Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).
Например, если v(t) = аt
, где а
– заданное число, то функция
s(t) = (аt 2) / 2
v(t),
так как
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).
Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .
Рассмотрим задачу.
Задача .
Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .
Решение .
1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).
2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).
3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).
Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.
Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).
Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).
Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.
Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.
Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.
Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.
Обратим внимание на правила нахождения первообразных.
Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).
Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.
Рассмотрим некоторые значения первообразных.
1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.
2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.
3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.
4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.
5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.
6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.
7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.
8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.
9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .
10)
Функция: cos (kx + b), k ≠ 0.
Первообразная: (1/k) sin (kx + b).
Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.
Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:
1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);
2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Первообразная.
Первообразную легко понять на примере.
Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:
(х 3)" = 3х 2 .
Следовательно, из функции у = х
3 мы получаем новую функцию: у
= 3х
2 .
Образно говоря, функция у
= х
3 произвела функцию у
= 3х
2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.
То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .
Определение первообразной:
В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .
Интегрирование.
Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Пример-пояснение :
у = 3х 2 + sin x .
Решение :
Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .
Первообразной для sin x является –cos x .
Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:
у = х 3 + (–cos x ),
у = х 3 – cos x .
Ответ
:
для функции у
= 3х
2 + sin x
у = х
3 – cos x
.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Следовательно, для функции у
= 2 sin x
первообразной является функция у
= –2 cos x
.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x
соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции y = sin 2x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :
1
y
= - · (–cos 2x
),
2
cos 2x
y
= – ----
2
cos 2x
Ответ
: для функции y
= sin 2x
первообразной является функция y
= – ----
2
(4)
Пример-пояснение .
Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .
Для этой функции все первообразные имеют вид:
cos 2x
y
= – ---- + C
.
2
Пояснение .
Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.
В таком же порядке читаются и остальные строчки.
Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:
(-cos x )" = sin x
Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.
Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .
Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .
Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.
Правило 1
Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.
По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Правило 2
Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k - некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.
Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Правило 3
Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).
Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:
Пример 1 . Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Пример 2 . Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:
F(x) = 5*sin(x).
Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Пример 4 . Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5
Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим.
Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.
Изучаем понятие "интеграл"
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?
С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа "Интеграл"
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Урок и презентация на тему: "Первообразная функция. График функции"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"
Первообразная функция. Введение
Ребята, вы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. Понятие производной часто применяется в реальной жизни. Напомню: производная – это скорость изменения функции в конкретной точке. Процессы, связанные с движением и скоростью, хорошо описываются в этих терминах.Давайте рассмотрим вот такую задачу: "Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой $V=gt$. Требуется восстановить закон движения.
Решение.
Мы хорошо знаем формулу: $S"=v(t)$, где S - закон движения.
Наша задача сводится к поиску функции $S=S(t)$, производная которой равна $gt$. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что $S(t)=\frac{g*t^2}{2}$.
Проверим правильность решения этой задачи: $S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"=\frac{g}{2}*2t=g*t$.
Зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполнили обратную операцию.
Но стоит обратить внимание вот на такой момент. Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число (константу), то значение производной не изменится:
$S(t)=\frac{g*t^2}{2}+c,c=const$.
$S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"+c"=g*t+0=g*t$.
Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.
Как называется такая операция?
Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
Первообразную принято записывать большой буквой $y=F"(x)=f(x)$.
Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.
Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить.
В нашей таблице никаких начальных условий задано не было. Значит к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Позже мы уточним это правило.
Правила нахождения первообразных
Давайте запишем несколько правил, которые нам помогут при нахождении первообразных. Все они похожи на правила дифференцирования.Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Пример.
Найти первообразную для функции $y=4x^3+cos(x)$.
Решение.
Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тогда первообразной исходной функции будет: $y=x^4+sin(x)$ или любая функция вида $y=x^4+sin(x)+C$.
Правило 2. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, то $k*F(x)$ – первообразная для функции $k*f(x)$. (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).
Пример.
Найти первообразные функций:
а) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac{2}{3}cos(x)$.
в) $y={3x}^2+4x+5$.
Решение.
а) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид:
$y=-8cos(x)$.
Б) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-\frac{2}{3}sin(x)$.
В) Первообразной для $x^2$ служит $\frac{x^3}{3}$. Первообразной для x служит $\frac{x^2}{2}$. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=3*\frac{x^3}{3}+4*\frac{x^2}{2}+5*x=x^3+2x^2+5x$.
Правило 3. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$, то первообразная для функции $y=f(kx+m)$ служит функция $y=\frac{1}{k}*F(kx+m)$.
Пример.
Найти первообразные следующих функций:
а) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac{x}{2})$.
в) $y={-2x+3}^3$.
г) $y=e^{\frac{2x+1}{5}}$.
Решение.
а) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная для функции $y=cos(7x)$ будет функция $y=\frac{1}{7}*sin(7x)=\frac{sin(7x)}{7}$.
Б) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная для функции $y=sin(\frac{x}{2})$ будет функция $y=-\frac{1}{\frac{1}{2}}cos(\frac{x}{2})=-2cos(\frac{x}{2})$.
В) Первообразной для $x^3$ служит $\frac{x^4}{4}$, тогда первообразная исходной функции $y=-\frac{1}{2}*\frac{{(-2x+3)}^4}{4}=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}$.
Г) Слегка упростим выражение в степени $\frac{2x+1}{5}=\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}$.
Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет $y=\frac{1}{\frac{2}{5}}e^{\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}*e^{\frac{2x+1}{5}}$.
Теорема. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке Х, то у функции $y=f(x)$ бесконечно много первообразных, и все они имеют вид $у=F(x)+С$.
Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.
Для функции $y=cos(7x)$ все первообразные имеют вид: $y=\frac{sin(7x)}{7}+C$.
Для функции $y=(-2x+3)^3$ все первообразные имеют вид: $y=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}+C$.
Пример.
По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=-3sin(4t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
Решение.
Так как $v=S’(t)$, нам надо найти первообразную для заданной скорости.
$S=-3*\frac{1}{4}(-cos(4t))+C=\frac{3}{4}cos(4t)+C$.
В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что $t=0$.
$S(0)=\frac{3}{4}cos(4*0)+C=\frac{7}{4}$.
$\frac{3}{4}cos(0)+C=\frac{7}{4}$.
$\frac{3}{4}*1+C=\frac{7}{4}$.
$C=1$.
Тогда закон движения описывается формулой: $S=\frac{3}{4}cos(4t)+1$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти первообразные функций:а) $y=-10sin(x)$.
б) $y=\frac{5}{6}cos(x)$.
в) $y={4x}^5+{3x}^2+5x$.
2. Найти первообразные следующих функций:
а) $y=cos(\frac{3}{4}x)$.
б) $y=sin(8x)$.
в) $y={(7x+4)}^4$.
г) $y=e^{\frac{3x+1}{6}}$.
3. По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=4cos(6t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 2.