Сложение двух когерентных световых волн, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

2.Малые колебания математического маятника. 8

3.Свободные затухающие механические колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент. 12

4.Электрические колебания в электромагнитном контуре. Свободные гармонические колебания. 14

5.Вынужденные колебания в электрических цепях. Явление резонанса. 23

6.Волны в упругой среде. Энергия упругой волны. Фазовая скорость, длина волны. Плоские и сферические волны. Стоячие волны. 25

7.Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Свойства волн (поперечность, синфазность, волновой вектор, интенсивность). Вектор Пойнтинга. 31

8.Когерентность волн. Сложение волн от двух когерентных источников. Разность фаз. Формула для суммарной интенсивности. Оптическая разность хода волн. Временная когерентность. 38

9.Явление интерференции. Условия, при выполнении которых. Пример опыта по интерференции двух когерентных волн. (Опыт Юнга. Бипризма Френеля. Зеркало Ллойда – по выбору). 39

10.Интерференционные кольца Ньютона. Вывод формул для радиусов темных и светлых колец. 41

11.Интерференция волн, отраженных от плоскопараллельной пластинки. 42

12.Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и на круглом диске. Метод зон Френеля. Векторная диаграмма (спираль Френеля). 42

1. Понятие о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда, частота и фаза гармонических колебаний. Уравнение гармонических колебаний. Колебания груза на пружине.

Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, повторяющиеся во времени. колебательное движение является периодическим.

Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Простейшим типом периодических колебаний являются так называемые гармонические колебания.

Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, F = – kx ), совершаетгармонические колебания .

Саму такую систему часто называют гармоническим осциллятором .

Периодический процесс можно описать уравнением:

По определению, колебания называются гармони-ческими, если зависимость некоторой величины x = f ( t ) имеет вид

Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x .

Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называетсяамплитудой и обозначается, буквойA .

определяет смещение x в данный момент времениt и называетсяфазой колебания.

называется начальной фазой колебания при.

Фаза измеряется в радианах.

Частота колебаний ν определяется, как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц):

1 Гц = 1 колеб. в секунду.

Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание

ω – циклическая (круговая ) частота – число полных колебаний за 2π секунд.

Фаза φ не влияет на форму кривой х (t ), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t.

Гармонические колебания являются всегда синусоидальными.

Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды .

Смещение описывается уравнением

Уравнения колебаний запишем в следующем виде:

1. Малые колебания математического маятника.

1. Свободные затухающие механические колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент.

Отличия в следующем.

При колебаниях, тело, возвращающееся в положении равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления трения.

1. Электрические колебания в электромагнитном контуре.Свободные гармонические колебания.

I = I 0 sin(t +)

Период колебаний определяется поформуле Томсона :

Свободные затухающие электрические колебания

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R . Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

Физический смысл добротности – отношение энергий

1. Вынужденные колебания в электрическихцепях. Явление резонанса.

Решение уравнения при большихt :

амплитуда колебаний заряда:

1. Волны в упругой среде. Энергия упругой волны. Фазовая скорость, длина волны. Плоские и сферические волны. Стоячие волны.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной

При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице, передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), и продольными (сгущение и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения).

Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости , возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими (звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны).

Упругие поперечные волны возникают в среде, обладающей сопротивлением сдвигу,

вследствие этого:

в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн;

в твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Уравнением волны – называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x , y , z ) и времени t .

Фазовая скорость. скорость распространения фазы есть

скорость распространения волны

1. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Свойства волн (поперечность, синфазность, волновой вектор, интенсивность). Вектор Пойнтинга.

Движущийся с ускорением электрический заряд испускает электромагнитные волны.

ЭМВ представляют собой поперечные волны и аналогичны другим типам волн.

Однако в ЭМВ происходят колебания полей, а не вещества, как в случае волн на воде или в натянутом шнуре.

Свойства волн!!!

1. Когерентность волн. Сложение волн от двух когерентных источников. Разность фаз. Формула для суммарной интенсивности. Оптическая разность хода волн. Временная когерентность.

Если частоты волн одинаковые, то зависимость от времени будет определяться только разностью начальных фаз колебаний и, каждая из которых в волнах от независимых источников случайным (хаотичным) образом меняется во времени. Если удастся каким-либо образом согласовать колебания так, чтобы эта разность не зависела от времени, или медленно менялась во времени, то интенсивность результирующей волны уже не будет равна сумме интенсивностей падающих волн и можно записать:

Такие «согласованные» по фазе волны называют когерентными.

Таким образом, две волны будут когерентными, если слагаемое , описывающее перераспределение интенсивности в пространстве, не обращается в нуль.

Когерентными являются, например, одинаково поляризованные волны, если их частоты одинаковы, а разность начальных фаз не зависит от времени.

Интерференция света –явление перераспределения потока световой энергии в пространстве при наложении (суперпозиции) двух или более световых волн.

1. Интерференционные кольца Ньютона. Вывод формул для радиусов темных и светлых колец.

Кольцевые полосы равной толщины , наблюдаемые в воздушном зазоре

между соприкасающимися выпуклой сферической поверхностью линзы малой кривизны и плоской поверхностью стекла , называют кольцами Ньютона .

1. Интерференция волн, отраженных от плоскопараллельной пластинки.

2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и на круглом диске. Метод зон Френеля. Векторная диаграмма (спираль Френеля).

Каждый элемент поверхности, которой достигла в данный момент волна (т.е. каждая точка волнового фронта) является центром вторичных волн, огибающая которых становится волновым фронтом в более поздний момент времени –принцип Гюйгенса

Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Не так давно мы довольно подробно обсуждали свойства световых волн и их интерференцию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом предполагалось, что частоты источников одинаковы. В этой же главе мы остановимся на некоторых явлениях, возникающих при интерференции двух источников с различными частотами.

Нетрудно догадаться, что при этом произойдет. Действуя так же, как прежде, давайте предположим, что имеются два одинаковых осциллирующих источника с одной и той же частотой, причем фазы их подобраны так, что в некоторую точку сигналы приходят с одинаковой фазой. Если это свет, то в этой точке он очень ярок, если это звук, то он очень громок, а если это электроны, то их очень много. С другой стороны, если приходящие волны отличаются по фазе на 180°, то в точке не будет никаких сигналов, ибо полная амплитуда будет иметь здесь минимум. Предположим теперь, что некто крутит ручку «регулировка фазы» одного из источников и меняет разность фаз в точке то туда, то сюда, скажем сначала он делает ее нулевой, затем - равной 180° и т. д. При этом, разумеется, будет меняться и сила приходящего сигнала. Ясно теперь, что если фаза одного из источников медленно, постоянно и равномерно меняется по сравнению с другим, начиная с нуля, а затем возрастает постепенно до 10, 20, 30, 40° и т. д., то в точке мы увидим ряд слабых и сильных «пульсаций», ибо когда разность фаз проходит через 360°, в амплитуде снова возникает максимум. Но утверждение, что один источник с постоянной скоростью меняет свою фазу по отношению к другому, равносильно утверждению, что число колебаний в 1 сек у этих двух источников несколько различно.

Итак, теперь известен ответ: если взять два источника, частоты которых немного различны, то в результате сложения получаются колебания с медленно пульсирующей интенсивностью. Иначе говоря, все сказанное здесь действительно имеет отношение к делу!

Этот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку . Пусть от одного источника приходит волна , а от другого - волна , причем обе частоты и не равны в точности друг другу. Разумеется, амплитуды их тоже могут быть различными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке при этом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от времени, как это показано на фиг. 48.1, то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина - практически нуль, а когда гребни снова совпадают, вновь получается большая волна.

Фиг. 48.1. Суперпозиция двух косинусообразных волн с отношением частот 8:10. Точное повторение колебаний внутри каждого биения для общего случая не типично.

Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полезные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что

и что вещественная часть экспоненты равна , а мнимая часть равна . Если мы возьмем вещественную часть , то получим , а для произведения

мы получаем плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,

Если теперь изменить знак величины , то, поскольку косинус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности

После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности

Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для , если просто положить , а , т. е. , а :

Но вернемся к нашей проблеме. Сумма и равна

Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность гораздо меньше, чем и , поскольку мы предположили, что и приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной первоначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульсирует с частотой, равной . Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.0) говорит, что амплитуда ведет себя как , и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза большую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интенсивности происходит с частотой , хотя мы и умножаем на косинус половинной частоты.

т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модулируется малой частотой.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеется не один, а несколько источников волн (осцилляторов). Излучаемые ими волны в некоторой области пространства будут оказывать совокупное действие. Прежде чем начать анализ того, что может произойти в результате, остановимся сначала на очень важном физическом принципе, которым неоднократно будем пользоваться в нашем курсе, - принципе суперпозиции. Суть его проста.

Предположим, что имеется не один, а несколько источников возмущения (ими могут быть механические осцилляторы, электрические заряды, и др.). Что будет отмечать прибор, регистрирующий одновременно возмущения среды от всех источников? Если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности независимо от наличия остальных - это и есть принцип суперпозиции, т.е. наложения. Этот принцип един для многих явлений, но его математическая запись может быть разной в зависимости от характера рассматриваемых явлений - векторного или скалярного.

Принцип суперпозиции волн выполняется не во всех случаях, а только в так называемых линейных средах. Среду, например, можно считать линейной, если ее частицы находятся под действием упругой (квазиупругой) возвращающей силы. Среды, в которых принцип суперпозиции не выполняется, называются нелинейными. Так, при распространении волн большой интенсивности линейная среда может становиться нелинейной. Возникают чрезвычайно интересные и технически важные явления. Это наблюдается при распространении в среде ультразвука большой мощности (в акустике) или лазерных лучей в кристаллах (в оптике). Научные и технические направления, занимающиеся изучением этих явлений, получили название нелинейной акустики и нелинейной оптики, соответственно.

Будем рассматривать только линейные эффекты. Применительно к волнам принцип суперпозиции утверждает, что каждая из них?,(х, t) распространяется независимо от того, есть ли в данной среде источники других волн или нет. Математически, в случае распространения N волн вдоль оси х, он выражается так

где с(х, 1) - суммарная (результирующая) волна.

Рассмотрим наложение двух монохроматических волн одинаковой частоты со и поляризации, распространяющихся по одному направлению (ось х) из двух источников

Будем наблюдать результат их сложения в определенной точке М, т.е. зафиксируем координату х = х м в уравнениях, описывающих обе волны:

При этом мы устранили двойную периодичность процесса и превратили волны в колебания, совершающиеся в одной точке М с одним временным периодом Т= 2л/со и различающиеся начальными фазами Ф, = к г х м и ф 2 = крс м, т.е.

и

Теперь для нахождения результирующего процесса t{t) в точке М мы должны сложить 2,! и q 2: W) = ^i(0 + с 2 (0- Мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее в подразделе 2.3.1. Используя формулу (2.21), получим амплитуду суммарного колебания А, выраженную через А, ф! и А 2 , фг, как

Значение А м (амплитуда суммарного колебания в точке М) зависит от разности фаз колебаний Аф = ф 2 - ф). Что происходит в случае разных значений Дф, подробно рассмотрено в подразделе 2.3.1. В частности, если эта разность Аф остается все время постоянной, то в зависимости от ее значения может получиться так, что в случае равенства амплитуд А = А 2 = А результирующая амплитуда А м будет равной нулю или 2А.

Чтобы явление увеличения или уменьшения амплитуды при наложении волн (интерференции) можно было наблюдать, необходимо, как уже говорилось, чтобы разность фаз Дф = ф 2 - ф! оставалась постоянной. Это требование означает, чтобы колебания были когерентными. Источники колебаний называются когерентными ", если разность фаз возбуждаемых ими колебаний не изменяется с течением времени. Волны, порожденные такими источниками, также являются когерентными. Кроме того, необходимо, чтобы складываемые волны были одинаково поляризованными, т.е. чтобы смещения частиц в них происходили, например, в одной плоскости.

Видно, что осуществление интерференции волн требует соблюдения нескольких условий. В волновой оптике это означает создание когерентных источников и реализации способа сложения возбуждаемых ими волн.

1 Различают когерентность (от лат. cohaerens - «находящийся в связи») временную, связанную с монохроматичностью волн, о которой и идет речь в данном разделе, и пространственную когерентность, нарушение которой характерно для протяженных источников излучения (нагретых тел, в частности). Особенности пространственной когерентности (и некогерентности) мы не рассматриваем.

1. Сложение световых волн от естественных источников света.

2. Когерентные источники. Интерференция света.

3. Получение двух когерентных источников из одного точечного источника естественного света.

4. Интерферометры, интерференционный микроскоп.

5. Интерференция в тонких пленках. Просветление оптики.

6. Основные понятия и формулы.

7. Задачи.

Свет имеет электромагнитную природу, и распространение света - это распространение электромагнитных волн. Все оптические эффекты, наблюдаемые при распространении света, связаны с колебательным изменением вектора напряженности электрического поля Е, который называют световым вектором. Для каждой точки пространства интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора волны, приходящей в эту точку: I ~ Е m 2 .

20.1. Сложение световых волн от естественных источников света

Выясним, что происходит в том случае, когда в данную точку приходят две световые волны с одинаковыми частотами и параллельными световыми векторами:

При этом для интенсивности света получается выражение

При получении формул (20.1) и (20.2) мы не рассматривали вопроса о физической природе источников света, создающих колебания Е 1 и Е 2 . По современным представлениям, элементарными источниками света являются отдельные молекулы. Излучение света молекулой происходит при ее переходе с одного энергетического уровня на другой. Длительность такого излучения очень мала (~10 -8 с), а момент излучения есть событие случайное. При этом образуется ограниченный во времени электромагнитный импульс протяженностью около 3 м. Такой импульс называется цугом.

Естественными источниками света являются тела, нагретые до высоких температур. Свет такого источника представляет собой совокупность огромного числа цугов, испущенных различными молекулами в различные моменты времени. Поэтому среднее значение cosΔφв формулах (20.1) и (20.2) получается равным нулю, и эти формулы принимают следующий вид:

Интенсивности естественных источников света в каждой точке пространства складываются.

Волновая природа света в данном случае не проявляется.

20.2. Когерентные источники. Интерференция света

Результат сложения световых волн будет иным, если разность фаз для всех цугов, приходящих в данную точку, будет иметь постоянное значение. Для этого необходимо использовать когерентные источники света.

Когерентными называются источники света одинаковой частоты, обеспечивающие постоянство разности фаз для волн, приходящих в данную точку пространства.

Световые волны, испущенные когерентными источниками, также называют когерентными волнами.

Рис. 20.1. Сложение когерентных волн

Рассмотрим сложение двух когерентных волн, испущенных источниками S 1 и S 2 (рис. 20.1). Пусть точка, для которой рассматривается сложение этих волн, удалена от источников на расстояния s 1 и s 2 соответственно, а среды, в которых распространяются волны, имеют различные показатели преломления n 1 и n 2 .

Произведение длины пути, пройденного волной, на показатель преломления среды (s*n) называется оптической длиной пути. Абсолютная величина разности оптических длин называется оптической разностью хода:

Мы видим, что при сложении когерентных волн величина разности фаз в данной точке пространства остается постоянной и определяется оптической разностью хода и длиной волны. В тех точках, где выполняется условие

cosΔφ = 1, и формула (20.2) для интенсивности результирующей волны принимает вид

В этом случае интенсивность принимает максимально возможное значение.

Для точек, в которых выполняется условие

Таким образом, при сложении когерентных волн происходит пространственное перераспределение энергии - в одних точках энергия волны увеличивается, а в других уменьшается. Это явление называется интерференцией.

Интерференция света - сложение когерентных световых волн, в результате которого происходит пространственное перераспределение энергии, приводящее к образованию устойчивой картины их усиления или ослабления.

Равенства (20.6) и (20.7) являются условиями максимума и минимума интерференции. Их удобнее записывать через разность хода.

Максимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн (четному числу полуволн).

Целое число k называется порядком интерференционного максимума.

Аналогично получается условие минимума:

Минимум интенсивности при интерференции наблюдается тогда, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.

Интерференция волн проявляется особенно отчетливо, когда интенсивности волн близки. В этом случае в области максимума интенсивность в четыре раза превышает интенсивность каждой волны, а в области минимума интенсивность практически равна нулю. Получается интерференционная картина из ярких светлых полос, разделенных темными промежутками.

20.3. Получение двух когерентных источников из одного точечного источника естественного света

До изобретения лазера когерентные источники света создавали путем расщепления световой волны на два пучка, которые интерферировали между собой. Рассмотрим два таких метода.

Метод Юнга (рис. 20.2). На пути волны, идущей от точечного источника S, установлена непрозрачная преграда с двумя небольшими отверстиями. Эти отверстия и являются когерентными источниками S 1 и S 2 . Так как вторичные волны, исходящие из S 1 и S 2 , принадлежат одному волновому фронту, то они являются когерентными. В области перекрытия этих световых пучков наблюдается интерференция.

Рис. 20.2. Получение когерентных волн методом Юнга

Обычно отверстия в непрозрачной преграде делают в виде двух узких параллельных щелей. Тогда интерференционная картина на экране представляет собой систему светлых полос, разделенных темными промежутками (рис. 20.3). Светлая полоса, соответствующая

Рис. 20.3. Интерференционная картина, соответствующая методу Юнга, k - порядок спектра

максимуму нулевого порядка, располагается в центре экрана таким образом, что расстояния до щелей одинаковы. Справа и слева от нее располагаются максимумы первого порядка и т.д. При освещении щелей монохроматическим светом светлые полосы имеют соответствующий цвет. При использовании белого света максимум нулевого порядка имеет белый цвет, а остальные максимумы имеют радужную окраску, так как максимумы одного порядка для разных длин волн образуются в разных местах.

Зеркало Ллойда (рис. 20.4). Точечный источник S находится на небольшом расстоянии от поверхности плоского зеркала М. Интерферируют прямой и отраженный лучи. Когерентными источниками являются первичный источник S и его мнимое изображение в зеркале S 1 . В области перекрытия прямого и отраженного пучков наблюдается интерференция.

Рис. 20.4. Получение когерентных волн с использованием зеркала Ллойда

20.4. Интерферометры, интерференционный

микроскоп

На использовании интерференции света основано действие интерферометров. Интерферометры предназначены для измерения показателей преломления прозрачных сред; для контроля формы, микрорельефа и деформации поверхностей оптических деталей; для обнаружения примесей в газах (используются в санитарной практике для контроля чистоты воздуха в помещениях и шахтах). На рисунке 20.5 показана упрощенная схема интерферометра Жамена, который предназначен для измерения показателей преломления газов и жидкостей, а также для определения концентрации примесей в воздухе.

Лучи белого света проходят через два отверстия (метод Юнга), а затем через две одинаковые кюветы К 1 и К 2 , заполненные веществами с различными показателями преломления, один из которых известен. Если бы показатели преломления были одинаковы, то белый интерференционный максимум нулевого порядка располагался бы в центре экрана. Различие в показателях преломлений приводят к появлению оптической разности хода при прохождении кювет. В результате максимум нулевого порядка (его называют ахроматическим) смещается относительно центра экрана. По величине смещения определяют второй (неизвестный) показатель преломления. Приведем без вывода формулу для определения разности между показателями преломления:

где k - число полос, на которое сместился ахроматический максимум; l - длина кюветы.

Рис. 20.5. Ход лучей в интерферометре:

S - источник, узкая щель, освещенная монохроматическим светом; Л - линза, в фокусе которой находится источник; К - одинаковые кюветы длины l ; Д - диафрагма с двумя щелями; Э -экран

С помощью интерферометра Жамена можно определять разницу в показателях преломления с точностью до шестого десятичного знака. Столь высокая точность позволяет обнаруживать даже небольшие загрязнения воздуха.

Интерференционный микроскоп представляет собой сочетание оптического микроскопа и интерферометра (рис. 20.6).

Рис. 20.6. Ход лучей в интерференционном микроскопе:

М - прозрачный объект; Д - диафрагма; О - окуляр микроскопа для

наблюдения интерферирующих лучей; d - толщина объекта

В связи с разницей показателей преломления объекта М и среды лучи приобретают разность хода. В результате между объектом и средой образуется световой контраст (при монохроматическом свете) или объект станет окрашенным (при белом свете).

Этот прибор применяется для измерения концентрации сухого вещества, размеров прозрачных неокрашенных микрообъектов, которые неконтрастны в проходящем свете.

Разность хода определяется толщиной d объекта. Оптическую разность хода можно измерить с точностью до сотых долей длины волны, что дает возможность количественно исследовать структуру живой клетки.

20.5. Интерференция в тонких пленках. Просветление оптики

Хорошо известно, что пятна бензина на поверхности воды или поверхность мыльного пузыря имеют радужную окраску. Радужную окраску имеют и прозрачные крылья стрекоз. Возникновение окраски объясняется интерференцией световых лучей, отраженных

Рис. 20.7. Отражение лучей в тонкой пленке

от передней и задней сторон тонкой пленки. Рассмотрим это явление подробнее (рис. 20.7).

Пусть луч 1 монохроматического света падает из воздуха на переднюю поверхность мыльной пленки под некоторым углом α. В точке падения наблюдаются явления отражения и преломления света. Отраженный луч 2 возвращается в воздушную среду. Преломленный луч отражается от задней поверхности пленки и, преломившись на передней поверхности, выходит в воздушную среду (луч 3) параллельно лучу 2.

Пройдя через оптическую систему глаза, лучи 2 и 3 пересекаются на сетчатке, где и происходит их интерференция. Расчеты показывают, что для мыльной пленки, находящейся в воздушной среде, разность хода между лучами 2 и 3 вычисляется по формуле

Различие связано с тем, что при отражении света от оптически более плотной среды его фаза изменяется на π, что равносильно изменению оптической длины пути луча 2 на λ/2. При отражении от менее плотной среды изменения фазы не происходит. У пленки бензина на поверхности воды отражение от более плотной среды происходит дважды. Поэтому добавка λ/2 появляется у обоих интерферирующих лучей. При нахождении разности хода она уничтожается.

Максимум интерференционной картины получается для тех углов зрения (α), которые удовлетворяют условию

Если бы мы смотрели на пленку, освещенную монохроматическим светом, то мы бы видели несколько полос соответствующего цвета, разделенных темными промежутками. При освещении пленки белым светом мы видим интерференционные максимумы различных цветов. Пленка при этом приобретает радужную окраску.

Явление интерференции в тонких пленках используется в оптических устройствах, уменьшающих долю световой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличивающих (вследствие закона сохранения энергии), следовательно, энергию, поступающую к регистрирующим системам - фотопластинке, глазу.

Просветление оптики. Явление интерференции света находит широкое применение в современной технике. Одним из таких применений является «просветление» оптики. В современных оптических системах используются многолинзовые объективы с большим числом отражающих поверхностей. Потери света при отражении могут достигать 25 % в объективе фотоаппарата и 50 % в микроскопе. Кроме того, многократные отражения ухудшают качество изображения, например, возникает фон, уменьшающий его контрастность.

Для уменьшения интенсивности отраженного света объектив покрывают прозрачной пленкой, толщина которой равна 1 / 4 длины волны света в ней:

где λ П - длина световой волны в пленке; λ - длина световой волны в вакууме; n - показатель преломления вещества пленки.

Обычно ориентируются на длину волны, соответствующую середине спектра используемого света. Материал пленки подбирают так, чтобы его показатель преломления был меньше, чем у стекла объектива. В этом случае для вычисления разности хода используется формула (20.11).

Основная доля света падает на объектив под малыми углами. Поэтому можно положить sin 2 α ≈ 0. Тогда формула (20.11) принимает следующий вид:

Таким образом, лучи, отраженные от передней и задней поверхностей пленки, находятся в противофазе и при интерференции почти полностью гасят друг друга. Это имеет место в средней части спектра. Для других длин волн интенсивность отраженного пучка также уменьшается, хотя и в меньшей степени.

20.6. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

20.7. Задачи

1. Какова пространственная протяженность L цуга волн, образующегося за время t высвечивания атома?

Решение

L = c*t = 3х10 8 м/сх10 -8 с = 3 м. Ответ: 3 м.

2. Разность хода волн от двух когерентных источников света равна 0,2 λ. Найти: а) чему равна при этом разность фаз, б) каков результат интерференции.

3. Разность хода волн от двух когерентных источников света в некоторой точке экрана равна δ = 4,36 мкм. Каков результат интерференции, если длина волны λ равна: а) 670; б) 438; в) 536 нм?

Ответ: а) минимум; б) максимум; в) промежуточная точка между максимумом и минимумом.

4. На мыльную пленку (n = 1,36) падает белый свет под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки h она приобретет желтоватый оттенок (λ = 600 нм) при рассматривании ее в отраженном свете?

5. Мыльная пленка толщиной h = 0,3 мкм освещается белым светом, падающим перпендикулярно ее поверхности (α = 0). Пленка рассматривается в отраженном свете. Показатель преломления мыльного раствора равен n = 1,33. Какого цвета будет при этом пленка?

6. Интерферометр освещается монохроматическим светом с λ = 589 нм. Длина кювет l = 10 см. Когда воздух в одной кювете заменили на аммиак, ахроматический максимум сместился на k = 17 полос. Показатель преломления воздуха n 1 = 1,000277. Определить показатель преломления аммиака n 1 .

n 2 = n 1 + kλ/l = 1,000277 + 17*589*10 -7 /10 = 1,000377.

Ответ: n 1 = 1,000377.

7. Для просветления оптики применяют тонкие пленки. Какой толщины должна быть пленка, чтобы пропускать без отражения свет длины волны λ = 550 нм? Показатель преломления пленки n = 1,22.

Ответ: h = λ/4n = 113 нм.

8. Как по внешнему виду отличить просветленную оптику? Ответ: Так как нельзя одновременно погасить свет всех длин

волн, то добиваются гашения света, соответствующего середине спектра. Оптика приобретает фиолетовую окраску.

9. Какую роль выполняет покрытие с оптической толщиной λ/4, нанесенной на стекло, если показатель преломления вещества покрытия больше показателя преломления стекла?

Решение

В этом случае происходит потеря полуволны только на границе пленка-воздух. Поэтому разность хода получается равной λ вместо λ/2. При этом отраженные волны усиливают, а не гасят друг друга.

Ответ: покрытие является отражающим.

10. Лучи света, падающие на тонкую прозрачную пластинку под углом α = 45°, окрашивают ее при отражении в зеленый цвет. Как будет меняться цвет пластинки при изменении угла падения лучей?

При α = 45° условия интерференции соответствуют максимуму для зеленых лучей. При увеличении угла левая часть уменьшается. Следовательно, должна уменьшаться и правая часть, что соответствует увеличению λ.

При уменьшении угла λ будет уменьшаться.

Ответ: при увеличении угла окраска пластинки будет постепенно меняться в сторону красного цвета. При уменьшении угла окраска пластинки будет постепенно меняться в сторону фиолетового цвета.

1. Сложение однонаправленных волн. Пусть на оси ОХ находятся два источника S 1 и S 2 в точках с координатами х 1 и х 2 (рис.81). В момент времени t = 0 источники начали излучать две монохроматические одинаковой частоты w линейно поляризованные в одной плоскости световые волны.

, (10.1)

, (10.2)

Здесь v - скорость распростране-ния волны.

Электрическое и магнитное поля подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому при наложении волн в любой точке А их напряженности складываются. . (10.3)

Здесь j = w(х 2 – х 1 )/v - сдвиг фаз между волнами. Помимо параметров волны w и v на него влияет расстояние между источниками D = х 2 – х 1 .

Сдвиг фаз определяет амплитуду Е а суммарной волны .(10.4)

Если разность фаз в данной точке пространства постоянна, то амплитуда результирующего колебания в этой точке постоянна. В зависимости от разности фаз j в точке будет наблюдаться или усиление интенсивности света (j = 0, Е а = Е а1 + Е а2), или ослабление (j = p , Е а = Е а1 – Е а2). При равенстве амплитуд Е а1 = Е а2 и при j = p , Е а = Е а1 – Е а2 = 0. Происходит полное гашение света.

2. Интерференционная картина. В реальных случаях складываемые волны сходятся обычно под некоторым углом друг к другу (рис.82). В результате в разных точках пространства А 1 , А 2 , А 3 … разность фаз j оказывается разной. Возникает пространственное распределение интенсивности света в виде чередующихся светлых и темных полос. Это так называемая интерференционная картина .

Явление сложения волн с одинаковой частотой и постоянной во времени, достаточном для наблюдения, разностью фаз, при котором происходит перераспределение интенсивности в пространстве, называется интерференцией. Интерференционная картина наиболее контрастна, когда амплитуды складываемых волн одинаковы.

3. Когерентность (от лат. cohaerens – находящийся в связи) – согласованность во времени нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющаяся при их сложении . Естественные источники света состоят из огромного количества хаотически вспыхивающих и потухающих излучателей – атомов и молекул. Через каждую точку оптически прозрачной среды, окружающей источник, проходят друг за другом цуги волн, испущенные разными атомами и имеющие разные амплитуды, фазы и частоты. Поэтому сделать два не лазерных источника света когерентными принципиально невозможно.

Получение когерентных лучей от естественных источников возможно путем расщепления луча от одного источника и создания между ними постоянного сдвига фаз. В этом случае лучи повторяют себя во всех деталях и потому могут интерферировать между собой.

Но при создании разности фаз надо помнить, что цуг волн, испущенный отдельным атомом, имеет конечную протяженность вдоль луча. При длительности испускания 10 –11 ¸ 10 –8 с эта протяженность не превышает 1 ¸ 3 м. Поэтому можно сказать, что через каждые 10 -8 с волна, излучаемая даже одним атомом меняется.

Но даже отдельный цуг не есть отрезок синусоиды. Фаза колебания вектора Е на его протяжении непрерывно изменяется. Поэтому «голова» цуга не когерентна его «хвосту».

Время t , в течение которого фаза колебаний в световой волне, измеряемая в постоянной точке пространства, изменяется на p , называется временем когерентности . Расстояние сt , где с – скорость света, измеренное вдоль направления распространения волны, называется длиной когерентности . Свет разных источников имеет длину когерентности от нескольких микрометров до нескольких километров:

– солнечный свет, сt » 1 ¸ 2 мкм,

– спектры разреженных газов, сt » 0,1 м,

– лазерное излучение, сt » 1 ¸ 2 км.

Для описания когерентных свойств волны в плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, применяют термин простран-ственная когерентность . Она определяется площадью круга диаметром l , во всех точках которого разность фаз не превышает величины p .

Пространство когерентности у точечного источника естественного света приближается к объему усеченного конуса длинной несколько мкм и диаметром основания несколько мм (рис.83). С удалением от источника оно увеличивается.

4. Построение интерференционной картины методом Юнга. Первую схему двух-лучевой интерференции предложил в 1802 г. Томас Юнг. Он первый в ясной форме установил принципы сложения амплитуд и дал объяснение интерференции в волновой модели света. Суть схемы Юнга сводится к следующему.

Нормально лучам от естественного источника света устанавливается экран Э 1 с узкой щелью S . Эта щель играет роль точечного источника света S . Распространяющаяся от S цилиндрическая волна возбуждает в щелях S 1 и S 2 экрана Э 2 когерентные колебания. Поэтому волны, распростра-няющиеся от щелей S 1 и S 2 , при взаимо-действии дают на экране Э 3 интер-ференционную картину в виде системы параллельных щелям полос (рис.84).

Хотя на практике метод Юнга не применяется из-за слабой освещенности экрана Э 3 , он удобен для теоретического изучения двухлучевой интерференции с целью получения количественных оценок. Для этого представим схему Юнга в виде, показанном на рис.85.

Если S 1 и S 2 – когерентные источники света, излучающие в одинаковой фазе, то в любую произвольную точку А экрана Э 3 будут приходить волны с разностью хода D = l 2 – l 1 . Полагая на рисунке а<, из приближенного условия D/а = yçL получаем величину разности хода, D = аyçL . Она набегает тем больше, чем дальше точка наблюдения А от оси симметрии ОХ интерференционной картины (координата y ), чем больше расстояние между щелями и чем ближе экран Э 3 к щелям (расстояние L ).

Максимум освещенности будет в тех точках экрана, где D составляет целое число волн, а минимум освещенности - где D составляет нечетное число полуволн.

Рис.85

, k = 0, 1, 2, 3, (max), (10.5)

, k = 1, 2, 3,(min), (10.6)

Здесь k – номер полосы. При малых углах j полосы располагаются равномерно. Расстояние между соседними темными или соседними светлыми полосами равно

. (10.7)

Оно тем больше, чем меньше расстояние а между источниками и чем больше расстояние L от источников до экрана.

При а = 1 мм, L = 1 м, Dу = 0,5×10 –6 ×1ç 10 –3 = 0,5 мм для зеленых лучей.

5. Контрастность интерференционной картины зависит от протяженности источника света S и от степени монохроматичности света .

а. Влияние немонохроматичности света. В том случае, когда интерферируют немонохроматичные волны, максимумы на экране для разных длин волн не совпадают. В результате интерференционная картина размывается. Она полностью смазывается, когда на k -ый максимум волны с длиной l + Dl приходится k + 1-й максимум волны с длиной l .

Все пространство минимума для волны l занято максимумами с длинами от l до l + Dl .

Критерий монохроматичности ограничивает число наблюдаемых полос. Например для солнечного света с l от 0,4 до 0,8 мкм весь спектральный диапазон можно представить в виде: l = l 0 ± Dl = 0,6± 0,2 мкм. Максимальный порядок наблюдающейся интерференционной полосы k max = l 0 / Dl = 0,6/ 0,2 = 3. Значит, могут наблюдаться 6 темных полос, соответствующих k = –3, –2, –1, +1, +2, +3.

Сжимая с помощью светофильтров спектральный интервал, можно увеличить число и контрастность наблюдаемых полос.

б. Влияние протяженности источника. Пусть ширина щели S равна b (рис.86). Чтобы щели S 1 и S 2 излучали в одной фазе, нужно, чтобы лучи, приходящие в каждую щель от разных точек источника S , имели малую разность хода D, не более четверти длины волны. . (10.9)

Угол w обычно не больше 1°. Поэтому ограничение по ширине щели можно записать так: . Но w = аç2d , где а - расстояние между щелями S 1 и S 2 , d - расстояние от щели S до S 1 и S 2 . Тогда b (10.10)

При а = 1 мм, d = 1 м, l = 0,6×10 –6 м, b< 0,6×10 –6 ×1ç 2×10 –3 = 0,3×10 –3 м = 0,3 мм. Для получения хорошей контрастности эта величина должна быть уменьшена еще в 3-4 раза.

6. Практические методы наблюдения интерференции.

а. Бизеркала Френеля, 1816 г. (рис.87). Свет от источника, заключенного в светонепроницаемый кожух, через отверстие в нем попадает расходящимся пучком на два плоских зеркала. Угол между зеркалами a » 179°.

Рис.88

Достоинство метода – хорошая освещен-ность, недостаток – сложность юстировки зеркал на оптической скамье.

б. Бипризма Френеля, 1819 г. (рис.88). Достоинства – хорошая освещенность и простота юстировки, недостаток – требуется специальная бипризма, изделие оптической промышленности.

Здесь S 1 и S 2 – мнимые изображения источника света S.

в. Билинза Бийе, 1845 г. (рис.89). Собирающая или рассеивающая линза разрезается (раскалывается) по диаметру, и обе половины слегка раздвигаются в стороны.

Чем дальше раздвинуты друг от друга полулинзы, тем сильнее сжата интерференцион-ная картина, тем уже полосы. Здесь S 1 и S 2 – действительные изображения источника света S.

г. Зеркало Ллойда, 1837 г. (рис.90). Прямой пучок от источника S интерферирует с пучком, отраженным от зеркала.

Здесь S – освещенная щель, S 1 – ее мнимое изображение.