Расстояние как интеграл.
Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено? Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до , то замедляется, затем где-то останавливается у светофора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет , тогда по формуле можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В результате мы получим много маленьких отрезков, которые в сумме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или , где греческая буква (сигма) означает суммирование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем умноженные на :
причем каждый последующий момент находится по правилу . Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время все же изменяется. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы , т. е. разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути:
. (8.7)
Таблица 8.4 Скорость падающего шара
Математики придумали для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок превращается в , напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в - искаженное большое , первая буква латинского слова «Summa». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем
Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. выражающаяся через комбинацию известных нам функций, дифференцируется очень просто - вся операция выполняется чисто алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каждого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В таких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими интервалами, пока не получат результате достаточной точностью.
Кратко остановимся на понятиях гамильтоновой механики, которые нам будут необходимы при изучении динамики движения частиц . Однако большая часть длинных доказательств не приводится. Если материал окажется для читателя незнакомым, советуем обращаться к Голдстейну. С помощью координатных преобразований можно получить различные эквивалентные формы уравнений движения. Одну из таких форм можно получить, вводя функцию Лагранжа
где пробегают все степени свободы; кинетическая энергия; потенциальная энергия; считаем, что связи не зависят от
времени. Уравнения движения в лагранжевой форме для каждой координаты имеют следующий вид:
где Q - силы, не вытекающие из потенциала (силы трения). Уравнения (1.20) могут быть также выведены из вариационного принципа или непосредственным сравнением с ньютоновскими законами движения. Если мы определим гамильтониан через
не определяя пока продифференцируем то получим
где выражение (1.20) подставлено в третью сумму с правой стороны. Если затем определить посредством выражения
то первая сумма с правой стороны тождественно обратится в нуль, и, приравняв коэффициенты при одинаковых дифференциалах, получим форму уравнений движения, содержащую только первые производные:
Здесь обобщенный импульс, который для случая, обсуждавшегося ранее, сводится к обычному импульсу. В последующих параграфах мы будем предполагать, что все силы имеют потенциал; в этом случае и (1.24) сводится к (1.1) - каноническим уравнениям Гамильтона.
В ситуациях, где не могут быть полностью решены уравнения движения, можно получить значительную информацию относительно движения частиц, если есть возможность найти интегралы движения. Ранее качественно показано, каких упрощений можно добиться при существовании таких интегралов. Выведем некоторые свойства констант движений для гамильтоновых систем. Записывая
полную производную по времени от произвольной функции и подставляя уравнения Гамильтона (1.1), получаем
Если не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом, то член в круглых скобках исчезает, и -интеграл движения. Ясно, что если гамильтониан не является явной функцией времени, то он - интеграл движения. Если мы в качестве функции возьмем одну из компонент импульса (предполагается, что она неявная функция времени), а соответствующая координата - циклическая в гамильтониане (т. е. из (1.20) или непосредственно из уравнений Гамильтона получаем, что таким образом, интеграл движения:
Для гамильтониана, независящего явно от времени, и для специального случая, когда все координаты циклические,
Интегрируя, получаем соотношение
которое дает решение для временной зависимости переменных. Если можно найти такое преобразование, которое переводит все импульсы в константы, то выражения (1.26) - решения в преобразованной системе координат. Тогда обратное преобразование дает полное решение, записанное в первоначальных координатах.
Мы уже нашли преобразование от лагранжевой формы с переменными к гамильтоновым пер еменным Более общее преобразование ведет к теории Гамильтона - Якоби классической механики. Для перехода от переменных к новой группе переменных их можно связать посредством функции, зависящей от одной старой и одной новой переменных. Так как лагранжиан выводится из вариационного принципа, то, используя (1.21), имеем
запись можно сделать либо для координат с черточкой, либо для координат без черточки. Таким обр азом, подынтегральное выражение (1.27) для двух групп координат отличается самое большее на полный дифференциал некоторой функции, что можно выразить следующим образом:
где мы произвольно предположили, что функция Расписывая полную производную от получаем
Считая, что переменные в (1.29) независимы, находим, сравнивая члены в (1.28) и требуя, чтобы члены при равнялись нулю, что
Можно также определить произвольные функции как функции других пар переменных:
Если, к примеру, образуем преобразованием Лежандра
то получим уравнения преобразования:
Функции определяются преобразованиями, сходными с (1.31), которые ведут к соответствующим уравнениям преобразования.
С помощью этих преобразований можно показать, хотя бы формально, как могут быть решены уравнения движения динамической системы. Заслуживают интереса два случая: один - с зависящим от времени гамильтонианом, другой - с гамильтонианом, не зависящим от времени. В первом случае положим что эквивалентно преобразованию к новым координатам и импульсам, производные по времени от которых, как следует из канонических уравнений движения, равны нулю. Таким образом, координаты и импульсы сами являются константами, что можно конкретизировать как начальные значения непреобразойанных величин. Таким образом, уравнения преобразования являются в действительности
нием, дающим координату и импульс в любой момент времени в зависимости от начальных значений. Подставляя (1.32) в (1.34) с получаем дифференциальное уравнение в частных производных.
При работе с цифровыми и аналоговыми датчиками порой возникает задача интегрирования их показаний. Так например, операция интегрирования лежит в основе работы фильтра нижних частот. А интегрирование показаний гироскопа служит основой практически любой системы стабилизации балансирующих роботов или мультикоптеров. Поскольку природа цифровых устройств позволяет реализовать на их основе только дискретное интегрирование (ДИ), то речь в данной статье пойдет о реализации именно таких методов.
1. Метод прямоугольников
Из школьного курса мы знаем, что геометрический смысл определенного интеграла заключается в нахождении площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой подынтегральной функции и снизу осью абсцисс.
Суть метода прямоугольников сводится к тому, чтобы разбить всю площадь под кривой на равные по ширине прямоугольники (см. рисунок), а затем сложить вместе их площадь. Вычисление площадей прямоугольников будем выполнять последовательно, шаг за шагом. Таким образом, на шаге n нам потребуется вычислить следующее выражение:
y(n) = y(n-1) + x(n-1)*T
где:
n
— номер текущего шага;
y(n)
— значение интеграла на шаге n;
y(n-1)
— значение интеграла на предыдущем шаге n-1;
x(n-1)
— значение подынтегральной функции на предыдущем шаге n-1;
T
— приращение времени на текущем шаге.
Другими словами, на каждом этапе работы алгоритма мы прибавляем к уже накопленной площади, новый прямоугольник, который на картинке отмечен пунктиром.
Как видно из рисунка, при расчете площади мы упускаем из виду небольшие криволинейные треугольники, которые образуются между верхней стороной прямоугольника и кривой. Сумма площадей этих треугольников дает нам суммарную погрешность данного метода, которая является самой высокой среди всех остальных подходов.
2. Метод трапеций
Чтобы хоть как-то снизить высокую погрешность метода прямоугольников, можно воспользоваться чуть более сложным методом трапеций. Принцип вычисления интеграла по данному методу практически идентичен предыдущему варианту, за исключением того, что теперь мы вычисляем площадь не прямоугольников, а трапеций. Как видно на рисунке, трапеции куда более аккуратно вписываются в пространство между кривой и осью абсцисс.
Как известно, площадь трапеции со сторонами a и b равна:
S = a*b*h/2
Исходя из этого, разностное уравнение для данного метода интеграции принимает вид:
y(n) = y(n-1) + (x(n-1) + x(n))*T/2
Использование трапеций позволяет снизить погрешность интегрирования, но не может полностью его устранить. На рисунке видно, что между кривой и краем трапеции все еще присутствует небольшой зазор. Для достижения более точных значений интеграла применяются другие, более сложные методы. Например, комбинированный метод использует взвешенную комбинацию двух рассмотренных методов, а в методе параболической аппроксимации на каждом шаге интегрирования вычисляется площадь параболы.
В компьютерном моделировании физических процессов применяются еще более точные, но чрезвычайно ресурсоемкие подходы, такие, как, например, метод Рунге-Кутта. Но как известно, микроэлектроника не любит сложных формул, поэтому для наших целей будет вполне достаточно двух рассмотренных методов.
3. Физический смысл интеграла
Рассмотрим применение интеграла в классической динамике. Пусть некоторое тело (большой человекоподобный робот) двигается постоянным ускорением a. Другими словами тело двигается равноускоренно (либо равнозамедленно). Следовательно, функцию ускорения от времени можно записать следующим образом:
a(t) = a0
Интегрируя данную функцию по времени t мы получим выражение для функции скорости v от времени t:
v(t) = v0 + a0*t
Еще раз интегрируя полученное выражение мы получим уже функцию расстояния s от t:
s(t) = s0 + v(t)*t = s0 + v0*t + a0*t*t/2
Таким образом, зная скорость тела мы легко можем узнать расстояние, которое оно преодолело за некоторое время.
4. Интегрирование показаний гироскопа
Как уже неоднократно говорилось, на выходе типичного MEMS-гироскопа мы имеем вовсе не угол наклона датчика, а угловую скорость его вращения. Другими словами, MEMS-гироскоп — это на самом деле гиротахометр , и чтобы узнать угол наклона нам потребуется проинтегрировать его показания.
Пусть угол поворота датчика angle измеряется в градусах (гр), а угловая скорость вращения aspeed в градусах за секунду (гр/сек). Для вычисления интеграла применим метод прямоугольников. Для этого разобьем временную ось на небольшие отрезки по delta секунд в каждом. Таким образом, каждые delta секунд мы будем вычислять площадь очередного прямоугольника и прибавлять полученное значение к уже накопленной площади:
angle = angle + aspeed * delta
Ниже представлен код соответствующей программы для Arduino.
Const int gyrPin = A0; const int INTEGR_DELAY = 20; const int SERIAL_DELAY = 100; // Датчик Pololu LPR550AL const float vref = 3.3; const float vzero = 1.23; const float sens = 0.0005; const float adc = 1023; int integr_time, serial_time, real_delta; short gyr_raw; float angle, aspeed; void setup() { Serial.begin(9600); angle = 0; } void loop() { // Интегрирование скорости поворота гироскопа time = millis(); real_delta = time - integr_time; if(real_delta > INTEGR_DELAY){ integr_time = time; gyr_raw = analogRead(gyrPin); aspeed = ((gyr_raw * vref)/adc - vzero)/sens; angle = angle + aspeed * real_delta; } // Отправка угла через последовательный порт на ПК time = millis(); if(time - serial_time >
Данный Arduino-скетч рассчитывает угол наклона гироскопа и отправляет данное значение на рабочую станцию через последовательный порт каждые 100мс. Следует заметить, что для преобразования входного аналогового сигнала в конкретное значение угловой скорости нам потребовалось использовать известное выражение:
gyr = (gyr_raw * vdd — gyr_zero) / gyr_sens
где величины vdd, gyr_zero и gyr_sens следует брать из спецификаций используемого гироскопа.
5. Повышение точности интегрирования
Мы знаем, что точность расчета интеграла тем больше, чем меньше отрезок дискретизации delta. В указанной выше программе, данный временной отрезок delta равен 20мс (INTEGR_DELAY), что в принципе позволяет достаточно сносно решать задачу стабилизации мультикоптера. Как вариант, для увеличения точности мы можем попробовать уменьшить delta, если конечно нам это позволит мощность микроконтроллера.
Либо, мы можем применить другой метод интегрирования, например метод трапеций. В последнем случае программа вычисления угла наклона гироскопа не слишком усложнится и примет следующий вид:
Const int gyrPin = A0; const int INTEGR_DELAY = 20; const int SERIAL_DELAY = 100; // Датчик Pololu LPR550AL const float vref = 3.3; const float vzero = 1.23; const float sens = 0.0005; const float adc = 1023; int integr_time, serial_time, real_delta; short gyr_raw; float angle, old_aspeed, aspeed; void setup() { Serial.begin(9600); angle = 0; aspeed = 0; } void loop() { // Интегрирование скорости поворота гироскопа time = millis(); real_delta = time - integr_time; if(real_delta > INTEGR_DELAY){ integr_time = time; gyr_raw = analogRead(gyrPin); aspeed = ((gyr_raw * vref)/adc - vzero)/sens; angle = angle + (aspeed + old_aspeed) * real_delta / 2; old_aspeed = aspeed; } // Отправка угла через последовательный порт на ПК time = millis(); if(time - serial_time > SERIAL_DELAY){ serial_time = time; Serial.print(angle, 4); } }
Заключение
Итак, теперь мы умеем интегрировать показания гироскопа и получать угол наклона вокруг его осей. Следовательно, мы можем сделать простейшую систему стабилизации для квадрокоптера на основе одного лишь датчика и платформы Arduino Uno, к примеру. Такой аппарат будет сносно держаться в воздухе, но его будет всегда немного вести в стороны из-за дрейфа нуля у гироскопа. Об этом плохом эффекте и о том, как его победить, я поведаю в следующей .
Интеграл является одним из важнейших понятий математики. Понятие «интеграл» возникло в связи со следующими потребностями:
- отыскание функции по ее производной (например, нахождение функции пути по известной функции скорости);
- измерение различных характеристик объектов (например, площади плоской фигуры и т.д.).
Различают несколько видов интегралов: неопределенный, определенный и несобственный интегралы.
Интеграл: как вычислить?
Для вычисления большинства интегралов достаточно помнить таблицу интегралов, а также знать основные правила интегрирования. Основная часть таблицы, которая используется наиболее часто, содержит порядка 15 формул, правил интегрирования тоже не так много. Но если уж совсем плохо запоминается, то найти таблицу и правила можно в любом учебнике, в котором рассматривается данная тема.
Вычисление интеграла состоит из нескольких этапов:
- приведение подынтегральной функции к сумме табличных функций;
- разложение интеграла на сумму табличных интегралов;
- вычисление каждого интеграла по отдельности;
- формирование окончательного решения.
Это только поначалу кажется сложным, однако при наличии некоторого опыта по вычислению интегралов каждая пара этапов (1 и 2; 3 и 4) интуитивно объединяются в один этап.
При вычислении определенных интегралов основной является формула Ньютона-Лейбница, которую обязательно (!) нужно запомнить:
Между производной и неопределенным интегралом существует взаимосвязь, которую можно выразить следующими равенствами:
Следовательно, при умении находить производную функции всегда можно проверить правильность вычисления интеграла.
Приложение интеграла к решению задач
Область применения интегралов достаточно широка. Очень часто интегралы используются при решении задач по геометрии , биологии, механике , экономике и т.д.
В зависимости от того, какая задача решается, требуется вычислить либо определенный, либо неопределенный интеграл.
Самая простейшая задача на интегралы формулируется следующим образом: вычислить неопределенный (определенный) интеграл.
Пример
. Вычислить определенный интеграл
Как правило, решение задач с интегралами выполняется с использованием некоторой формулы, будь то формула вычисления площади плоской фигуры, длины дуги или какая-то другая формула. Поэтому решение любой задачи с интегралами можно выполнить в три этапа:
- выбор формулы;
- определение пределов интегрирования (если используется определенный интеграл);
- непосредственное вычисление интеграла.
Приложение интеграла к решению задач в геометрии
Основными формулами при решении задач с интегралами по геометрии являются:
Пример
. Вычислить объем тела вращения, образованного вращением кривой y = x 2 вокруг оси ОХ, x ∈ .
Решение
. На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. В рассматриваемой задаче все сказано в условии «вычислить объем тела вращения». Следовательно, используем формулу 
.
Переходим ко второму этапу решения задачи. Пределы интегрирования также заданы условием задачи (x ∈ ), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу.
На третьем этапе необходимо вычислить полученный интеграл, который, кстати, является табличным интегралом.
Приложение интеграла к решению задач в механике
Основными формулами при решении задач с интегралами по механике являются:
— путь, пройденный телом
Пример
. Тело движется со скоростью v(t)
= t
+ 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения.
Решение . На первом этапе определяется необходимая для решения задачи формула. Из условия задачи видно, что используется формула
Пределы интегрирования также заданы условием задачи (t 1
= 0 — время начала движения; t 2
= 2 — время завершения движения), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу и вычислить полученный интеграл.
Примечание: при вычислении интеграл был приведен к сумме табличных интегралов.
Пример
. Тело движется с ускорением 2 м/с 2 . Найти в общем виде функции, задающие изменение скорости и пройденный путь.
Решение . На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. Взаимосвязь между ускорением и скоростью аналогична взаимосвязи между скоростью и путем. Для определения зависимости пути от времени используется формула Для определения же зависимости скорости от времени формула .
В рассматриваемой задаче нет дополнительных условий, поэтому применяется неопределенный интеграл и пределы интегрирования не нужны.
Следовательно, решение задачи сводится к последовательному вычислению двух неопределенных интегралов:
Заключение
Как правило, задачи с интегралами в школьном курсе математики и даже в университете имеют вполне стандартную формулировку, а их решение сводится к выбору формулы, определению пределов интегрирования и вычислению составленного интеграла.
Учите теорию и решайте задачи! И помните, что мы всегда готовы помочь Вам.
Слово «интеграл» происходит от латинского integralis - целостный. Это название предложил в 17 в. ученик великого Лейбница (и также выдающийся математик) И. Бернулли. А что такое интеграл в современном понимании? Ниже мы постараемся дать всесторонний ответ на этот вопрос.
Исторические предпосылки возникновения понятия интеграла
В начале 17 в. в рассмотрении ведущих ученых находилось большое число физических (прежде всего механических) задач, в которых нужно было исследовать зависимости одних величин от других. Самыми наглядными и насущными проблемами были определение мгновенной скорости неравномерного движения тела в любой момент времени и обратная этой задача нахождения величины пути, пройденного телом за определенный промежуток времени при таком движении. Сегодня мы уже знаем, что такое интеграл от скорости движения - это и есть пройденный путь. Но понимание того, как его вычислять, зная скорость в каждый момент времени, появилось не сразу.
Поначалу из рассмотрения таких зависимостей физических величин, например, пути от скорости, было сформировано математическое понятие функции y = f(x). Исследование свойств различных функций привело к зарождению математического анализа. Ученые активно искали способы изучения свойств различных функций.
Как возникло вычисление интегралов и производных?
После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая - нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.
Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.
Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл - основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа - важнейшего раздела высшей математики.
Площадь под кривой линией
Итак, как же определить ееточную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.
Пусть f является непрерывной на отрезке функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.
Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже.
В этом случае область под кривой - всего лишь прямоугольник с высотой k и шириной (b - a), так что площадь определяется как: k · (b - а).
Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.
Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.
Риманова сумма
Прежде чем погрузиться в подробный ответ на вопрос, что такое интеграл, выделим некоторые основные идеи.
Во-первых, область под кривой делится на некоторое число n вертикальных полос достаточно малой ширины Δx. Далее каждая вертикальная полоса заменяется вертикальным прямоугольником высотой f(х), шириной Δx, и площадью f(х)dx. Следующим шагом является формирование суммы площадей всех этих прямоугольников, называемой Римановой суммой (смотрите рисунки ниже).
Рисуя наши прямоугольники шириной Δx, мы можем брать их высоту, равную значению функции на левом краю каждой полоски, т. е. на кривой будут лежать крайние левые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. При этом на участке, где функция растет, и ее кривая является выпуклой, все прямоугольники оказываются ниже этой кривой, т. е. их сумма будет заведомо меньшей точной величины площади под кривой на этом участке (см. рисунок ниже). Такой способ аппроксимации называется левосторонним.
В принципе, можно нарисовать аппроксимирующие прямоугольники таким образом, чтобы на кривой лежали крайние правые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. Тогда они будут выше кривой, и приближение площади на этом участке окажется больше ее точной величины, как показано на рисунке ниже. Этот способ носит название правостороннего.
Но мы можем также взять высоту каждого из аппроксимирующих прямоугольников, равной просто некоторому значению функции в произвольной точке x* i внутри соответствующей полоски Δx i (смотри рис. ниже). При этом мы даже можем не брать одинаковую ширину всех полосок.
Составим Риманову сумму:
Переход от Римановой суммы к определенному интегралу
В высшей математике доказывается теорема, которая гласит, что если при неограниченном возрастании числа n аппроксимирующих прямоугольников наибольшая их ширина стремится к нулю, то Риманова сумма A n стремится к некоторому пределу A. Число A - одно и то же при любом способе образования аппроксимирующих прямоугольников и при любом выборе точек x* i .
Наглядное пояснение теоремы дает рисунок ниже.
Из него видно, что, чем уже прямоугольники, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади под кривой. При числе прямоугольников n→∞ их ширина Δx i →0, а предел A суммы A n численно равен искомой площади. Этот предел и есть определенный интеграл функцииf (х):
Символ интеграла, представляющий собой видоизмененную курсивную литеру S, был введен Лейбницем. Ставить сверху и снизу обозначения интеграла его пределы предложил Ж. Б. Фурье. При этом ясно указывается начальное и конечное значение x.
Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла
Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри , то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен. В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке , как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое - суммарной площади участков, находящихся под ней. Так, для функции, показанной на рисунке выше, определенный интеграл от a до b будет равен (S1 + S3) - (S2+S4). Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt. Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t 1 =a до t 2 =b выразит приближенно путь s за время t 2 - t 1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s. Если вернуться к его обозначению, то вполне можно предположить, что a = const, а b является конкретным значением некоторой независимой переменной x. Тогда определенный интеграл с верхним пределом x̃ из конкретного числа превращается в функцию от x̃. Такой интеграл равен площади фигуры под кривой, обозначенной точками aABb на рисунке ниже. При неподвижной линии aA и подвижной Bb эта площадь становится функцией f(x̃), причем приращения Δx̃ по-прежнему откладываются вдоль оси х, а приращением функции f(x̃) являются приращения площади под кривой. Предположим, что мы дали переменной x̃ = b некоторое малое приращение Δx̃. Тогда приращение площади фигуры aABb складывается из площади прямоугольника (заштрихован на рисунке) Bb∙Δx̃ и площади фигуры BDC под кривой. Площадь прямоугольника равна Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, т.е она является линейной функцией приращения независимой переменной. Площадь же фигуры BDC заведомо меньше, чем площадь прямоугольника BDCK = Δx̃∙Δy, и при стремлении Δx̃ →0 она уменьшается еще быстрее него. Значит, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ есть дифференциал переменной площади aABb, т. е. дифференциал определенного интеграла Отсюда можно заключить, что вычисление интегралов заключается в разыскании функций по заданным выражениям их дифференциалов. Интегральное исчисление как раз и представляет собой систему способов разыскания таких функций по известным их дифференциалам. Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, - ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее). Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом: Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу. Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов. Оно представляет собой полную противоположность соответствующему правилу для дифференцирования. Как же берутся неопределенные интегралы? Примеры этой процедуры мы рассмотрим на конкретных функциях. Давайте посмотрим на степенную функцию общего вида: После того как мы сделали это с каждым слагаемым в выражении интегрируемой функции (если их несколько), мы добавляем постоянную в конце. Напомним, что взятие производной от постоянной величины уничтожает ее, поэтому взятие интеграла от любой функции даст нам восстановление этой постоянной. Мы обозначаем ее С, так как постоянная неизвестна - это может быть любое число! Поэтому мы можем иметь бесконечно много выражений для неопределенного интеграла. Давайте рассмотрим простые неопределенные интегралы, примеры взятия которых показаны ниже. Пусть нужно найти интеграл от функции: f(х) = 4x 2 + 2x - 3. Начнем с первого слагаемого. Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1, затем делим первый член на результирующий показатель 3. Получаем: 4(x 3) / 3. Затем мы смотрим на следующий член и делаем то же самое. Так как он имеет показатель степени 1, то результирующий показатель будет 2. Таким образом, мы разделим это слагаемое на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 . Последний член имеет множитель х, но мы просто не видим его. Мы можем представить себе последнее слагаемое как (-3x 0). Это эквивалентно (-3)∙(1). Если мы используем правило интегрирования, мы добавим 1 к показателю, чтобы поднять его до первой степени, а затем разделим последний член на 1. Получим 3x. Это правило интегрирования работает для всех значений n, кроме n = - 1 (потому что мы не можем разделить на 0). Мы рассмотрели самые простой пример нахождения интеграла. Вообще же решение интегралов является делом непростым, и в нем хорошим подспорьем является уже накопленный в математике опыт. В разделе выше мы видели, что из каждой формулы дифференцирования получается соответствующая формула интегрирования. Поэтому все возможные их варианты уже давно получены и сведены в соответствующие таблицы. Нижеприведенная таблица интегралов содержит формулы интегрирования основных алгебраических функций. Эти формулы нужно знать на память, заучивая их постепенно, по мере их закрепления упражнениями. Еще одна таблица интегралов содержит основные тригонометрические функции: Оказывается, сделать это, умея интегрировать, т. е. находить неопределенные интегралы, очень просто. И помогает в этом формула основателей интегро-дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница Согласно ей, вычисление искомого интеграла состоит на первом этапе в нахождении неопределенного, последующем вычислении значения найденной первообразной F(x) при подстановке x, равного сначала верхнему пределу, затем нижнему и, наконец, в определении разности этих значений. При этом константу С можно не записывать. т.к. она пропадает при выполнении вычитания. Рассмотрим некоторые интегралы с подробным решением. Найдем площадь участка под одной полуволной синусоидой. Вычислим заштрихованную площадь под гиперболой. Рассмотрим теперь интегралы с подробным решением,
использующим в первом примере свойство аддитивности, а во втором - подстановку промежуточной переменной интегрирования. Вычислим определенный интеграл от дробно-рациональной функции: y=(1+t)/t 3 от t=1 до t=2. Теперь покажем, как можно упростить взятие интеграла введением промежуточной переменной. Пусть нужно вычислить интеграл от (x+1) 2 . Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными.
Дифференциал определенного интеграла
Фундаментальное соотношение интегрального исчисления
Основное правило интегрирования
Таблицы интегралов
Как же вычислить определенный интеграл
О несобственных интегралах