Кто дал название совершенным числам. Старт в науке

Примеры

  • 1-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
  • 2-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
  • 3-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
  • 4-е совершенное число - имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Чётные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .

Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org .

Свойства

Примечательные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях , - утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут , означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».

"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней."

См. также

  • Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)

Примечания

Ссылки

  • Депман И. Совершенные числа // Квант . - 1991. - № 5. - С. 13-17.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Совершенное число" в других словарях:

    СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, см. ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ …

    Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Напр., 6=1+2+3 и 28=1+2+4+7+14 суть совершенные числа … Большой Энциклопедический словарь

    Натуральное число, равное сумме всех своих правильных (то есть меньших этого числа) делителей. Например, 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 суть совершенного числа. * * * СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО, натуральное число, равное сумме… … Энциклопедический словарь

    Целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа. Таким образом, целое число является С. ч., если С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336 … Математическая энциклопедия

    ЧИСЛО, СОВЕРШЕННОЕ, ЦЕЛОЕ число, равное сумме своих ДЕЛИТЕЛЕЙ, включая 1. Например, число 28 является совершенным числом, поскольку его делителями являются числа 1, 2, 4, 7 и 14 (не считая само число 28), а их сумма равна 28. Не известно,… … Научно-технический энциклопедический словарь

    Числа вида Mn = 2n 1, где n натуральное число. Названы в честь французского математика Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами… … Википедия

    Число - С древнейших времен различным числам приписывали тайные значения. Философы, последователи Пифагора (около 500 г. до Р.Хр.), утверждали, что числа являются основным началом и сущностью вещей и подробно определили качества и роды чисел. По их… … Словарь библейских имен

    Непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой… … Математическая энциклопедия

    Шестиугольное число фигурное число. n ое шестиугольное число число точек в шестиугольнике, на каждой стороне которого ровно n точек. Формула для n го шестиугольного числа … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. 6 (значения). 6 шесть 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 Факторизация: 2×3 Римская запись: VI Двоичное: 110 Восьмеричное: 6 Шестна … Википедия


Оперируя большими числами, ученые пользуются степенями 10 для того, чтобы избавиться от огромного количества нулей. Например, 19 160 000 000 000 миль можно записать как 1,916·10 13 миль. Так же точно очень маленькое число, например 0,0000154324 г, может быть записано 1,54324·10 –5 г. Из приставок, используемых перед числительными, самой малой величине соответствует атто, происходящая от датского или норвежского atten – восемнадцать. Приставка означает 10 –18 . Приставка экса (от греческого hexa, т.е. 6 групп по 3 нуля), или сокращенно Э, означает 10 18 .

Самые большие числа

Самым большим числом, встречающимся в толковых словарях и имеющим название – степенью 10, является центилион, впервые использованный в 1852 г. Это миллион в сотой степени, или единица с 600 нулями.

Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя , равное 10 140 ; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящихся к 100 г. до н.э.

Число 10 100 называется гугол . Этот термин был предложен 9-летним племянником Эдварда Каснера (США) (ум. в 1955 г.). 10 в степени гугол называется гуголплексом. Некоторое представление об этой величине можно получить, вспомнив, что количество электронов в наблюдаемой Вселенной, согласно некоторым теориям, не превышает 10 87 .

Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма, впервые использованная в 1977 г. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1977 г.

Наибольшее число множителей

Специалисты по ЭВМ, использовав более 400 связанных между собой компьютеров, нашли множители 100-значного числа. Вычисления, занявшие 26 дней, ставят под вопрос надежность многих современных шифровальных систем.

Простые числа

Простым числом является любое положительное целое число (кроме 1), делящееся только на себя или на единицу, т.е. 2, 3, 5, 7 или 11. Самое маленькое простое число – 2. Самое большое простое число, 391 581·2 216193 – 1, было открыто 6 августа 1989 г. группой Aмдал-6 . Число, содержащее 65 087 знаков, было получено на суперкомпьютере «Амдал-1200» в Санта-Кларе, штат Калифорния, США. Группа также открыла самые большие парные простые числа: (1 706 595·2 11235 – 1) и (1 706 595·2 11235 + 1). Самым маленьким непростым или составным числом (кроме 1) является 4.

Совершенные числа

Число является совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа, например 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Самое маленькое совершенное число: 6 = 1 + 2 + 3.

Самое большое известное, 31-е по счету открытое на сегодняшний день, число: (2 216091 – 1)·2 216090 . Это число получено благодаря открытию в сентябре 1985 г. математиком Марсенном (США) числа 2 216091 – 1, которое в настоящее время известно как второе самое большое простое число.

Новейшая математическая константа

В ходе исследований турбулентного течения воды, погоды и других хаотических явлений выявилось существование новой универсальной константы – числа Фейгенбаума, названного по имени его первооткрывателя. Приблизительно оно равно 4,669201609102990.

Максимальное число доказательств теоремы

Самое длинное доказательство

Доказательство классификации всех конечных простых групп заняло более 14 тыс. страниц, вмещающих почти 500 научных работ, авторами которых явились более 100 математиков. Доказательство продолжалось более 35 лет.

Самая старая математическая задача

Она датируется 1650 г. до н.э. и в русской версии звучит следующим образом:

По дороге на Дижон
Встретил я мужа и семь его жён.
У каждой жены по семь тюков,
Вкаждом тюке по семь котов.
Сколько котов, тюков и жён
Мирно двигались в Дижон?

Самое большое претендовавшее на точность число в физике

Английский астроном сэр Артур Эддингтон (1882...1944) заявил в 1938 г., что во Вселенной ровно 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296 протонов и столько же электронов. К сожалению Эддингтона, никто не согласился с его сверхточными подсчетами, которые в настоящее время всерьёз не воспринимаются.

Самый плодовитый математик

Леонард Эйлер (Швейцария, Россия) (1707...1783) был настолько плодовит, что и через 50 с лишним лет после его смерти его труды все ещё печатались впервые. Собрание его сочинений частями выпускается в свет, начиная с 1910 г., и в конечном итоге составит 75 больших томов размером ин-кварто.

Самая большая премия

Д-р Пауль Вольфскелл завещал в 1908 г. премию в 100 тыс. немецких марок тому, кто первым докажет «Великую теорему» Ферма . В результате инфляции размер премии составляет сейчас немногим более 10 тыс. немецких марок.

Самый длительный поиск на ЭВМ ответа на вопрос: да или нет?

20-е число Ферма + 1 было проверено на суперкомпьютере «Крэй-2» в 1986 г. с целью ответа на вопрос, является ли оно простым. После 10 дней вычислений был получен ответ – НЕТ.

Самые неграмотные в математическом отношении

Люди племени намбиквара, живущие на северо-западе штата Мату-Гросу, Бразилия, самые неграмотные в математике. У них полностью отсутствует система чисел. Правда, они пользуются глаголом, который обозначает «они равны».

Самое точное и неточное значение числа π

Самое большое количество десятичных знаков числа π, равное 1 011 196 691 знаку после запятой, было получено в 1989 г. Дэвидом и Грегори Чудновски из Колумбийского университета, Нью-Йорк, США, использовавшими суперкомпьютер «Крэй-2» и сеть компьютеров ИБМ 3090. Вычисления были сверены для точности. Кстати, десятичные разряды π с 762-го по 767-й после запятой содержат 6 девяток подряд.

В 1897 г. Генеральная Ассамблея американского штата Индиана утвердила билль 246, согласно которому число π принималось равным 4. В 1853 г. Уильям Шанкс опубликовал свои расчеты числа π до 707-го десятичного знака, произведённые вручную. Спустя 92 года, в 1945 г., было обнаружено, что последние 180 цифр неверны.

Самые древние единицы измерения

Самой древней известной мерой веса является бека амратского периода египетской цивилизации (около 3800 г. до н.э.), найденная в Накаде, Египет. Гири были цилиндрической формы с закруглёнными концами. Они весили от 188,7 до 211,2 г.

По-видимому, строители гробниц эпохи мегалита на северо-западе Европы (около 3500 г. до н.э.) пользовались мерой длины, равной 82,9 ± 0,09 см. К такому выводу пришел профессор Александр Том (1894...1985) в 1966 г.

Измерение времени

Вследствие изменения продолжительности суток, которые увеличиваются в среднем на 1 мс за век под влиянием приливных сил Луны, было пересмотрено определение секунды. Вместо 1/86 400 части средних солнечных суток ее длительность с 1960 г. определяется как 1/315 569 259 747 часть солнечного (или тропического) года по состоянию на 12 часов эфемеридного времени января 1900 г. В 1958 г. секунда принята равной 9 192 631 770 ± 20 периодам излучения, соответствующего переходу между уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внешних полей. Самое большое суточное изменение было зарегистрировано 8 августа 1972 г., оно составляло 10 мс и было вызвано самой мощной солнечной бурей, наблюдаемой за последние 370 лет.

Точность цезиевого эталона частоты приближается к 8 частям на 10 14 , что выше, чем 2 части на 10 13 для гелиево-неонового лазера, стабилизированного метаном, и чем 6 частей на 10 13 для водородного мазера.

Самой длинной мерой времени является кальпа в индуистской хронологии. Она равна 4320 млн лет. В астрономии космический год есть период обращения Солнца вокруг центра Млечного Пути, он равен 225 млн лет. В позднем меловом периоде (около 85 млн лет назад) Земля вращалась быстрее, в результате чего год состоял из 370,3 суток. Имеются также свидетельства тому, что в эпоху кембрия (600 млн лет назад) год длился более 425 суток.

Книга рекордов Гиннеса, 1998 г.

Лев Николаевич Толстой шутливо «хвастался тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, а совершенных немного.

«Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области» (Аристотель).

Совершенные числа – исключительные числа, недаром еще древние греки видели в них некую совершенную гармонию. Например, число 5 не может быть совершенным числом еще и потому, что пятерочка образует пирамиду, несовершенную фигуру, в которой основание не симметрично боковым сторонам.

Но только два первых числа 6 и 28 месте действительно обожествляли. Есть много примеров: в Древней Греции на 6-ом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей. В Библии утверждается, что мир создан за 6 дней, ведь нет числа совершенней шести. Во-первых, 6 самое меленькое, самое первое совершенное число. Недаром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер. Во-вторых, 6 единственное натуральное число, равное произведению своих правильных натуральных делителей: 6=1*2*3. В-третьих, 6 – единственная совершенная цифра. В-четвертых, удивительными свойствами обладает число, состоящее из 3-х шестерок, 666 – число дьявола: 666 равно сумме сумме квадратов первых семи простых чисел и сумме первых 36-ти натуральных чисел:

666=22+32+52+72+112+132+172,

666=1+2+3++34+35+36.

Интересна одна геометрическая интерпретация 6, это правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Правильный шестиугольник состоит из шести треугольников, у которых все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник встречается в природе, это медовые соты пчел, а мед один из самых полезных продуктов в мире.

Теперь о 28. Древние римляне очень уважали это число, в римских академиях наук было строго по 28 членов, в египетском мере длина локтя 28 пальцев, в лунном календаре 28 дней. А про остальные совершенные числа ничего нет. Почему? Загадка. Совершенные числа вообще загадочные. Многие их загадки до сих пор не могут отгадать, хотя над этим задумывались более двух тысяч лет назад.

Одна из таких загадок, почему смесь совершеннейшего числа 6 и божественного 3, число 666, число дьявола. Вообще есть что-то непонятное между совершенными числами и христианской церковью. Ведь за нахождением хотя бы одного совершенного числа человеку прощались все его прегрешения, и жизнь в раю после смерти. Может церковь знает что-нибудь такое об этих числах, что никому и в голову не придет.

Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признаниям божественности этих удивительных чисел. Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин, один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только по тому несовершенен, в нем только поэтому царят зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге о потопа, а « восемь» - число несовершенное. Род людской до потопа был более совершенен – он произошел от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе – своему единственному делителю.

После Пифагора многие пытались найти следующие числа или формулу для их выведения, но это удалось только Евклиду через несколько веков после Пифагора. Он доказал, что, если число можно представить в виде 2 р-1(2 р-1), и (2 р -1) – простое, то оно совершенно. Действительно, если р=2, то 2 2-1(2 2 -1)=6, а если р=3, 2 3-1(2 3 -1)=28.

Благодаря этой формуле Евклид нашел еще два совершенных числа, при р=5: 2 5-1(2 5 -1)= 496, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, и при р= 7: 2 7-1(2 7 -1)=8128, 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.

И опять почти полторы тысячи лет не было просветов на небосклоне скрытных совершенных чисел, пока в 15 веке не было обнаружено пятое число, оно тоже подчинялось правилу Евклида, только при р=13: 2 13-1(2 13 -1)=33550336. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 264-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+ Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:

Кроме того, интересны представления совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике.

Еще через двести лет французский математик Марин Мерсенн без каких-либо доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями р, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был доказать, что числа 2 р-1(2 р -1) с указанными им значениями р являются простыми, но тогда это было выше человеческих сил. Так до сих пор и неизвестно как рассуждал Мерсенн, когда заявил, что его числа соответствуют совершенным числам Евклида. Есть предположение: если посмотреть на формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии 1+2+22++2k-2+2k-1, то видно, что числа Мерсенна есть не что иное, как простые суммы членов геометрической прогрессии с основанием 2:

67=1+2+64 и т. д.

Обобщенным числом Мерсенна можно назвать простое значение суммы членов геометрической прогрессии с основанием а:

1+а+а2++ак-1=(ак-1)/а-1.

Ясно, что множество всех обобщенных чисел Мерсенна совпадает с множеством всех нечетных простых чисел, поскольку если к – простое или к>2, то к=(к-2)к/к-2=(к-1)2-1/(к-1)-1.

Теперь каждый может самостоятельно исследовать и вычислять числа Мерсенна. Вот начало таблицы.

а к- при которых ак-1/а-1 просты

В настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.

Но это только предположение, свою тайну Мерсенн унес с собой в могилу.

Следующим в череде открытий совершенных был великий Леонард Эйлер, он доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанные Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны, но 67 и 257 не верны.

Р=17,8589869156 (шестое число)

Р=19,137438691328 (седьмое число)

Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).

Девятое число в 1883 году нашел, совершив настоящий подвиг, потому что считал без всяких приборов, сельский священник из под Перьми Иван Михеевич Первушин, он доказал что 2р-1, при р=61:

2305843009213693951- простое число, 261-1(261-1)= 2305843009213693951*260 – совершенно в нем 37 цифр.

В начале 20 столетия появились первые механические счетные машины, на этом кончилась эпоха, когда люди считали вручную. При помощи этих механизмов и ЭВМ были найдены все остальные совершенные числа, которые сейчас известны.

Десятое число было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры:

618970019642690137449562111*288, р=89.

Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:

162259276829213363391578010288127*2106, р=107.

Двенадцатое также нашли в 1914 году, 77 цифр р=127:2126(2127-1).

Четырнадцатое было обнаружено в тот же день, 366 цифр р=607, 2606(2607-1).

В июне 1952 года найдено 15-ое число 770 цифр р=1279, 21278(21279-1).

Шестнадцатое и семнадцатое открыто в октябре 1952 года:

22202(22203-1), 1327 цифр р=2203 (16-ое число)

22280(22281-1), 1373 цифры р=2281 (17-ое число).

Восемнадцатое число нашли в сентябре 1957 года, 2000 цифр р=3217.

Поиски последующих совершенных чисел требовали все больше объема вычислений, но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено 2 числа (р=4253 и р=4423), в 1965 году еще три числа (р=9689, р=9941, р=11213).

Сейчас известно более 30 совершенных чисел, р самого большого равно 216091.

Но это, по сравнению с загадками, которые оставил Евклид: существуют ли нечетные совершенные числа, конечен ли ряд четных евклидовских совершенных чисел и есть ли четные совершенные числа, не подчиняющиеся формуле Евклида – это и есть три самые главные загадки совершенных чисел. Одну из которых разгадал Эйлер, доказав, что четных совершенных чисел, кроме евклидовских не существует. 2 остальные остаются нерешенными даже в 21 веке, когда ЭВМ достигло такого уровня, что могут производить миллионы операций в секунду. Наличие нечетного несовершенного числа и существование наибольшего совершенного числа – до сих пор не решены.

Без сомнений, совершенные числа оправдывают свое название.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Это такие два числа, каждые из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующие пары дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в1636 году, а последующие числа находил Декарт, Эйлер и Лежандр. 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир с сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

И в конце предлагается решить следующие задачи, связанные с совершенными числами:

1. Докажите, что число вида 2 р-1(2 р -1), где 2к-1 – простое число, является совершенным.

2. Обозначим через, где - натуральное число, сумму всех его делителей числа. Докажите, что если числа - взаимно просты, то.

3. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними.

4. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля «Сикстинская Мадонна». Какое отношение он имеет к совершенным числам.

5. Вычислите первые 15 чисел Мерсенна. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют.

6. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа.

7. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

8. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28.

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, и 6 = 1+2+3.
Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем 28 = 1+2+4+7+14.
Можно заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этим свойством были названы совершенными.

Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные совершенные числа можно получить из формулы: 2 p –1 (2 p – 1) при условии, что р и 2 p есть числа простые. Таким путём было найдено около 20 чётных совершенных числа. До сих пор неизвестно ни одного нечётного совершенного числа и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования таких чисел были начаты пифагорейцами, приписывавшими им и их сочетаниям особый мистический смысл.

Первое самое меньшее совершенное число – это 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.

Второе по старшинству совершенное число – это 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Риме в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число – 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое – 8128 , пятое – 33 550 336 , шестое – 8 589 869 056 , седьмое – 137 438 691 328 .

Первые четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского, древнегреческого философа, математика и теоретика музыки.
Пятое совершенное число было выявлено в 1460 г, около 550 лет тому назад. Это число 33550336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век).

В XVI веке также немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. Пока известно 47 чётных совершенных чисел.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата
его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом.
Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита. Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы. Особое место среди них занимают совершенные числа.

Истоки

В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.

Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число - это 6. После него будет 28. Затем 496.

Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.

Ключ

Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.

Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.

Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.

Прогресс

Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее. Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число. В 2010 году - 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.

Есть еще одна интересная особенность. Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие - они все четные.

Немного истории

Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете. И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев. Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.

В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай - отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.

Последователи Пифагора

Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:

значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.

Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.

Правило Евклида

Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n - простое и 2n-1 будет простым.

Правилом Евклида пользовался Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.

Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.

Дальнейшие поиски математиков

Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название - числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.

А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.